3.5. Prüfungsaufgaben zur Wechselstromtechnik

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1 3.5. Prüfungsaufgaben zur Wechselstromtechnik Aufgabe : Impedanz (4) Erkläre die Formel C i C und leite sie aus der Formel C Q für die Kapazität eines Kondensators her. ösung: (4) Betrachtet man die Wechselspannung (t) cos(ωt) mit der Winkelfrequenz ω als Realteil der Spannungsfunktion (t) e iωt, so erhält man aus der Kapazität C Q die adungsfunktion Q(t) C (t) und durch Ableiten mit der Kettenregel die Stromfunktion I(t) C (t) iωc e iωt und den komplexwertigen Widerstand (Impedanz) C (t) I(t) i C, qed. e i C i t e it Aufgabe : Reihenschaltung () a) Berechne die Stromstärke I ges und die Teilspannungen R, C und sowie die Phasenverschiebung φ für die nebenstehende Reihenschaltung. (5) b) eichne die Teilspannungen R, C und und die Gesamtspannung ges R + C + in ein eigerdiagramm. () c) Erkläre und berechne die maximale Wirkleistung und die maximale Blindleistung der Schaltung. (4) 5 Ω 3 V, 5 Hz μf mh ösungen (): a) ges (5 86,98i) 9, e i(ωt 8, ) Ω () I ges,7 e i(ωt + 8, ) A (Strom läuft vor) () ges R R I ges 53,5 e i(ωt + 8, ) V () I ges C ic 339,4 ei(ωt + 8, 9 ) V () iω I ges 33,5 e i(ωt + 8, + 9 ) V () b) eigerdiagramm: siehe rechts () c) Die maximale Wirkleistung P W I cos(8, ) 57, W wird im ohmschen Widerstand in Wärme umgewandelt. Die maximale Blindleistung P W I sin(8, ) 37,8 W wird zwischen Spannungsquelle und Spule bzw. Kondensator ständig hin und her übertragen. (4) Aufgabe 3: Parallelschaltung, Effektivwerte a) Berechne die effektive Stromstärke I eff und die Phasenverschiebung φ für eine Parallelschaltung des ohmschen Widerstandes R 5 Ω mit einem Kondensator der Kapazität C mf, wenn eine Wechselspannung mit eff 3 V und f 5 Hz angelegt wird. Begründe anhand eines eigerdiagramms. b) Welche Bedeutung haben Effektivwerte von Strom und Spannung? ösungen: a) eitwert Y R + iωc (, + i,π)ω,66 Ω e i7,3 I eff Y eff 3 A mit φ 7,3 (Strom läuft voraus) ˆ ˆ I sin( t) ˆ ˆ ˆ ˆI I eff I eff, falls φ, ansonsten Scheinleistung mit Wirkleistung P eff I eff cos(φ) und Blindleistung eff I eff sin(φ) b) P Aufgabe 4: Reihenschaltung, Effektivwerte a) Berechne die effektive Stromstärke I eff und die Phasenverschiebung φ für eine Reihenschaltung des ohmschen Widerstandes R 5 Ω mit einem Kondensator der Kapazität C mf, wenn eine Wechselspannung mit eff V und f 5 Hz angelegt wird. Begründe anhand eines eigerdiagramms. b) Welche Bedeutung haben Effektivwerte von Strom und Spannung? R Im ges C Re

2 ösungen: a) Impedanz R i C b) P 5i (5 )Ω 5,4 Ω e i7,7 I eff eff,9 A mit φ 7,7 (Strom läuft voraus) ˆ ˆ I sin( t) ˆ ˆ ˆ ˆI I eff I eff, falls φ, ansonsten Scheinleistung mit Wirkleistung P eff I eff cos(φ) und Blindleistung eff I eff sin(φ). Aufgabe 5: Spule und ohmscher Widerstand a) Berechne die effektive Stromstärke I eff und die Phasenverschiebung φ für eine Reihenschaltung des ohmschen Widerstandes R 5 Ω mit einer Spule der Induktivität mh, wenn eine Wechselspannung mit eff V und f 5 Hz angelegt wird. Begründe anhand eines eigerdiagramms. b) Wie werden Wechselspannungen bzw. Wechselströme erzeugt? ösungen: a) Impedanz R + iω (5 + iπ)ω 5,9 Ω e i3, I eff eff,69 A mit φ 3, (Strom läuft nach) b) Induktion einer rotierenden eiterschleife im Magnetfeld; Induktionsgesetz oder orentzkraft. Aufgabe 6: Spule und ohmscher Widerstand a) Berechne die effektive Stromstärke I eff und die Phasenverschiebung φ für eine Parallelschaltung des ohmschen Widerstandes R 5 Ω mit einer Spule der Induktivität mh, wenn eine Wechselspannung mit eff 5 V und f 5 Hz angelegt wird. Begründe anhand eines eigerdiagramms. b) Wie werden Wechselspannungen bzw. Wechselströme erzeugt? ösungen: a) eitwert Y R i (, i )Ω,376 Ω e i57,6 I eff Y eff,88 A mit φ 57,6 (Strom läuft nach) b) Induktion einer rotierenden eiterschleife im Magnetfeld; Induktionsgesetz oder orentzkraft. Aufgabe 7: Wechselstromkreis (6) a) Eine Spule mit der Induktivität mh und ein ohmscher Widerstand mit R,6 Ω werden in Reihe an eine Wechselspannung mit eff V und f 5 Hz gelegt. Berechne den gesamten Scheinwiderstand R als komplexwertige Grösse, die Phasenverschiebung φ R und die effektive Stromstärke I effr. (3) b) Nun wird parallel zu der Spule und dem ohmschen Widerstand aus a) ein Kondensator mit C mf angeschlossen. Berechne erneut den gesamten Scheinwiderstand als komplexwertige Grösse die Phasenverschiebung φ und die effektive Gesamtstromstärke I eff. (3) c) Bei welcher Frequenz f verschwindet der Blindwiderstand und wie gross ist dann der Wirkwiderstand der Schaltung aus b)? (4) d) eichne ein eigerdiagramm für die Ströme in den beiden weigen des Schaltkreises aus b) für die Frequenz f 5 Hz. Skizziere den Schaltkreis selbst und markiere die Richtungen der Blindströme in den beiden weigen durch Pfeile. (3) e) Berechne die mittlere Wirkleistung und die mittlere Blindleistung des Stromkreises und erkläre die beiden Begriffe in Worten. (3) Vereinfachte Alternative zu c) und d) c) eige, dass der Blindwiderstand bei der Frequenz f 7,3 Hz verschwindet und berechne den Wirkwiderstand für diese Frequenz. (4) d) eichne ein eigerdiagramm für die Ströme in den beiden weigen des Schaltkreises aus b) für die Frequenz f 7,3 Hz. Skizziere den Schaltkreis selbst und markiere die Richtungen der Blindströme in den beiden weigen durch Pfeile. (4) ösungen a) R R + iω (,6 +,πi) Ω,677 e i7,64 Ω () mit Phasenverschiebung φ R tan - R tan- 7,64 (Strom läuft nach) 6 () eff V und effektiver Stromstärke I effr,48 A,677 () b) ic R R,6,i, i,6 (, ) Phasenverschiebung φ + 5,8 (Strom läuft nach) und Gesamtstrom I eff Ω,736 e i5,8 Ω () eff V,736,36 A ()

3 c) Der Blindwiderstand X Im() verschwindet genau dann, wenn auch der Imaginärteil Im(Y) des eitwertes Y(ω) iωc + R i R i + iωc - verschwindet. () R R Aus Im(Y) C - CR + ω C () R R erhält man die ösung ω 8 s - bzw. die Frequenz ν 7,3 Hz () C R mit dem Wirkwiderstand Re() R CR 5 Ω. () 3 d) eigerdiagramm (): Im(I) Schaltskizze mit Blindströmen (): iωc e iωt, π e i(πt + 9 ) A,444i A it e I R R it e A i7,64,677 e,9 e i(πt 7,64 ) A I R Re(I),6 Ω V ~,3i A mf -,7i A e) Die Wirkleistung P w eff I eff cos(φ),3 W wird abgegeben und im ohmschen Widerstand in Wärme umgewandelt, weil rsache eff und Wirkstrom I eff cos(φ) die gleiche Richtung haben. Die Blindleistung P B eff I eff sin(φ),37 W wird ständig zwischen Stromquelle und Verbraucher hin und her geschoben,, weil rsache eff und Wirkstrom I eff sin(φ) senkrecht aufeinander stehen. mh Vereinfachte Alternative zu c) und d) c) Die Winkelgeschwindigkeit ist ω πf 8 s - () R i Der eitwert ist Y(ω ) iω C + + iω C - R i R R 3 5 Ω. () R mit dem Wirkwiderstand Re() R CR 5 Ω. () 3 d) eigerdiagramm (): Im(I) Schaltskizze mit Blindströmen (): iωc,8i A R i I R R,6,8i Ω - V,36,64 (,6,8i) A I R,6 Ω Re(I) V ~,8i A mf -,8i A mh Aufgabe 8: Parallel- und Reihenschaltung (5) a) Ein Kondensator mit C mf und ein ohmscher Widerstand mit R 5 Ω werden in Reihe an eine Wechselspannung mit eff V und f 5 Hz gelegt. Berechne den gesamten Scheinwiderstand als komplexwertige Grösse, die Phasenverschiebung φ und die effektive Stromstärke I eff. (3) b) Nun wird parallel zu dem Kondensator und dem ohmschen Widerstand aus a) eine Spule mit der Induktivität 5 mh angeschlossen. Berechne erneut den gesamten Scheinwiderstand als komplexwertige Grösse und die Phasenverschiebung φ. (3) c) Bei welcher Frequenz f verschwindet der Blindwiderstand und wie gross ist dann der Wirkwiderstand der Schaltung aus b)? (4) d) eichne ein eigerdiagramm für die Ströme in den beiden weigen des Schaltkreises aus b) für die Frequenz f 5 Hz. Skizziere den Schaltkreis selbst und markiere die Richtungen der Blindströme in den beiden weigen durch Pfeile. (4) e) Nun wird die Stromquelle abgeklemmt. Warum fliesst weiterhin Strom? () 3

4 Aufgabe 8: Parallel- und Reihenschaltung (5) a) R + (5 3,8i) Ω () ic mit Phasenverschiebung φ tan - 3,8 3,48 (Strom läuft voraus) () 5 und effektiver Stromstärke I eff eff V,69 A () 5,93 35,3 b) ges Ω Ω,357 (5 +,94i) Ω (6,786 +,8i) Ω. () 5 3,8i, 64i 5, 94i i 5 3,8 Die Phasenverschiebung ist φ tan - Im tan -,8 +,69 (Strom läuft nach) () Re 6,786 c) Der Blindwiderstand X Im( ges ) verschwindet genau dann, wenn auch der Imaginärteil Im(Y ges ) des eitwertes Y ges (ω) R i i / C + + verschwindet. () i R / ic R / C R / C / C Aus Im(Y ges ) R C R C () R / C C C erhält man die ösung ω s - bzw. die Frequenz ν 3,8 Hz () C R C R / C mit dem Wirkwiderstand Re( ges ) Ω. () Y ( ) R CR ges d) eigerdiagramm (): Im(I) Schaltskizze mit Blindströmen (): I /(iω),64i A I R I RC mf R Re(I) V ~,9i A 5 mh -,64i A ic 5 3,8i I 5 Ω V Ω - 5 3,8 (,4 +,9i) A e) Bei Entfernung der äußeren Spannungsquelle entlädt sich der Kondensator über die Spule. Ihre Selbstinduktion widersetzt sich der Abnahme des Entladestroms und führt dazu, dass der Entladestrom auch bei vollständiger Entladung in die gleiche Richtung weiter fließt. Der Entladestrom wird dadurch zu einem adestrom und lädt den Kondensator entgegengesetzt auf. Durch die zunehmende adespannung sinkt der adestrom langsam auf Null ab und wechselt schließlich die Richtung. Damit ist die erste Halbschwingung beendet. Er wird zu einem Entladestrom und der Vorrang wiederholt sich in entgegengesetzter Richtung. () Aufgabe 9: Parallel- und Reihenschaltung (5) a) Eine Spule mit der Induktivität 4 mh und ein ohmscher Widerstand mit R 5 Ω werden in Reihe an eine Wechselspannung mit eff V und f Hz gelegt. Berechne den gesamten Scheinwiderstand als komplexwertige Grösse, die Phasenverschiebung φ und die effektive Stromstärke I eff. (3) b) Nun wird parallel zu der Spule und dem ohmschen Widerstand aus a) ein Kondensator mit C, mf angeschlossen. Berechne erneut den gesamten Scheinwiderstand als komplexwertige Grösse und die Phasenverschiebung φ. (3) c) Bei welcher Frequenz f verschwindet der Blindwiderstand und wie gross ist dann der Wirkwiderstand der Schaltung aus b)? (4) d) eichne ein eigerdiagramm für die Ströme in den beiden weigen des Schaltkreises aus b) für die Frequenz f Hz. Skizziere den Schaltkreis selbst und markiere die Richtungen der Blindströme in den beiden weigen durch Pfeile. (4) e) Wie verhalten sich die Blindströme in den beiden weigen bei der Frequenz f aus Teil c)? f) Nun wird die Stromquelle abgeklemmt. Warum fliesst weiterhin Strom? () g) Handelt es sich nun um eine Parallel- oder eine Reihenschaltung? () 4

5 Aufgabe 9: Parallel- und Reihenschaltung (5) a) R + iω (5 +,6πi) Ω (5 + 5i) Ω () mit Phasenverschiebung φ tan - tan (Strom läuft nach) R 5 () und effektiver Stromstärke I eff eff V 5,8 A () 5 b) ges Ω Ω,88 (5,3i) Ω (9,38,4i) Ω. () 5 5i ic,7i 5,3i 5 5 Die Phasenverschiebung ist φ tan - Im tan -,4 4,4. (Strom läuft vor) () Re 9,38 c) Der Blindwiderstand X Im() verschwindet genau dann, wenn auch der Imaginärteil Im(Y) des R i eitwertes Y(ω) iωc + + iωc - verschwindet. () R i R R Aus Im(Y) C - CR + ω C () R R erhält man die ösung ω 968, s - bzw. die Frequenz f 54, Hz () C R mit dem Wirkwiderstand Re() 8 Ω. () R CR d) eigerdiagramm (): Im(I) Schaltskizze mit Blindströmen (): iωc,5i A R i I R R 5 5i Ω - V 5 5 ( i) A I R e) Die Blindströme in den beiden weigen werden entgegengesetzt gleich groß. () R i 5 3,87i Die Rechnung (nicht verlangt) ergibt iωc,9i A und I R Ω - V (4,9i) A. R 5 5 f) Bei Entfernung der äußeren Spannungsquelle entlädt sich der Kondensator über die Spule. Ihre Selbstinduktion widersetzt sich der Abnahme des Entladestroms und führt dazu, dass der Entladestrom auch bei vollständiger Entladung in die gleiche Richtung weiter fließt. Der Entladestrom wird dadurch zu einem adestrom und lädt den Kondensator entgegengesetzt auf. Durch die zunehmende adespannung sinkt der adestrom langsam auf Null ab und wechselt schließlich die Richtung. Damit ist die erste Halbschwingung beendet. Er wird zu einem Entladestrom und der Vorrang wiederholt sich in entgegengesetzter Richtung. () g) Es handelt sich dann um eine Reihenschaltung. () Re(I) 5 Ω V ~,5i A, mf 4 mh -i A Aufgabe : Parallel- und Reihenschaltung (8) a) Bestimme die komplexwertige Impedanz der rechts abgebildeten Schaltung. () b) Bestimme den Scheitelwert I und die Phasenverschiebung φ des Stromes I(t) I sin(ωt + φ ), wenn eine Wechsel-spannung (t) sin(ωt) mit Scheitelwert V und Frequenz f 5 Hz angelegt wird. () c) Stelle die beiden weigströme in einem eigerdiagramm dar. () d) Berechne die Wirkleistung der Schaltung. () e) Beschreibe den Begriff der Wirkleistung in Worten. () V, 5 Hz mh 5 Ω μf 5

6 ösungen a) Der obere weig hat die Impedanz R R + iω (5 + πi) Ω 8,3 Ω cis(5,49 ) () Die Gesamtimpedanz ist ges Ω (7,47 + 6,37i) Ω 9,8 Ω cis(4,4 ) () i ic 5 i (t) b) Die Stromstärke ist I(t) ges R Vcis( ),4 A cis( 4,4 ). () 9,8 cis(4,4 ) Der Scheitelwert ist also I,4 A und die Phasenverschiebung ist φ 4,4 (Strom läuft nach) () c) eigerdiagramm mit weigströmen Im(I) () iωc,63i A (t) Re(I) I R R, A cis( 5,49 ) (,55,95i) A d) Wirkleistung P eff I cos(φ ) 5,6 W () e) Die Wirkleistung ist das Produkt aus Spannung (t) und dem gleichphasigen Anteil I(t) cos(φ ) des Stromes. Sie beschreibt die eistung, die im ohmschen Widerstand in Wärme umgewandelt wird. () Aufgabe : Berechnung von I und aus gegebener Phasenverschiebung (4) Eine Spule mit dem ohmschen Widerstand R 3 Ω ist an eine Wechselspannungsquelle mit der Effektivspannung eff V und der Frequenz f 5 Hz angeschlossen. Berechne die Induktivität der Spule und die effektive Stromstärke I ewff, wenn die Phasenverschiebung φ 53 beträgt. ösung: (4) Aus der Phasenverschiebung tan(φ) Aus der Impedanz I eff eff R tan( ) erhält man die Induktivität R R ( ) folgt I eff R eff,7 H. () 6,4 A () Aufgabe : Bestimmung der Induktivität einer Spule () a) m den ohmschen Widerstand einer Spule zu bestimmen, legt man zunächst eine Gleichspannung von 3 V an und misst eine Stromstärke von,5 A. Wie gross ist R? () b) Für die Bestimmung der Induktivität schliesst man die Spule kurz und misst, wie schnell die Stromstärke absinkt. eige mit Hilfe einer Differentialgleichung, dass der Strom mit dem Anfangswert I durch eine Spule mit dem ohmschen Widerstand R t R und der Induktivität nach der Gleichung I(t) I e abklingt, wenn t die eit ist, die seit dem Ausschalten der Spannungsquelle vergangen ist. (3) c) Bestimme die Induktivität, wenn die Stromstärke nach,3 Sekunden auf 5 ma abgefallen ist. () d) Da der Strom bei dieser Spule ziemlich schnell abnimmt, ist der in c) bestimme Wert nicht sehr exakt. m einen genaueren Wert für die Induktivität zu ermitteln, wird eine Kondensator mit regelbarer Kapazität in Reihe mit der Spule an eine Wechselspannung mit der Frequenz f 5 Hz gelegt. Die Stromstärke ist nun maximal, wenn man den Kondensator auf C 3 μf einstellt. eige mit Hilfe der komplexwertigen Impedanz dieser Schaltung, dass ihr Betrag unter der Bedingung C ω minimal wird und berechne mit Hilfe dieser Bedingung. (4) I R 6

7 ösung () a) R, Ω () I b) Addition der Spannung bei der Reihenschaltung: R + R I + I I R R,3 s c),5 A,5 A e ln() R d) R + iω + R ic C I di I R dt I(t) ln R R I (t ) I(t) I t e (3),,3 s,3 s ln(),339 H () R, wenn ω () C C,338 H. () C () () 7