P = U I cos ϕ. 3,52 kw 220 V 0,8 = 20 A. Der Phasenwinkel des Stroms wird aus dem Leistungsfaktor cos ϕ bestimmt: ϕ = arccos(0,8 ) = 36,87

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1 a) Strom nach Betrag und Phase: Der Betrag des Stroms wird aus der Wirkleistung bestimmt: P = U cos ϕ = P U cos ϕ = 3,52 kw 220 V 0,8 = 20 A Der Phasenwinkel des Stroms wird aus dem Leistungsfaktor cos ϕ bestimmt: ϕ = arccos(0,8 ) = 36,87 Da der Leistungsfaktor induktiv angegeben ist, wird der Phasenwinkel negativ (induktive Last: der Strom eilt der Spannung nach). WS 2012 / Verena Schild

2 m U φ = -36,87 Re b) Spannung am Generator und Phasenwinkel zwischen Verbraucherstrom und Generatorspannung: Beim Kabel müssen Hin- und Rückleiter jeweils mit der Länge von 100 m berücksichtigt werden. Der Widerstand des Kabels ergibt sich damit zu: R L = 2 ρ l Ωmm2 = 2 0,018 A m 100 m 2 mm 2 = 1,8 Ω Die Generatorspannung setzt sich aus dem Spannungabfall an der Leitung und dem Spannungsabfall am Verbraucher zusammen: R L U L = U L + = R L + Da die Wirkleistung am Verbraucher unverändert bleibt, müssen, U und cos ϕ gleich bleiben. Der Strom ist der in Teilaufgabe a) berechnete: = 20 A. Dieser wird nun als Bezugszeiger in die reelle Achse gelegt (Reihenschaltung). Der Pasenwinkel wird damit zu 0 angenommen. Der Phasenwinkel der Verbraucherspannung ergibt sich aus dem Leistungsfaktor des Verbrauchers zu 36,87. WS 2012 / Verena Schild

3 = 1,8 Ω 20 A V e j36,87 = 36 V V + j132 V = 212 V + j132 V = 250 V e j32 c) Blindleistungskompensation durch Parallelschaltung eines Kondensators Da der Verbraucher nun wieder direkt an den Generator angeschlossen ist, werden die Ergebnisse aus Teilaufgabe a) verwendet. Da eine Parallelschaltung betrachtet wird, wird die Spannung als Bezugszeiger verwendet und in die reelle Achse gelegt. Die mpedanz des Verbrauchers beträgt: Z V = = 220 V 20 A e j36,87 = 11 Ω e j36,87 = 8,8 Ω + j6,6 Ω C V X C Die Gesamtimpedanz aus Verbraucher und parallelgeschaltetem Kondensator ergibt sich zu: = Z V Z C = (R + j) ( jx C ) = jrx C + X C Z V + Z C R + j jx C R + j( X C ) R j( X C ) R j( X C ) = jr2 X C RX C ( X C ) + X C R j X C ( X C ) R 2 + ( X C ) 2 Damit die geamte Schaltung keine Blindleistung aufnimmt, muss der magniärteil der Gesamtimpedanz Null sein (vollständige Blindleistungskompensation). WS 2012 / Verena Schild

4 0 = R 2 X C + X C ( X C ) 0 = X C R2 + X 2 L X C = R2 + X 2 L = (8,8 Ω2 ) + (6,6 Ω 2 ) 6,6 Ω C = 1 ωx C = = 18,3 Ω 1 = 173,6 µf 2π 50 Hz 18,3 Ω Wird ein Kondensator mit einer Kapazität von 173,6 µf parallel zum Verbraucher geschaltet, ist der Blindanteil der Gesamtimpedanz Null und es wird keine Blindleistung aufgenommen. d) Blindleistungskompensation durch Reihenschaltung mit einem Kondensator X C U C Die Gesamtimpedanz ergibt sich in diesem Fall zu: = R + j( X C ) Der maginärteil wird wieder Null gesetzt, um die benötige Kapazität des Kondensators zu bestimmen. 0 = X C = X C C = 1 ω = 1 = 482,3 µf 2π 50 Hz 6,6 Ω Die Gesamtimpedanz ist damit gleich dem ohmschen Anteil des Verbrauchers: = R = 8,8 Ω. WS 2012 / Verena Schild

5 Der Spannungsabfall am Verbraucher wird nach dem ohmschen Gesetz berechnet. Der Strom wird dabei als Bezugszeiger in die reelle Achse gelegt. Da die Gesamtbelastung rein ohmsch ist, sind Gesamtspannung und Gesamtstrom in Phase. = R + j = R + j = 220 V 8,8 Ω 8,8 Ω V 8,8 Ω j6,6 Ω = 220 V + j165 V = 275 V e j38,67 e) Wirkleistungsaufnahme in den beiden Fällen aus Teilaufgabe c) und d) Fall 1: Blindleistungskompensation durch Parallelschaltung des Kondensators Der Gesamtstrom ergibt sich aus der Addition der Teilströme durch den Vebraucher und den Generator V = 20 A e j36,87 = 16 A j12 A C = jωc = 220 V j 2π 50 Hz 173, F = 12 A e j90 = j12 A 0 = V + C = 16 A Die Wirkleistung beträgt: P = U cos ϕ = 220 V 16 A cos(0 ) = 3,52 kw Der Phasenwinkel ist 0, da die Blindleistung vollständig kompensiert ist. Fall 2: Blindleistungskompensation durch Reihenschaltung des Kondensators Der Gesamtstrom wird nach dem ohmschen Gesetz berechnet: ges = Die aufgenommene Wirkleistung ergibt sich zu: = 220 V 8,8 Ω = 25 A P = U cos ϕ = 220 V 25 A cos 0 = 5,5 kw WS 2012 / Verena Schild

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