Elektrotechnik: Übungsblatt 3 - Gleichstromschaltungen

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1 Elektrotechnik: Übungsblatt 3 - Gleichstromschaltungen 1. Aufgabe: Nennen sie die Kirchhoffschen Gesetzte und erläutern sie ihre physikalischen Prinzipien mit eigenen Worten. Lösung: Knotenregel: Die vorzeichenrichtige Summe allser Ströme, die in deine Netzwerkknoten herein- oder heraus fließen, ist immer 0A. Hintergrund: Ladungserhaltung. Maschenregel: Die vorzeichenrichtige Summe aller Spannungen entlang einer Masche (Schleife) in einem Netzwerk ist immer 0V. 2. Aufgabe: Zwei Widerstände R 1 und R 2 werden parallel geschaltet. Wie groß ist der Gesamtwiderstand der Schaltung wenn a.) b.) c.) Lösung: R 1 R 2 ist? R 1 unendlich groß ist? R 2 = 0 Ω ist. Bei Parallelschaltung addieren sich Widerstände reziprok: hier folgt: 1 R ges = 1 R R R R 4 + R ges = R 1 R 2 R 1 + R 2 a) R 1 + R 2 R 2 R ges = R 1 R 2 R 1 + R 2 R 1 R 2 R 2 = R 1 Hier sucht sich der Strom den Weg mit dem kleinsten Widerstand. b) 1 = 1 R 1 = 0 1 = = 1 R ges = R 2 R ges R 1 R 2 R 2 c) R 2 = 0 R ges = R 1 R 2 R 1 + R 2 = R 1 0 R = 0 Der Strom kann über R 2 einfach an R 1 vorbeifließen.

2 3. Aufgabe: Die Abbildung zeigt ein Netzwerk, das aus einer Gleichspannungsquelle gespeist wird. a) Wie groß sind die sechs Zweigströme I und I 1 bis I 5? b) Wie groß ist der Gesamtwiderstand zwischen den Klemmen A und B? Lösung: 1) Berechnung des Gesamtwiderstandes: Die Widerstände des Netzwerks werden in drei Ersatzwiderstände R I, R II und R III zusammengefasst. R ges = R I + R II + R III mit: R I = R R ges = R + R + R = 3R 2) Berechnung des Gesamtstroms: 1 R II = 1 3R + 1 3R + 1 3R R III = = 1 3 3R = R (R + R) 2R (R + R) + 2R = 4R2 4R = R Aus der Quellspannung und dem Gesamtwiderstand nach dem ohmschen Gesetz : I ges = U ges R ges = U 3R Aus dem Gesamtstrom und den Teilwiderständen können zunächst die Spannungsabfälle über den Teilwiderständen berechnet werden und daraus wiederum die Teilströme.

3 3) Berechnung der Ströme I1, I2 und I3: U II = R II I ges = R U 3R = 1 3 U I 1 = I 2 = I 3 = U 1 II 3R = 3 U 3R = 1 9 U Hinweis: In einer Parallelschaltung fällt an allen Zweigen dieselbe Spannung ab. Da die Widerstände in dieser Parallelschaltung alle gleich groß sind und über allen dieselbe Spannung abfällt, ist auch der Strom durch die einzelnen Widerstände gleich groß. 4) Berechnung der Ströme I4 und I5: U III = R III I ges = R U 3R = 1 3 U I 4 = I 5 = U 1 III 2R = 3 U 2R = U 6R U Alternativer Lösungsweg (nur Vorschlag): Aufstellen von Knotenpunkt- und Maschengleichungen: Das Netzwerk besteht aus drei Kontenpunkten, für die nach dem 1. Kirchhoff schen Gesetz (Knotenpunktregel) zwei unabhängige eine Gleichung aufgestellt werden können. K1 : I = I 1 + I 2 + I 3 K2 : I = I 4 + I 5

4 Weiterhin können vier Maschen in das Netzwerk gelegt werden, für die nach dem 2. Kirchhoff schen Gesetz (Maschenregel) vier unabhängige Maschengleichung aufgestellt werden können. Dabei werden die Spannungsabfälle an den Widerständen nach dem ohmschen Gesetz aus dem Widerstand und dem fließenden Strom berechnet. M1 : M2 : M3 : M4 : 0 = U + I 1 R + I 3 3R + I 4 2R 0 = I 2 3R I 1 3R 0 = I 1 3R I 1 3R 0 = I 5 (R + R) I 4 2R Aus den sechs Gleichungen lässt sich folgendes Gleichungssystem aufstellen: I I R 2R 0 R I 3 U = 3R 3R I 4 0 3R 0 3R I R 2R 0 I 0 Aus den sechs Gleichungen lassen sich die sechs gesuchten Ströme zum Beispiel mit dem Einsetzungsverfahren berechnen (wird hier nicht durchgeführt). 4. Aufgabe: Lösung: 1. Ersatzschaltbild: Zwei Glühlampen für U = 110 V haben die Leistungsangaben P 1 = 40 W und P 2 = 60 W. Sie liegen in Reihe an einer Spannung von 220 V. Welche Leistungen werden in beiden Lampen umgesetzt? Anmerkung: Vorausgesetzt ist, dass die Widerstände der Glühlampen konstant sind, was in der Praxis nicht der Fall ist, da R = f(ϑ). Die beiden Glühlampen werden im elektrischen Ersatzschaltbild als ohmsche Widerstände dargestellt. Die Widerstände R 1 und R 2 lassen sich aus den gegebenen Nenndaten der beiden Lampen mit Hilfe der Formel für die elektrische (Wirk-)Leistung (P = U I) und dem ohmschen Gesetz (R = U I) berechnen. Zur Berechnung des Widerstandes der beiden Lampen aus der angegebenen Nennspannung und der angegebenen Nennleistung wird die Formel zur Berechnung der Leistung und das ohmsche Gesetz verwendet: P = U I = U U R = U 2 R

5 Lampe 1: Lampe 2: R 1 = U 1N (110V )2 = P 1N 40W = 302.5Ω R 2 = U 2N (110V )2 = P 2N 60W = 201.7Ω Die Spannungen U 1 und U 2, die an den beiden Widerständen anliegen werden mithilfe des 2. Kirchhoff schen Gesetzes (Maschenregel) und dem ohmschen Gesetz berechnet: 0 = U + U 1 + U 2 U = U 1 + U 2 U = I R 1 + I R 2 = I (R 1 + R 2 ) Maschenregel: In einer Masche ist die vorzeichenrichtige Summe aller Spannungsabfälle in jedem Augenblick gleich Null. Mit den bekannten Widerständen R 1 und R 2 und der Spannung U wird der Strom berechnet, der in der Reihenschaltung fließt: I = U R 1 + R 2 = 220V 302.5Ω Ω = 220V 504.2Ω = 0.436A Aus dem Strom werden die Spannungsabfälle U 1 und U 2 an den Widerständen R 1 und R 2 berechnet. Ein Kennzeichen einer Reihenschaltung ist, dass durch alle Bauelemente derselbe Strom fließt. U 1 = I R 1 = 0.436A 302.5Ω = 132 V > U 1N = 110V U 2 = I R 2 = 0.436A 201.7Ω = 88 V < U 2N = 110V Hinweis: Die Spannungsabfälle an den einzelnen Widerständen in einer Reihenschaltung können auch mithilfe der Spannungsteilerregel berechnet werden. Aus dem fließenden Strom und der anliegenden Spannung wird die Leistung berechnet, die in den beiden Lampen umgesetzt wird. P 1 = I U 1 = 0.436A 132V = 58 V > P 1N = 40V P 2 = I U 2 = 0.436A 88V = 38 V > P 2N = 60V Die Leistung P 1, die in Lampe 1 umgesetzt wird, ist größer als die Nennleistung P 1N, wodurch die Lampe heller leuchtet als im Nennbetrieb. Die Leistung P 2, die in Lampe 2 umgesetzt wird, ist kleiner als die Nennleistung P 2N, wodurch die Lampe nicht so hell leuchtet wie im Nennbetrieb. Der Widerstand der Glühlampen wird als konstant angenommen (ohmscher Widerstand). In der Realität ist der Widerstand des Glühfadens allerdings temperaturabhängig. Die meisten Metalle haben einen positiven Temperaturkoeffzienten, wodurch der elektrische Widerstand mit steigender Temperatur zunimmt. 5. Aufgabe: Gegeben ist eine (reale) Spannungsquelle mit linearem Strom-Spannungsverhalten. Diese soll durch eine Ersatzspannungsquelle nachgebildet werden. Hierzu werden zwei Belastungsversuche mit verschiedenen Widerständen (R 1 und R 2 ) durchgeführt. Es ergeben sich folgende Messwerte: I 1 = 50A bei R 1 = 1Ω I 2 = 10A bei R 2 = 9Ω

6 1. Wie groß sind die Leerlaufspannung U q, der Innenwiderstand R i und der Kurzschlussstrom I K? 2. Bei welchem Belastungswiderstand R L gibt die Spannungsquelle die maximale Leistung ab? Lösung:

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8 6. Aufgabe:

9 Lösung:

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