Netzwerkberechnung. (mittels des Ohm schen Gesetzes und der beiden Kirchhoff schen Gesetze) GRUNDLAGEN der ELEKTROTECHNIK I

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1 GRNLAGEN der ELEKTROTECHNK Netzwerkberechnung (mittels des Ohm schen Gesetzes und der beiden Kirchhoff schen Gesetze) Vereinfachtes Schema zum Aufstellen der unabhängigen Gleichungen: 1) Parallel- oder in Reihe liegende Widerstände bzw. Quellen zusammenfassen. 2) Zweige zählen; Anzahl sei z. An jedem Zweig Bezugspfeile für Ströme und Spannungen anbringen. 3) Knoten zählen; Anzahl sei k. Für (k-1) Knoten - d. h. alle ausser einem - die unabhängigen Knotengleichungen aufschreiben. 4) Für eine beliebige, möglichst einfache Masche die Maschengleichung aufschreiben. ann die Masche auftrennen und für eine weitere noch geschlossene Masche die nächste Maschengleichung aufschreiben, u.s.w., bis keine geschlossene Masche mehr vorhanden ist. Man erhält : z-(k-1) z-k+1 unabhängige Maschengleichungen. 5) ie insgesamt z gefundenen unabhängigen Gleichungen werden durch sukzessives Eliminieren oder entsprechende Verfahren nach den unbekannten Zweigströmen 1... z aufgelöst. Eventuell Anwendung der Cramer schen Regel. 6) Gefundene Ströme in Netzwerk eintragen, dabei für negativ berechnete Ströme die Richtung des Bezugspfeils umkehren und positiven Stromwert antragen. 7) Knoten und Maschen kontrollieren. Netzwerkberechnung 1

2 GRNLAGEN der ELEKTROTECHNK ie Methode wird der Übersicht wegen an einer einfachen Brückenschaltung erläutert, sie gilt aber bei beliebig grossen Schaltungen. Man betrachtet die Schaltung in Abb. 1 und die eingezeichneten in sich geschlossenen Ströme, die man Maschenströme nennt. a jeder Maschenstrom in einen Knoten einund gleich wieder austritt, ist die Knotenregel schon durch den Ansatz erfüllt. Kennt man die Maschenströme, so ergeben sich die Zweigströme aus den Summen der Maschenströme, z. B. ist der Zweigstrom 5 + Bei der Auswahl geeigneter Maschen greift man auf das Hilfsmittel des sog. vollständigen Baumes zurück (vgl. Abb. 2). Reiht man von einem Knoten ausgehend die Netzwerkzweige so aneinander, dass keine Masche entsteht und werden alle Knoten erfasst, dann spricht man von einem vollständigen Baum. n einem Baum allein kann kein Strom fliessen, weil er keinen Rückweg findet. ies ändert sich sofort, wenn man Verbindungszweige, d. h. die restlichen Zweige einführt. Über jeden Verbindungszweig und die Zweige des Baumes wird eine geschlossene Bahn für einen Maschenstrom geschaffen. Bei der Form und Lage des vollständigen Baums ist man frei und kann ihn unter Beachtung obiger Regeln willkürlich legen. R 1 R 2 R 5 R 3 R 4 Abb. 1 Ansatz von Maschenströmen. R 1 R 2 R 5 R 3 R 4 Abb. 2 Vollständiger Baum. Man setzt nun Maschengleichungen für die ausgewählten Maschenströme an; dabei muss man auf die vorzeichenrichtige Addition aller Teilspannungen achten: M1: M2: M3: mittels des ohm schen Gesetzes Spannungen durch Widerstände und Zweigströme ersetzen: M1: R R R 2 2 M2: R R R 4 4 M3: 6 - R R 4 4 2

3 GRNLAGEN der ELEKTROTECHNK Zweigströme durch Maschenströme ersetzen: M1: R 1 + R 5 ( + ) + R 2 ( - ) M2: R 3 + R 5 ( + ) + R 4 ( + ) M3: - R 2 ( - ) + R 4 ( + ) Nach Maschenströmen sortieren: M1: (R 1 + R 2 + R 5 ) + R 5 -R 2 M2: R 5 +(R 3 + R 4 + R 5 ) + R 4 M3: -R 2 +R 4 +(R 2 +R 4 + ) oder in Matrixschreibweise: R 1 + R 2 + R 5 + R 5 -R 2 R 5 R 3 + R 4 + R 5 R 4 -R 2 R 4 R 2 + R 4 + als eine höhere Form des Ohm schen Gesetzes R Widerstandsmatrix Stromvektor Spannungsvektor Zur Bestimmng der die Schaltung charakterisierenden Widerstandsmatrix bietet ein von W. Bader angebenes Schema den schnellsten Weg: M rechte Seite 1 R 1 + R 2 + R 5 R 5 -R 2 2 R 5 R 3 + R 4 + R 5 R 4 3 -R 2 R 4 R 2 + R 4 + ie Zeilen sind eine Kurzschreibweise der Maschengleichungen. n den Spalten stehen im Kopf die gesuchten Maschenströme und darunter die Summe der jeweils von ihnen durchflossenen Widerstände. 3

4 GRNLAGEN der ELEKTROTECHNK Es gelten folgende Regeln: R mm Σ aller Widerstände in der Masche m, die vom Maschenstrom m durchflossen werden R mn Widerstand, vom Maschenstrom m und vom Maschenstrom n durchflossen; wobei das (+) Zeichen bei gleichsinnigem und das (-) bei gegensinnigem urchfluss gilt. Ferner gilt: R mn R nm as Schema ist symmetrisch, weil die Koppelwiderstände R mn in beiden Maschen m und n dieselben Spannungsabfälle verursachen. ie rechte Seite ist gleich - Σ aller rspannungen in der Masche m. Aus der Widerstandsmatrix und dem Spannungsvektor lassen sich dann mittels der Cramer schen Regel die Maschenströme m berechnen: m m wobei det R die eterminante der Widerstandsmatrix ist, und die nterdeterminante m aus entsteht, wenn man die Spalte m durch die rechte Seite ersetzt. Es ist also z. B. +R 5 -R 2 R 3 + R 4 + R 5 R 4 R 4 R 2 +R 4 + R 1 +R 2 +R 5 +R 5 -R 2 R 5 R 3 + R 4 + R 5 R 4 -R 2 R 4 R 2 + R 4 + urch Auswerten der eterminanten lassen sich auf diese Weise alle Maschenströme bestimmen, aus denen anschliessend die Zweigströme ermittelt werden. Also 1 ; 2 - ; 3 ; 4 + ; 5 + ; 6 4

5 GRNLAGEN der ELEKTROTECHNK ie Knotenanalyse ie Knotenanalyse erlaubt einen eindeutigen Ansatz. Sie geht von einem einfachen Grundgedanken aus: n einer Schaltung müssen alle Ströme eindeutig bestimmbar sein, wenn alle k Knotenspannungen gegenüber einem Bezugsknoten (Erde, Masse) bekannt sind. Man stellt also ein Gleichungssystem für diese Knotenspannungen auf. Grundlage des Ansatzes ist die Knotenregel. azu werden in allen Zweigen die Leitwerte angegeben und alle Spannungsquellen in Stromquellen umgewandelt. ann gelten die Knotengleichungen: 1 2 R 1 R 2 12 R 5 13 R 3 R 4 Abb. 1 Ansatz von Knotenspannungen K1: G 6 K2: K3: mittels des ohm schen Gesetzes werden die Ströme durch Leitwerte und Zweigspannungen ersetzt. K1: G G G 6 1 K2: -G G G 5 23 K3: -G G G 5 23 Zweigspannungen durch Knotenspannungen ersetzen: K1: G 1 ( 1-2 ) + G 2 ( 1-3 ) + G 6 1 K2: G 1 ( 2-1 ) + G G 5 ( 2-3 ) K3: G 2 ( 3-1 ) + G G 5 ( 3-2 ) Nach Knotenspannungen sortieren: K1: (G 1 + G 2 + G 6 ) 1 - G G 2 3 K2: -G 1 1 +(G 1 + G 3 + G 5 ) 2 - G 5 3 K3: -G G 5 2 +(G 2 + G 4 + G 5 ) 3 ie Knotenanalyse 5

6 GRNLAGEN der ELEKTROTECHNK oder in Matrixschreibweise: G 1 + G 2 + G 6 - G 1 -G 2 1 -G 1 G 1 + G 3 + G 5 - G 5 2 -G 2 - G 5 G 2 + G 4 + G 5 3 als eine höhere Form des Ohm schen Gesetzes Leitwertmatrix Spannungsvektor Stromvektor und damit das Bader sche Schema : K rechte Seite 1 G 1 + G 2 + G 6 - G 1 - G 2 2 -G 1 G 1 + G 3 + G 5 - G 5 3 -G 2 - G 5 G 2 + G 4 + G 5 ie Zeilen sind eine Kurzschreibweise der Knotengleichungen. n den Spalten stehen im Kopf die gesuchten Knotenspannungen, die Bedeutung der einzelnen Elemente ergibt sich aus der Ableitung der Gleichungen: Es gelten folgende Regeln: G G mm Σ aller Leitwerte vom Knoten m nach Masse, wenn alle übrigen Knoten geerdet sind. G mn -Leitwert vom Knoten m zum Knoten n Ferner gilt: G mn G nm as Schema ist symmetrisch. ie rechte Seite Σ aller auf Knoten m zufliessenden rströme. Aus der Leitwertmatrix und dem Stromvektor lassen sich dann mittels der Cramer schen Regel die Knotenspannungen m berechnen: m m wobei det G die eterminante der Leitwertmatrix ist, und die nterdeterminante m aus entsteht, wenn man die Spalte m durch die rechte Seite ersetzt. ie Knotenanalyse 6