Grundlagen der Elektrotechnik 1

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1 Grundlagen der Elektrotechnik Kapitel : Berechnungsverfahren für Netzwerke Berechnungsverfahren für Netzwerken. Überlagerungsprinzip. Maschenstromverfahren. Knotenpotentialverfahren 6. Zweipoltheorie 7.5 Aufgaben.0.0 -

2 . Berechnungsverfahren für Netzwerken Wie an den bisher vorgestellten Schaltungen ersichtlich geworden ist, genügen selbst wenige Komponenten, um komplexere Schaltungen aufzubauen. Sollen diese Schaltungen dann berechnet werden, existieren in der Elektrotechnik einige bewährte Verfahren. Ein Verfahren ist bisher bereits implizit benutzt worden, nämlich die Netzwerkberechnung mittels direkter Anwendung der Kirchhoffschen Maschen und Kontenregeln. Dieses Verfahren ist universell und daher grundsätzlich immer anwendbar. Der Nachteil dieser Vorgehensweise besteht darin, daß grundsätzlich immer alle Größen in den Bestimmungsgleichungen auftauchen und zur Lösung der Gleichungen auch bestimmt werden müssen. Sollen jedoch nur die interessierenden Größen bestimmt werden, sind andere Ansätze zur Verringerung des Berechnungsaufwands günstiger.. Überlagerungsprinzip Das Überlagerungsprinzip, auch Superpositionsprinzip genannt, nutzt die Linearität von elektrischen Netzwerken aus. Dabei wird jede Energiequelle eines Netzwerks getrennt betrachtet und ihre Wirkung auf die einzelnen passiven Komponenten ermittelt. Die resultierende Gesamtwirkung ergibt sich durch Addition der Einzelwirkungen. Ein Netzwerk mit n Energiequellen muß dazu in n Netzwerke mit jeweils einer Energiequelle umgeformt werden. Dabei werden überzählige Stromquellen entfernt. Der entsprechende Zwei bleibt offen und ist somit stromlos. Überzählige Spannungsquellen werden kurzgeschlossen. Dieses Verfahren auf jede Energiequelle angewendet liefert dann Einzelwirkungen, die durch Superposition zur Gesamtwirkung werden. Die Zählrichtung von Strom und Spannung am an jeder Netzwerkskomponente sollte dabei einmal am vollständigen Netzwerk festgelegt werden und für die einzelnen Netzwerke beibehalten werden. An der Beispielschaltung in Bild.. soll das Verfahren verdeutlicht werden. Zunächst werden alle Strom- und Spannungsrichtungen festgelegt. Diese gelten für alle nachfolgenden Bearbeitungsschritte. m nächsten Schritt wird ein Netzwerk mit nur einer Energiequelle entwickelt (Abbildung..) und alle darin auftretenden Ströme und Spannungen berechnet. Als einzige aktive Energiequelle wird gewählt. Die Spannungsquelle wird kurzgeschlossen und die Stromquelle 5 ersatzlos entfernt. Dann werden alle Zweigströme berechnet. R =00 R R =00 5 =0A =00V R R R =50 R =00 Abbildung..: Beispielschaltung =00V.0.0 -

3 R =00 R R =00 =00V R R =50 R R =00 Abbildung..: Beispielschaltung, aktiv Für ergibt sich: 00V R R R R 00 R R R ergibt sich nach der Stromteilerregel. R 50 00, 077 A 0, 65A R R Für und ergibt sich R 00, 077 A 0, 65 A R R R R R R , 077 A Der Strom 5 ist Null. m Nächsten Schritt werden die Verhältnisse für die Spannungsquelle betrachtet. Dazu wird kurzgeschlossen und 5 ersatzlos entfernt (Abbildung..). Für die Ströme und ergibt sich somit: R =00 R R =00 R R R =50 R =00 =00V Abbildung..: Beispielschaltung, aktiv 00V R R R R R R R R R Die Ströme und können wieder nach der Stromteilerregel bestimmt werden. 0, 65A.0.0 -

4 R 00 0, 65A 0, 077 A R R R 00 0, 65A 0, 58A R R Der Strom 5 ergibt sich abermals zu Null. m letzten Netzwerk wird nun die Stromquelle als einzige Energiequelle genommen. Die Spannungsquellen und werden kurzgeschlossen. Es ergibt sich das Ersatzbild in Abbildung... R =00 R R =00 5 =0A R R R =50 R =00 Abbildung..: Beispielschaltung, 5 aktiv n dieser Schaltung ergibt sich der Strom nach der Stromteilerregel zu: R R A , 69 A R R R Für gilt: 5 7, 69 A 0A, 08A Die Ströme und lassen sich wieder nach der Stromteilerregel bestimmen. R 00, 08 58, A R R R 00, 08 0, 769A R R Faßt man diese Ergebnisse in einer Tabelle zusammen, ergibt sich: Quelle 5,077A 0,65A 0,65A 0,65A 0-0,077A 0,58A -0,65A -0,65A 0 5 -,58A 0,769A 7,69A -,08A 0A gesamt -0,7687A,86A 7,86A -,5A 0A Mit Hilfe der Ströme lassen sich nun leicht die Spannungen bestimmen. Es ergeben sich dabei: R R R -76,87V 76,9V 9,V -5,V.0.0 -

5 . Maschenstromverfahren Beim Maschenstromverfahren werden nur Maschengleichungen benutzt. Die Maschengleichungen müssen voneinander linear unabhängig sein. n der Schaltung vorkommende Stromquellen müssen in äquivalente Spannungsquellen umgewandelt werden (Abbildung..). Der nnenwiderstand der Stromquelle darf dabei den Wert nendlich nicht annehmen, d.h. G i > 0. Anschließend wird jeder Masche ein Strom zugeordnet. Das Gleichungssystem mit n Maschengleichungen enthält daher dann auch n unbekannte Maschenströme. Mit diesem Gleichungssystem können die Maschenströme dann berechnet werden. Für Zweige der Schaltung, die von mehreren Maschenströmen durchflossen werden, ergibt sich der resultierende Zweigstrom durch Überlagerung der Maschenströme. Diese Vorgehensweise ist daher dem Superpositionsprinzip ähnlich. k R i R i q Abbildung..: mwandlung der Ersatzstromquelle Beim Maschenstromverfahren werden daher alle Knotengleichungen eingespart. Es eignet sich daher für Schaltungen die über wenige Maschen aber viele Knoten verfügen. Dieses Verfahren soll nun auf die Beispielschaltung in Abbildung.. angewendet werden. Zunächst werden dabei die Maschenumläufe in Richtung der Ströme und bezüglich der darin vorkommenden Zweige definiert. R =00 R =50 =9,V =00V R =00 R =00 =00V Abbildung..: Beispielschaltung.0.0-5

6 Für die Beispielschaltung ergeben sich dann folgende Maschengleichungen: R R R 0 Masche R R R R 0 Masche R R 0 Masche Masche wird nach umgeformt. Es ergibt sich: R Masche wird nach umgeformt. Es ergibt sich: R R R Dies in Masche eingesetzt ergibt: R R R R R 0 R R R R R R R R R R R R 0 R 00V 00 00V 9,V R R 00 00, 5A R 00 R R R Damit können nun die restlichen Maschenströme ermittelt werden. 9, V, 5 A 0A 50 00V, 5 A 00 0, 77 A Die Zweigströme können nun durch Überlagerung der Maschenströme berechnet werden. Es gilt dabei: 0, 77 A, 5 A, 85A,5A 0A 7, 86A. Knotenpotentialverfahren Beim Knotenpotentialverfahren wird für einen beliebigen Knoten das Potential Null angenommen. Für alle Zweige des Netzwerks werden dann die Zweigströme definiert. Danach werden die Knotengleichungen für die verbliebenen Knoten aufgestellt. Für alle Zweige werden dann die Spannungsgleichungen aufgestellt und diese dann in die Knotengleichungen eingesetzt. Die Spannungsgleichungen bilden hierbei linear unabhängige Maschenumläufe entlang eines Zweigs. Bei den Spannungsgleichungen werden die Leitwerte G der Widerstände verwendet. Das Verfahren soll an der in Abbildung.. dargestellten Schaltung demonstriert werden. Zunächst wird der untere Knoten mit dem Potential Null belegt (). Dann werden die Zweigströme definiert (). Die resultierende Knotengleichung lautet dann: 0 Die Spannungsgleichungen lauten: A R R A R R A

7 Diese Spannungsgleichungen werden nun nach den Zweigströmen umgeformt. G R =0 =00V R =00 A =00V G R =50 G G R =50 Abbildung..: Beispielschaltung A R R A R A Diese Beziehungen für die Ströme werden in die Knotengleichungen eingesetzt. A A A 0 R R R Damit kann nun die Spannung A bestimmt werden. A R R R R R 00V 00V R R R R 0 50 A 50 78, 57V R R R R R R Damit werden nun die Ströme bestimmt. 78,57V 00V 0, 57A ,57V 0, 786A 00 78,57V 00 0, 86A 50. Zweipoltheorie Die Zweipoltheorie eignet sich immer dann, wenn nur bestimmte Teile eines Netzwerks untersucht werden sollen. Der Ansatz besteht dann darin, ein gegebenes Netzwerk in einen aktiven und einen passiven Zweipol aufzuteilen. Der aktive Zweipol wird dabei von einer Ersatzspannungsquelle oder einer Ersatzstromquelle mit nnenwiderstand gebildet

8 Die Ersatzspannungsquelle besitzt dabei den Spannungswert, den die Schaltung an den Anschlußstellen des passiven Netzwerkes im Leerlauffall besitzt. Analog ist der Kurzschlußstrom der Strom, der bei einem Kurzschluß der Anschlußstellen durch die Kurzschlußbrücke fließt. Der nnenwiderstand des aktiven Zweipols ist der Widerstand, der sich an den Anschlußstellen meßtechnisch ermitteln läßt, wenn alle Spannungsquellen kurzgeschlossen und alle Stromquellen entfernt werden. Diese Vorgehensweise soll an einem Beispiel betrachtet werden (Abbildung..). R =0 R =0 =0A R 8 =0 =0V R 7 =00 aktiver Zweipol passiver Zweipol R 6 =50 R 5 =50 5 R =50 Abbildung..: Beispielschaltung Diese Schaltung soll nach der Zweipoltheorie in eine Ersatzspannungsquelle mit nnnenwiderstand umgewandelt werden. Diese Ersatzspannungsquelle versorgt dann den passiven Zweipol. Die resultierende Schaltung ins in Abbildung.. dargestellt. aktiver Zweipol passiver Zweipol R i R =50 q R 5 =50 5 R 6 =50 Abbildung..: Ersatzschaltung mit passivem Zweipol.0.0-8

9 Es soll zunächst die Spannung q bestimmt werden. Dazu wird die Originalschaltung mit offenen Ausgangsklemmen betrachtet (Abbildung..). R =0 R =0 =0A R 8 =0 8 =0V R 7 =00 q Abbildung..: Bestimmung der Leerlaufspannung Die Leerlaufspannung, oder auch Quellenspannung, q ergibt sich zu: q 8 Da der Stromkreis über R offen ist, ergibt sich zu Null und damit auch. Für die Stromquelle ergibt sich nur ein Stromfluß über R, R 8 und R 7. diese Widerstände sind in Reihe geschaltet. 8 ergibt sich damit zu: 8 R8 Die Quellenspannung q ist damit: q R8 0A 0 0V 90V Der nnenwiderstand wird ermittelt, indem alle Spannungsquellen kurzgeschlossen und alle Stromquellen ersatzlos entfernt werden. Der nnenwiderstand ist dann der sich an den Ausgangsklemmen einstellende Widerstand (Abbildung..). R =0 R =0 R 8 =0 R 7 =00 R i Abbildung..: Bestimmung des nnenwiderstands Für den nnenwiderstand ergibt sich somit:.0.0-9

10 Ri R8 R Damit können nun die Ströme im passiven Zweipol berechnet werden. Der Gesamtstrom ergibt sich zu: q 90V, 6875A R R R R i 5 ( 6 ) Die Ströme und 5 ergeben sich nach der Stromteilerregel: R5 50,6875A 0, 565A R R R R ,6875A, 5A R5 R Soll statt der Ersatzspannungsquelle die Ersatzstromquelle verwendet werden, muß statt der Leerlaufspannung q der Kurzschlußstrom K an den Ausgangsklemmen ermittelt werden (Abbildung..5). R =0 R =0 =0A 8 R 8 =0 =0V R 7 =00 K Abbildung..5: Bestimmung des Kurzschlußstroms Der Kurzschlußstrom soll nach dem Superpositionsverfahren ermittelt werden. Für den Anteil durch die Stromquelle ergibt such: R8 0 K 0A 5A R R8 0 0 Für den Anteil durch die Spannungsquelle ergibt sich: 0V K 0, 5A R R8 0 0 Der Kurzschlußstrom ergibt sich somit zu: K K K 0, 5A 5A, 5A Das resultierende Ersatzbild für die Ersatzstromquelle zeigt Abbildung

11 aktiver Zweipol passiver Zweipol K R 6 =50 R =50 R i R 5 =50 5 Abbildung..6: Ersatzschaltung mit Ersatzstromquelle.0.0 -

12 .5 Aufgaben Aufgabe.5. Gegeben ist die Abbildung.5.. gezeigte Schaltung. Berechnen Sie alle Ströme und Spannungen nach dem Superpositionsprinzip. Ermitteln Sie eine allgemeine Formel für die Spannung 6. 6 =0A 6 R =50 R =00 R 5 =5A =00V R R =5 5 R =00 R =00V Abbildung.5..: Schaltung zu Aufgabe.5. Aufgabe.5. Berechnen Sie alle Ströme und Spannungen der Schaltung in Abbildung.5.. nach dem Maschenstromverfahren. R =00 =00V 5 =0A =00V R =0 R =50 Abbildung.5..: Schaltung zu Aufgabe.5.. Aufgabe.5. (nur Elektrotechnik) Berechnen Sie alle Ströme und Spannungen der Schaltung in Abbildung.5.. nach dem Maschenstromverfahren

13 R =0 =00V R =00 =00V R =00 R =00 R 5 = R 6 =50 Abbildung.5..: Schaltung zu Aufgabe.5. Aufgabe.5.. Bestimmen Sie die Zweigströme der Schaltung in Abbildung.5.. nach dem Knotenpotentialverfahren.. Bestimmen Sie die Zweigströme der Schaltung in Abbildung.5.. nach dem Maschenstromverfahren (nur nicht-elektrotechnik). R =00 =00V 6 =0A =00V R =50 R =50 R 5 =0 5 R =0 Abbildung.5..: Schaltung zu Aufgabe.5. Aufgabe.5.5 (nur Elektrotechnik) Bestimmen Sie die Zweigströme der Schaltung in Abbildung.5.5. nach dem Knotenpotentialverfahren

14 R =0 R =0 =00V A R =00 B =00V R 7 =00 C R 6 =50 R 5 =50 R =00 5 Abbildung.5.5.: Schaltung zu Aufgabe.5.5 Aufgabe.5.6 Bestimmen Sie den Zweigstrom der passiven Last der Schaltung in Abbildung.5.6. nach der Zweipoltheorie über die Ersatzspannungsquelle. R 7 =00 R =00 =0V R =00 =00V R =0 R =0 R 6 =50 L R L =0 L Abbildung.5.6.: Schaltung zu Aufgabe.5.6 Aufgabe.5.7 Bestimmen Sie die umgesetzte Leistung am Widerstand R L bei Leistungsanpassung in der Schaltung in Abbildung

15 R =5 =0A L =00V =50V R =0 R L R =50 R 5 =50 Abbildung.5.7.: Schaltung zu Aufgabe.5.7 Aufgabe.5.8 Bestimmen Sie die umgesetzte Leistung am Widerstand R L bei Leistungsanpassung in der Schaltung in Abbildung R =5 L =0A =5A =50V R =0 R L R =50 R 5 =50 Abbildung.5.8.: Schaltung zu Aufgabe.5.8 Aufgabe.5.9 Gegeben ist die in Abbildung.5.9. gezeigte Schaltung. 9. Berechnen Sie den Laststrom L. 9. Bestimmen Sie die äquivalente Ersatzspannungsquelle. 9. Bestimmen Sie die äquivalente Ersatzstromquelle. R =0 L =00V R =00 R =00 R L =0 Abbildung.5.9.: Schaltung zu

16 Aufgabe.5.0 (nur Elektrotechnik) Gegeben ist die Abbildung.5.0 gezeigte Schaltung. Bestimmen Sie die Daten der äquivalenten Ersatzspannungs- und Ersatzstromquelle. R =00 K R R =00 0 =0A 0 =00V R R R =50 R L K L K Abbildung.5.0.: Schaltung zu.5.0 Aufgabe.5. Für die in Abbildung.5.. dargestellte Schaltung soll die Ersatzspannungs- und Stromquelle bestimmt werden. R L R L Last R =00 R =0 R =50 R =00V R =50V =50V Abbildung.5..: Schaltung zu

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