2.3.2 Messverstärker für Spannungen

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1 Dipl.-ng. G.Lebelt Messverstärker für Spannungen Sachworte: Messverstärker, u/u-verstärker, Spannungsfolger, mpedanzwandler, Superposition, Nullpunktfehler, Offsetspannung, Offsetstrom, Eingangsstrom, Messfehler (bekannte, systematische), Messabweichung (synonym zu Messfehler ), Messunsicherheiten (unbekannte Einflüsse) Bild zeigt einen u/u-spannungsverstärker, dessen Verstärkung k durch die Ohmschen Widerstände und bestimmt wird. n der Aufgabe werden zunächst systematische Fehler (Messabweichungen) betrachtet, die durch Abweichungen der Widerstandswerte verursacht sind. Weiterhin interessieren die Auswirkungen statistisch verteilter Toleranzen der Widerstandswerte, wobei dann mit Hilfe der berechnenden Statistik sog. Messunsicherheiten zu berechnen sind. Abschließend werden die Einflüsse der Offsetspannung und der Eingangsströme des Operationsverstärkers OV untersucht. Soweit nicht anders angegeben wird der OV als ideal betrachtet mit einer unendlich großen offenen Spannungsverstärkung k und einem unendlich hohen Eingangswiderstand e. OV e = 99k Ω Bild a = kω Die Verstärkung k = a / e wurde im Buch in Kapitel.3 Gl. (.33) berechnet: k = a = + e () Für eine Verstärkung k = 00 wurden die Widerstände zu = 99 kω und = kω dimensioniert (Sollwerte). von 7

2 Dipl.-ng. G.Lebelt.3. a) Systematischer Fehler (Messabweichung) Die beiden Widerstände und wurden vermessen mit dem Ergebnis, dass um Δ = 4 kω zu groß und um Δ = - 0,03 kω zu klein war. Wie groß ist die tatsächliche Verstärkung k real = a / e allgemein und zahlenmäßig bei genauer numerischer Berechnung auf Nachkommastellen? Die tatsächlichen Widerstandswerte werden in die Gl. () eingesetzt. soll + Δ 03 kω kreal = + = + = 07,9 + Δ 0,97 kω soll Damit weicht die reale Verstärkung k real um Δk vom wahren Wert k ab Die Verstärkung ist um 7,9 bzw. 7,9 % zu groß. Δk = kreal k = 07,9 00 = + 7,9 Δ k 7,9 (3) = = 0,079 = 7,9 % k 00 () b) Näherungsweise Berechnung des Fehler (Messabweichungen) Der relative Fehler soll nun nochmals berechnet werden und zwar näherungsweise mit Hilfe einer Taylor-eihenentwicklung, bei der nach dem. Glied abgebrochen wird. m Buch Gl. in (.34) wird für ein Messergebnis der Form y = f(x, x,.. x n ) der absolute Fehler Δy für kleine Werte Δx i /x i << angegeben. df Δxi Δ y = (4) dxi xi Damit ergibt sich für y = k der absolute Fehler Δk in allgemeiner Form zu dk dk Δ Δ Δk = Δ + Δ = (5) d d und mit den gegebenen Zahlenwerten zu 4 kω 99 k Ω ( 0,03 k Ω ) Δk = = + 6,97 kω kω kω und damit ein relativer Fehler von: Δk 6,97 = = + 0,0697 = + 6,97 % k 00 Dieses zahlenmäßige Ergebnis (7) der Näherungsrechnung weicht zwar geringfügig vom exakten Zahlenwert nach Gl. (3) ab, was aber in der Praxis völlig unerheblich ist. (6) (7) von 7

3 Dipl.-ng. G.Lebelt.3. c) Messunsicherheiten Die Werte der Widerstände und sind jetzt nicht mehr mit systematischen Fehlern (Abweichungen) behaftet sondern unterliegen Normalverteilungen (Gaußverteilungen) mit den Mittelwerten von =99kΩ bzw. =kω Die Δ i sind jetzt die Standardabweichungen s ( ) und s ( ) dieser Verteilungen, die in der Elektrotechnik als Bauteiltoleranzen angegeben werden. = 99 kω = kω s = 4kΩ s = 0,03kΩ 68,3 % der Widerstandswerte liegen im ntervall ± s um den jeweiligen Mittelwert. 95 kω 03 kω 0,97 kω,03 kω Wie groß ist bei zufällig herausgegriffenen Widerständen und die 68,3 % - Messunsicherheit u der Verstärkung k? Wird die Gl. (.7) des Buches df u = s( y) = s dxi auf die Verstärkung k = + / angewendet, ergibt sich die Messunsicherheit u zu: (8) ( ) ( ) dk dk u = s(k) = s + s = s + s d d Bei umfangreicheren Berechnungen empfiehlt sich zwischendurch ein Einheiten-Check, bei dem geprüft wird, ob eine Gleichung hinsichtlich der Einheiten stimmig ist. Offensichtlich ist Gl. (9) in dieser Hinsicht korrekt, nachdem und in Ω und ebenso s und s in Ω einzusetzen sind, sodass sich die nsicherheit u als eine reine Zahl ohne Einheit ergibt. Mit den gegebenen Zahlenwerten liefert Gl. (8): (9) Ω 99 k u = s( k ) = ( 4 kω) + ( 0,03 kω) = 6,00 + 8,8 5 kω kω (0) Die absolute nsicherheit des Verstärkungsfaktors k beträgt also 5 bei einem Mittelwert (Sollwert) von k = 00, der gleich dem Sollwert ist. 68,3 % der Werte der Verstärkungsfaktoren k liegen im Bereich s( k ) = k ± u = 00 ± 5 : 95 k von 7

4 Dipl.-ng. G.Lebelt.3. d) Spannungsfolger d) Was versteht man unter einem Spannungsfolger und wo sind dessen Einsatzgebiete? Man versteht unter einem Spannungsfolger einen u/u-spannungs-verstärker mit einer Verstärkung von, der wie alle u/u-verstärker einen hohen Eingangswiderstand und einen niedrigen Ausgangswiderstand besitzt. Nachdem bei diesem Verstärker die Ausgangsspannung der Eingangsspannung folgt und der hohen Eingangswiderstand in einen niedrigen Ausgangswiderstand gewandelt wird, bezeichnet man einen solchen Verstärker als Spannungsfolger oder als mpedanzwandler. Einsatzgebiete sind dort, wo die Signale hochohmiger Spannungsquellen ohne eine zusätzlich erforderliche Verstärkung einer nachfolgenden niederohmigen Auswerteeinheit zuzuführen sind. d) Wie sind bei einem Spannungsfolger und zu dimensionieren? Gl. () liefert für k = + = die Dimensionierungsvorschrift k = + 0, = = () die erfüllt wird durch: = 0 Ω und beliebig (3) () n der Praxis wird durch einen Kurzschluss realisiert, während nicht vorhanden ist und so eingespart werden kann (Bild ). e OV a Bild 4 von 7

5 Dipl.-ng. G.Lebelt.3. e) Einfluss von Spannungs- und Stromnullpunktfehlern Der Operationsverstärker habe nun entsprechend Bild 3 einen Spannungsnullpunktfehler os, auch als Offsetspannung bezeichnet, sowie Stromnullpunktfehler, repräsentiert durch die Eingangsströme n und p. Ansonsten werden die Eigenschaften des idealen OV zu Grunde gelegt. (k entsprechend e = 0 mv und e entsprechend e = 0 ma) p os p =,0 na n =, na os =,0 mv n OV 3 Bild 3 Geben Sie den durch os, n und p verursachten Nullpunktfehler Δ a der Ausgangsspannung a an, wenn die e -Spannungsquelle den nnenwiderstand i aufweist. Die Lösung erfolgt am einfachsten nach dem Superpositionsprinzip. Bei e = 0 mv wird nacheinander jede der 3 vorhandenen Quellen os, n und p einzeln betrachtet und ihr Beitrag zur Ausgangsspannung a ermittelt. Die Addition ( Superposition ) dieser 3 Einzelbeiträge ergibt den gesuchten Nullpunktfehler. Bei diesem Superpostitionsverfahren wird eine nicht betrachtete Spannungsquelle als Kurzschluss und eine nicht betrachtete Stromquelle als nterbrechung angesetzt, wie in Bild 4 bis 6 dargestellt. Δ a ( os ) bei n = 0 ma und p = 0 ma: os e OV a Bild 4 Entsprechend Bild 4 wirkt os wie eine zusätzliche Eingangsspannung, für die Gl. () anzuwenden ist und die bei e = 0 mv die Ausgangsspannung Δ a ( os ) liefert. Δ ( ) k a os = os = + os (4) 5 von 7

6 Dipl.-ng. G.Lebelt.3. Δ a ( n ) bei os = 0 mv und p = 0 ma: é é é OV a Bild 5 n Die Berechnung bedarf einiger Überlegungen an Hand von Bild 5. Wegen e = 0 mv ist der Verstärkereingang kurzgeschlossen. Wegen e = 0 mv ist der Spannungsabfall über Null (Maschengleichung!). Damit fließt wegen e = 0 ma (Knotenregel) der gesamte Strom n über den Widerstand. Die durch n hervorgerufene Ausgangsspannung ist damit gleich dem Spannungsabfall über und beträgt: Δ ( ) = a n n (5) Δ a ( p ) bei os = 0 mv und n = 0 ma: q é é p OV é a Bild 6 Hier ist der nnenwiderstand q der Eingangsquelle e zu berücksichtigen (Bild 6). Wegen e = 0 fließt der Strom p über q und führt dort zu einem Spannungsabfall von p q, der als eine zusätzliche Eingangsspannung wirkt. Gl. () ergibt den durch p verursachte Ausgangsspannung zu: Δ a( p ) = qk p (6) Gesamter Nullpunktfehler Δ a ( os, n, p ): Die Superposition, d.h. die Addition der Gleichungen (4), (5) und (6), liefert: Δ (,, ) = Δ ( ) + Δ ( ) + Δ ( ) a os n p a os a n a p ( ) = k + os q p n (7) 6 von 7

7 Dipl.-ng. G.Lebelt.3. Anmerkung n den Datenblättern von Operationsverstärkern finden Sie standardmäßig die folgenden Angaben zu den Nullpunktfehlern des OV: Offsetspannung os Offsetstrom os os = n p Biasstrom bias bias = n + p Die beiden Eingangsströme n und p des OV sind nicht explizit gegeben, sondern nur betragsmäßig als nsymmetrie ( Offsetstrom ) os und als Mittelwert ( Biasstrom ) bias. Nachdem n und p stets beide das gleiche entweder positive oder negative Vorzeichen besitzen, berechnen sich die OV-Eingangsströme betragsmäßig zu: os os n = + bias und p = bias (8) 7 von 7