Stabilisierungsschaltung mit Längstransistor

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1 Stabilisierungsschaltung mit Längstransistor Bestimmung des Innenwiderstandes Eine Stabilisierungsschaltung gemäß nebenstehender Schaltung ist mit folgenden Daten gegeben: = 18 V R 1 = 150 Ω Für die Z-Diode gelten folgende Daten: = 12,7 V r Z = 2 Ω Für den Transistor gelten folgende Daten: B = 120 U BE = 0,7 V r B = 240 Ω = 200 Ω I C I A U R I R R 1 U CE V 2 I Z U A V 1 Diese Netzteilschaltung stellt eine Spannungsquelle mit Innenwiderstand dar. Bestimmen Sie den Innenwiderstand der Ersatzschaltung! 1

2 Lösung Zweckmäßigerweise setzt man anstelle des Transistors und der Z-Diode die jeweilige Ersatzschaltung ein. B r B U BE Nebenstehend ist die Ersatzschaltung eines Transistors dargestellt. Die Anschlüsse Basis, E Kollektor und Emitter sind mit B, C und E gekennzeichnet. Der Widerstand r B stellt Ersatzschaltung eines Transistors den Basis-Widerstand dar, die Spannung U BE die Schleusenspannung des Basis-Emitter-PN- Übergangs. Dieser Teil der Ersatzschaltung entspricht der Ersatzschaltung einer Diode. I C0 ist eine gesteuerte Stromquelle, die über den Basisstrom und den Stromverstärkungsfaktor B gesteuert wird, also mit I C0 = B. Der Widerstand ist der Innenwiderstand dieser Stromquelle, die an der Steigung der Geraden im Ausgangskennlinienfeld des Transistors erkennbar ist. Man erhält hiermit folgende Schaltung: C U R I R R 1 r Z I Z r B U BE U A Die Ersatzschaltungen für Z-Diode und Transistor sind grau hinterlegt, damit sie besser im Zusammenhang erkennbar sind. R 1 r Z Z R 1 r Z R 1Z Die Schaltung kann nun schrittweise umgeformt werden. Als ersten Schritt bietet es sich an, den Spannungsteiler aus R 1 und r Z zusam- Umwandlung Ersatzschaltung men mit und in eine Spannungsquelle U 1Z mit Innenwiderstand R 1Z umzuformen, wie nebenstehend dargestellt ist. Dazu wird zunächst die Eingangsspannung in zwei Teilspannungen zerlegt, nämlich in Z und die bereits bekannte Spannung. Hiermit ist es jetzt möglich, den Spannungsteiler bestehend aus R 1 und r Z zusamen mit der Hilfsspannung Z umzuwandeln in eine neue Spannungsquelle mit Innenwiderstand. U 1Z 2

3 Diese Umwandlung geschieht im zweiten Teilschritt. In der obenstehenden Skizze ist bereits die dabei aus Z entstandene Ersatzspannung (nennen wir sie U rz ) mit der Spannungsquelle zu einer weiteren Hilfsspannung mit dem Namen U 1Z zusammengefasst worden. Baut man diese Umwandlung in die Gesamtschaltung ein, dann erhält man nachfolgende Schaltung. r 1Z r B U BE U 1Z U A Berechnen wir zuerst die Werte. R 1Z = R 1 r Z = R 1 r 2 R 1 + r Z = 150 Ω 2 Ω 150 Ω + 2 Ω R 1Z = 1,974 Ω Schaut man sich die Widerstandswerte mit R 1 = 150 Ω und r Z = 2 Ω an, dann sieht man schnell, dass in der Parallelschaltung R 1 vernachlässigbar ist. Es ist R 1Z r Z. Die Spannung, die am Spannungsteiler aus R 1 und r Z anliegt, nenne ich Z. Sie besteht aus den Spannungen und. Hierbei muss allerdings die Polung berücksichtigt werden. Sie liegt am Spannungsteiler von oben links bis unten an. Machen wir einen Maschenumlauf, beginnend oben links. Z + = 0 + Z = Z = 18 V 12,7 V Z = 5,3 V Diese Spannung wird mit dem Spannungsteiler aus R 1 und r Z auf eine Spannung an r Z heruntergeteilt, die ich U rz nennen möchte. U rz = r Z Z r Z + R 1 U rz = 2 Ω 5,3 V 2 Ω Ω U rz = 69,7 mv 3

4 Die Ersatzspannung U 1Z setzt sich aus der Spannung und der eben bestimmten Spannung U rz zusammen. U 1Z = + U rz = 12,7 V + 69,7 mv = 12,7697 V Wie man sieht, kann hierin der Einfluss von U rz vernachlässigt werden. U 1Z Im nächsten Vereinfachungsschritt können nun die Spannungen U 1Z und U BE zu einer einzigen Spannung zusammengefasst werden. Ich nenne diese Spannung U. Auch die Widerstände R 1Z und r B können zu einem Widerstand zusammengefasst werden. Diesen Widerstand nenne ich R. Überträgt man das auf die Schaltung, sieht diese so aus, wie nachfolgend gezeigt. R U R I rc I A U A U Berechnen wir nun die Werte für U und R. U = U 1Z U BE = 12,7697 V 0,7 V = 12,0697 V Näherungsweise ist diese Spannung der Sollwert für U A. R = R 1Z + r B = 1,974 Ω Ω = 241,974 Ω Dieser Widerstand ist in erster Näherung gleich dem Widerstand r B. Langsam nähern wir uns der Lösung der Frage: Wie groß ist der Innenwiderstand R i der Schaltung? Zur Lösung dieser Frage gibt es (mindestens) zwei verschiedene Vorgehensweisen. Diese sind: 1. Man bestimmt für zwei (beliebige) unterschiedliche Belastungen die sich ergebende Ausgangsspannung und bestimmt über U A und I A den Innenwiderstand. 2. Man stellt trickreiche Überlegungen an. 4

5 Methode 1: Ich bestimme U A für I A1 = 1 A und I A2 = 2 A. (Diese Werte wurden willkürlich gewählt.) Der Strom I A setzt sich aus drei Strömen zusammen: I A = + I C0 + I rc Der Strom I rc kann vorab einfach bestimmt werden, wenn man voraussetzt, dass die Ausgangsspannung zumindest nährungsweise konstant bei U A = 12 V bleibt. I rc = U A = 18 V 12 V 200 Ω = 30 ma Es ist bekannt, dass I C0 um den Stromverstärkungsfaktor B größer als ist. Das setze ich in die obige Gleichung ein, um zu berechnen. I A = + I C0 + I rc I A = + B + I rc I rc I A I rc = (1 + B) : (1 + B) = I A I rc 1 + B Mit dieser Formel können wir nun die Basisströme 1 und 2 für die beiden Ausgangsströme I A1 = 1 A und I A2 = 2 A berechnen. 1 = 1 A 30 ma = 8,017 ma 2 A 30 ma 2 = = 16,281 ma Die Ausgangsspannung setzt sich aus der Spannung U und der Spannung zusammen. Daher bestimme ich jetzt die beiden Werte für U R 1 und U R 2. U R 1 = R 1 = 241,974 Ω 8,017 ma = 1,940 V U R 2 = R 2 = 241,974 Ω 16,281 ma = 3,940 V Machen wir einen Maschenumlauf, beginnend in der Mitte rechts. U A U + U R = 0 + U U R U A = U U R Hiermit könnten nun die beiden Ausgangsspannungen für die beiden verschiedenen Belastungen berechnet werden. Letztlich benötigen wir aber nur die Differenz U A. Da in beide Werte für U A die Spannung U linear eingeht, hebt sich diese beim Bilden der Differenz wieder auf, übrig bleibt nur: Hiermit kann nun R i berechnet werden. U A = U R 2 U R 1 = 3,940 V 1,940 V = 2 V R i = U A I A = 2 V 1 A = 2 Ω 5

6 Methode 2: Wir haben gesehen, dass der Innenwiderstand R 1Z des Spannungsteilers aus R 1 und r Z näherungsweise r Z ist. Dazu in Reihe wirkt r B, wobei in dieser Reihenschaltung r B dominiert. Die restlichen Widerstandsanteile können vernachlässigt werden. Der Strom I rc fließt in diesem Modell ständig, kann also für die Differenzen unberücksichtigt bleiben, denn es ist R i = U A I A. Für jedes Milliampere Basisstrom fließt ein um den Faktor B größerer Kollektorstrom. Als Ausgangsstrom I A haben wir die Summe von und I C0, wobei hier wiederum der Basisstrom vernachlässigt werden kann. Für die Ausgangsspannungsänderung ist ausschließlich der Spannungsfall an R r B verantwortlich. Da hier ein Strom fließt, der um den Faktor B kleiner als I A ist, wirkt es für den Ausgang so, als ob ein um den Faktor B kleinerer Widerstand verantwortlich wäre. Warum? R i = U A I A U A = B = 1 B U A = 1 B U R i 1 B r B Zusammengefasst: R i r B B Vergleicht man dieses Ergebnis mit dem zuvor berechneten Ergebnis, dann kann man feststellen, dass die Abweichung so klein ist, dass sie trotz Rundung erst nach der vierten Stelle nicht erkennbar ist. R i r B B = 240 Ω 120 = 2 Ω Man kann also sagen, dass bei dieser Schaltung der Widerstand r B maßgeblich für den Innenwiderstand der Schaltung verantwortlich ist. Teilt man ihn durch die Stromverstärkung, erhält man den Innenwiderstand der Schaltung. 6