Spannungs- und Stromquellen

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1 Elektrotechnik Grundlagen Spannungs- und Stromquellen Andreas Zbinden Gewerblich- Industrielle Berufsschule Bern Inhaltsverzeichnis 1 Ideale Quellen 2 2 Reale Quellen 2 3 Quellenersatzschaltbilder 4 4 Einfacher Stromkreis mit realer Quelle 5 5 Quellenkennlinie 5 6 Abgegebene Leistung 6 7 Der Reflexionsfaktor (Leistungsverlust bei Fehlanpassung) 7 8 Zusammenschalten von Quellen Serie- und Parallelschaltung Zusammenwirken mehrerer Quellen Ersatzquellen Ersatzspannungsquelle Ersatzstromquelle

2 1 Ideale Quellen 1 Ideale Quellen Eine Spannungsquelle ist ideal, wenn an ihren Klemmen eine konstante Spannung besteht. Dies unabhängig vom Strom, der über ihre Klemmen fliesst. Zwischen zwei Anschlussklemmen besteht ein idealer Leerlauf, wenn über diese Klemmen kein Strom fliesst. Dies unabhängig von der Spannung, die zwischen diesen Klemmen besteht. Abbildung 1: Symbol und UI-Kennlinie einer idealen Spannungsquelle Eine Stromquelle ist ideal, wenn über ihre Klemmen ein konstanter Strom fliesst. Dies gilt unabhängig von der Spannung, die über ihren Klemmen besteht. Zwischen zwei Anschlussklemmen besteht ein idealer Kurzschluss, wenn zwischen diesen Klemmen keine Spannung vorhanden ist. Dies gilt unabhängig vom Strom, der über diese Klemmen fliesst. Abbildung 2: Symbol und UI-Kennlinie einer idealen Spannungsquelle 2 Reale Quellen Elektrische Quellen sind Energiewandler. Zwischen den Klemmen einer realen Quelle besteht eine Spannung U L. Wird ein Widerstand zwischen die Klemmen geschaltet, das heisst wird die Quelle belastet, dann fliesst ein Strom I L durch diesen Widerstand R L. Unabhängig von der praktischen Ausführung können wir bei einer realen Quelle weder von einer Spannungsquelle, noch von einer Stromquelle sprechen. 2

3 2 Reale Quellen Abbildung 3: Messanordnung für U L und I L Die grösste Spannung U L wird bei R = gemessen, das heisst, wenn die Quelle leer läuft. Diese Spannung wird Leerlaufspannung U 0 genannt. Mit R = 0 wird der grösste Strom I K gemessen, das heisst, wenn die Quelle kurzgeschlossen wird. Dieser Strom wird Kurzschlussstrom I K genannt. Dieses Verhalten kann nur erklärt werden, wenn in der Quelle noch ein Widerstand R i wirkt. Aus den beiden Kurven nach Abbildung 3 mit der unabhängigen Variablen R L kann die Funktion U = U (I) und I = I (U) gebildet werden. Abbildung 4: Widerstandskurven von realen Quellen Die Funktion U (I) ist bei vielen Quellen über den ganzen Bereich linear und kann angeschrieben werden als: U L = U 0 I K I L + U 0 (1) I L = I K U 0 U L + I K (2) Für die praktische Anwendung, das heisst für das Berechnen von Schaltkreisen führen wir ein Modell der realen Quelle ein. Als Ersatzschaltbilder ergeben sich eine ideale 3

4 3 Quellenersatzschaltbilder Spannungsquelle, in Serie geschaltet mit einem Widerstand und eine ideale Stromquelle, parallel geschaltet mit einem Widerstand. Der Widerstand in beiden Ersatzschaltungen heisst Innenwiderstand der Quelle R i. Der Innenwiderstand wird R i = U 0 I K (3) Der Innenleitwert wird 3 Quellenersatzschaltbilder G i = I K U 0 (4) Abbildung 5: Ersatzschaltbilder von Quellen Von links nach rechts (Abb.5): Reale Quelle Ideale Spannungsquelle mit Seriewiderstand (hat immer gleiche Spannung). Ideale Stromquelle mit Parallelwiderstand (gibt immer gleichen Strom). Mit R i wird die Formel 1 und 2 zu: U L = R i I L + U 0 (5) I L = G i U L + I K (6) Die beiden Ersatzschaltbilder zur realen Quelle sind identisch. Der Innenwiderstand beziehungsweise der Innenleitwert ist in beiden Ersatzschaltungen gleich gross. Der Quellen- Innenwiderstand/leitwert ist mit der idealen Spannungs/Stromquelle untrennbar verbunden! Sie bilden zusammen eine Ganzheit. Dagegen sind die Spannung am Innenwiderstand/leitwert und der Strom durch den Innenwiderstand/leitwert in den beiden Ersatzschaltbildern verschieden gross. Allerdings können diese Spannung und der Strom durch R i bzw. G i weder gemessen, noch getrennt von der Leerlaufspannung oder dem Kurzschlussstrom beschrieben werden. 4

5 4 Einfacher Stromkreis mit realer Quelle 4 Einfacher Stromkreis mit realer Quelle Spannung und Strom durch den Lastwiderstand R L : Abbildung 6: Reale Spannungsquelle Spannungsteiler: U L = U 0 R i + R L : R L (7) U L 1 = I L = U 0 R L R i + R L (8) R L Abbildung 7: Reale Stromquelle R i R L Parallelschaltung von R i und R L U L = I K : R L (9) R i + R L 5 Quellenkennlinie U L R i = I L = I K (10) R L R i + R L Die Darstellung nach Abbildung 8 nennen wir die Quellenkennlinie. Darin sind die Grössen U L, I K und R i, G i die Kenngrössen der Quelle. Die Quellenkennlinie entsteht aus der Aufnahme von U L und I L mit einer Messanordnung nach Abbildung 3 für 0 < R L < 5

6 6 Abgegebene Leistung Wird die reale Quelle nacheinander mit zwei oder mehr verschiedenen Lastwiderständen belastet, ergeben sich zwei oder mehr Arbeitspunkte, die auf der Quellekennlinie liegen. R i = U Ln+1 U Ln I Ln I Ln+1 (11) Abbildung 8: Quellenkennlinien mit Arbeitspunkten 6 Abgegebene Leistung Wir betrachten die von einer realen Quelle an einen Lastwiderstand abgegebene Leistung. Die Energie ist gleich dem Produkt aus Leistung und der Zeit, während der diese Leistung wirksam ist. Mit der Messanordnung nach Bild 9 ermitteln wir die Leistung P L im Lastwiderstand. Die Grösse des Lastwiderstandes sei einstellbar. Abbildung 9: Messanordnung Mit P L = I L U L wird: (12) 1 R L P L = U 0 U 0 = U 2 R L 0 R L + R i R L + R i (R L + R i ) 2 (13) 6

7 7 Der Reflexionsfaktor (Leistungsverlust bei Fehlanpassung) Für den Fall, dass R L = R i ist d.h. für den Fall der Leistungsanpassung gelten: U L = U 0 2 und I L = I K 2 mit der Normierung P 0 = U 0 I K wird: (14) P 0 = R i I K I K = I 2 K R i oder: P 0 = U 0 R i U 0 = U 2 0 R i (15) Die normierte Grösse P 0 ist die in der Quelle verbrauchte Leistung, wenn diese kurzgeschlossen wird. Beispiel 6.1. Stellen Sie Leistung P in Abhängigkeit des Lastwiderstandes R L in einem Diagramm dar (mit Excel). Untersuchen Sie die drei Fälle 1. R L >> R i man nennt diesen Fall Spannungsanpassung. 2. R L = R i man nennt diesen Fall Leistungsanpassung. 3. R L << R i man nennt diesen Fall Stromanpassung. 7 Der Reflexionsfaktor (Leistungsverlust bei Fehlanpassung) Wir gehen von folgendem Erklärungsmodell aus: Abbildung 10: Erklärungsmodell Reflexionsfaktor Der reflektierte Strom I r in unserem Denkmodell wird: Reflexionsfaktor R i I r = I L1 I L = I K 2 I K = I K R L + R i 2 RL R i (16) R L + R i r = I r I L1 = R L R i R L + R i = R L R i 1 R L R i + 1 (17) 7

8 8 Zusammenschalten von Quellen 8 Zusammenschalten von Quellen 8.1 Serie- und Parallelschaltung (a) (b) Abbildung 11: Serie- und Parallelschaltung von realen Quellen Serieschaltung: U 0ges = U 01 + U 02 + U 03 (18) R iges = R i1 + R i2 + R i3 (19) Es dürfen nur Quellen mit gleichen Urspannungen parallel geschaltet werden. Parallelschaltung: U 0ges = U 01 = U 02 = U 03 (20) 8.2 Zusammenwirken mehrerer Quellen R iges = R i1 //R i2 //R i3 (21) Parallelschaltung von verschiedenen Quellen (normalerweise nicht erlaubt). Im Beispiel werden zwei Nickel-Cadmium-Zellen mit unterschiedlichem Ladezustand parallelgeschaltet. 8

9 8 Zusammenschalten von Quellen Abbildung 12: Parallelschaltung von unterschiedlichen Quellen Berechnung: 9

10 8 Zusammenschalten von Quellen Die vorherige Schaltung nach Abbildung 12 wird erweitert durch einen gemeinsamen Lastwiderstand R3: Abbildung 13: Parallelschaltung von Quellen mit Laswiderstand Die Berechnung dieses Beispieles kann mit dem Überlagerungssatz (nach Helmholtz) oder mit dem Maschen- und Knotenansatz erfolgen. Vorgehen Helmholtz: 1. Alle Urspannungen bis auf eine, werden gedanklich kurzgeschlossen. 2. Die Teilströme berechnen. 3. Das Verfahren mit allen Quellen wiederholen. 4. Vorzeichenrichtige Addition der Teilströme. 10

11 9 Ersatzquellen 9 Ersatzquellen Bei den bisher behandelten gemischten Schaltungen von Widerständen suchten wir zur Vereinfachung stets nach einer reinen Serie- oder Parallelschaltung. Es gibt Fälle, bei denen dieser Ansatz nicht weiterführt. Als Beispiel nehmen wir eine bekannte Brückenschaltung und erweitern sie mit einem Widerstand R5. Gesucht ist der Strom I5. Abbildung 14: Brückenschaltung Wir versuchen, die gegebene Schaltung (hier die Brückenschaltung) auf eine Quelle zurückzuführen. Dies wird zuerst an einer einfacheren Schaltung, nämlich an einem Spannungsteiler, demonstriert: Abbildung 15: Spannungsteiler Der links eingerahmte Schaltungsteil wird in eine sogenannte Ersatzquelle umgewandelt. Diese Ersatzquelle ist rechts eingerahmt. Wir suchen also eine Quelle mit der Ersatzurspannung Uo und dem Ersatzinnenwiderstand Ri, welche dasselbe Verhalten wie die Ausgangsschaltung aufweist. 11

12 9 Ersatzquellen Welche Überlegungen führen uns zur Ersatzquelle mit den unbekannten Grössen Uo und Ri? Wir zeichnen von der Ausgangsschaltung eine Lastkennlinie I L = f(u L ) und bestimmen daraus Uo und Ri. Lastkennlinie der Ausgangsschaltung: 6 4 IL [ma] U L [V] Abbildung 16: Last-Kennlinie Wir orientieren uns an der Leerlaufspannung der Ausgangsschaltung und erhalten eine Ersatzquelle, welche als Ersatzspannungsquelle bezeichnet wird. Eine typische Anwendung ist die Berechnung unabgeglichener Brückenschaltungen (siehe erstes Beispiel). 9.1 Ersatzspannungsquelle Abbildung 17: Ersatzspannungsquelle Beispiel 9.1. Lösen Sie das Beispiel nach Abbildung 14, also eine unabgeglichene Brückenschaltung, mit Hilfe einer Ersatzspannungsquelle. 12

13 9 Ersatzquellen Falls wir uns am Kurzschlussstrom der Ausgangsschaltung orientieren, erhalten wir eine Ersatzquelle, welche als Ersatzstromquelle bezeichnet wird. Diese hat die gleiche Lastkennlinie wie die Ersatzspannungsquelle. Ersatzstromquellen werden vorzugsweise bei der Berechnung gewisser Transistorschaltungen eingesetzt. 9.2 Ersatzstromquelle Abbildung 18: Ersatzstromquelle Beispiel 9.2. Bestimmen Sie den Strom I4 mit Hilfe einer Ersatzspannungsquelle: Beispiel 9.3. Bestimmen Sie den Strom I6 mit Hilfe einer Ersatzspannungsquelle 13

14 9 Ersatzquellen Beispiel 9.4. UL (Leerlauf) = 7,5V, UL (Last) = 6V, Gesucht: R1, R2 Beispiel 9.5. Bei einem bestimmten Lastwiderstand RL beträgt UL wie eingezeichnet 2V und IL ist 0,6mA. Wird RL verstellt, verändern sich UL um 0,2V auf 1,8V und IL um 0,1mA auf 0,7mA. Gesucht: R1, R2 14

15 Literatur Beispiel 9.6. Literatur 15