Grundlagen der Elektrotechnik III

Transkript

1 1 Vordiplomprüfung Grundlagen der Elektrotechnik III 06. April 2006 Name:... Vorname:... Mat.Nr.:... Studienfach:... Abgegebene Arbeitsblätter:... Bitte unterschreiben Sie, wenn Sie mit der Veröffentlichung Ihres Ergebnisses unter Ihrer Matrikelnummer per Aushang und im Internet einverstanden sind:... Punkte Aufgabe 1 Aufgabe 2 Aufgabe 3 Aufgabe 4 Zugelassen sind alle Hilfsmittel mit Ausnahme elektronischer. Die Arbeitszeit beträgt 90 Minuten. Die Arbeitsblätter müssen durchnumeriert und rechts oben mit Namen und Matrikelnummer versehen werden. Für jede Aufgabe muss ein neues Blatt verwendet werden. Die Angabenblätter werden mit den Arbeitsblättern zusammengeheftet abgegeben. Besondere Hinweise: Alle Antworten sind ausführlich zu begründen. Alle Zwischenschritte müssen nachvollziehbar sein und fließen in die Bewertung ein. Ergebnisse müssen so weit wie möglich vereinfacht werden. Bei sich widersprechenden Lösungen oder Antworten wird die jeweils falsche gewertet. Bei mehrdeutigen Lösungen oder Antworten wird die jeweils falsche Bedeutung gewertet.

2 2 Aufgabe 1: Widerstandsmessung (14 Pkt) I 0 U M,a Spannungsmesser R M, U Mend R X,a Abbildung 1: Schaltung zur Widerstandsmessung Abbildung 1 zeigt eine Schaltung zur Messung eines Ohmschen Widerstandes R X,a. Sie besteht aus einer Stromquelle I 0 sowie einem Spannungsmessgerät mit Innenwiderstand R M und Messbereichsendwert U Mend. a) Formulieren Sie das Aufgabengesetz, d.h. den Zusammenhang zwischen dem zu bestimmenden Widerstand R X,a und der Anzeige des Messgerätes U M,a in der Form R X,a = f(u M,a ). b) Fälschlicherweise geht der Anwender der Messschaltung davon aus, dass der Innenwiderstand des Spannungsmessgerätes gegen Unendlich geht. Vereinfachen Sie das Aufgabengesetz für diese Annahme. c) Welchen relativen Fehler macht man bei der Annahme aus b)? Abbildung 2: Weitere Schaltung zur Widerstandsmessung Abb. 2 zeigt eine weitere Schaltung zur Widerstandsmessung, welche einen idealen Operationsverstärker enthält. d) Erklären Sie die Methode des virtuellen Kurzschlusses zur Berechnung von Operationsverstärker-Schaltungen.

3 3 e) Formulieren Sie auch hier ein Aufgabengesetz in der Form R X,b = f(u M,b ). f) Welchen relativen Fehler macht man hier, wenn man den Innenwiderstand des Messgerätes nicht berücksichtigt? Welchen Vorteil hat also die Schaltung nach Abb. 2? Aufgabe 2: Abgleichbrücke (10 Pkt) Abbildung 3: Brückenschaltung Gegeben ist die Abgleichbrücke nach Bild 3 zur Bestimmung der unbekannten Größen L X und R X. Die Abgleichelemente sind noch nicht gekennzeichnet. a) Für Z 4 soll ein passives, lineares Netzwerkelement eingesetzt werden. Bestimmen Sie Z 4 so, dass die Brücke abgleichbar ist. Wie lautet die Abgleichbedingung der Brücke. b) Geben Sie zwei Elemente an, die nicht gemeinsam als Abgleichelemente verwendet werden können und begründen Sie Ihre Entscheidung. c) Gibt es Einschränkungen bzgl. der Frequenz der Betriebsspannung U E? d) Für Kapazitäten sind Toleranzen f C = 5% anzunehmen, für Widerstände f R = 1%. Schätzen Sie die relativen Fehler bei der Bestimmung von L X und R X ab.

4 4 Aufgabe 3: Nichtlinearer Widerstand (18Pkt) Abbildung 4: Netzwerk mit einem nichtlinearen Widerstand Gegeben ist ein Netzwerk mit einem Kondensator C 0, einer Gleichspannungsquelle U 1 und einem nichtlinearen Widerstand, wie in Bild 4 gezeigt. Der nichtlineare Widerstand wird beschrieben durch { 0 fuer i < 0 u(i) = k 0 i 2 (1) fuer i 0 mit der dimensionsbehafteten Konstanten k 0. Der Schalter war lange Zeit geschlossen und wird zum Zeitpunkt t = 0 geöffnet. Es soll der Aufladevorgang des Kondensators untersucht werden. a) Skizzieren Sie u(i) und kennzeichnen Sie den Arbeitspunkt, der sich für t < 0 einstellt. b) Stellen Sie für das Netzwerk eine Differentialgleichung (DGL) mit der Kondensatorspannung u C als Variable auf (für t > 0). c) Normieren Sie die DGL, indem Sie die Kapazität auf C 0, den Strom auf I 0 und die Spannungen auf U 0 normieren. Verwenden Sie den zusätzlichen Index n zur Kennzeichnung der normierten Größen. Führen Sie außerdem die normierte Zeit ein. Verwenden Sie für die Konstante k 0 = U 0 /(I 2 0). t n = I 0 C 0 U 0 t (2) d) Berechnen Sie den Zeitverlauf der normierten Kondensatorspannung u Cn (t n ) für t n 0. Berücksichtigen Sie die Anfangsbedingung, die sich aus der Schaltung ergibt. (Geht auch ohne die Normierung aus c). e) Berechnen Sie den Zeitpunkt t 1n, zu dem der Kondensator voll aufgeladen ist und skizzieren Sie u Cn (t n ). f) Begründen Sie, weshalb der Kondensator in endlicher Zeit geladen werden kann.

5 5 Aufgabe 4: Netzwerkanalyse (18Pkt) Abbildung 5: Lineares Netzwerk Gegeben ist ein lineares Netzwerk wie in Bild 5 gezeigt. Es besteht aus einer Stromquelle i e (t), einem Widerstand R, einer Kapazität C 3, einer Induktivität L 3 und einem losegekoppelten Übertrager mit den Induktivitäten L 1 und L 2. Für die Gegeninduktivität gilt M > 0. Die Ausgangsspannung ist die Spannung u a (t) über der Kapazität. a) Alle Energiespeicher seien leer. Stellen Sie im Laplace-Bereich ein Gleichungssystem zur Beschreibung des Netzwerkes auf. b) Berechnen Sie die Übertragungsfunktion G(s) = U a (s)/i e (s), wobei U a (s) und I e (s) die Laplace-Transformierten von u a (t) und i e (t) bezeichnen. Verwenden Sie dazu die Vereinfachungen L 1 = L 2 = L; M = 1 2 L und R = L3 C 3. (3) Verwenden Sie außerdem die Näherung L 3 L, um den Ausdruck weiter zu vereinfachen. c) Normieren Sie die Übertragungsfunktion durch Einführen der normierten Frequenz s n = s L 3 C 3. Sollten Sie hier zu keinem Ergebnis kommen, können Sie im Weiteren die normierte Übertragungsfunktion ks 2 n G(s n ) = R (s 2 n + 1)(ks n + 1) mit der reellen Konstanten k = L/L 3 verwenden. d) Zeichnen Sie das Bode-Diagramm für den Fall L/L 3 = Normieren Sie der Einfachheit halber den Amplitudenfrequenzgang auf seinen Maximalwert. e) Berechnen Sie die Ausgangsspannung u a (t n ) in Abhängigkeit von der normierten Zeit t n, wenn für die Stromquelle i e (t n ) = I 0 ε(t n ) gegeben ist. (4)