Schaltungen mit Operationsverstärkern

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1 NIVESITÄT STTTGAT Institut für Elektrische und Otische Nachrichtentechnik SEMINA IM FACH "THEOIE DE SCHALTNGEN III" Schaltungen mit Oerationsverstärkern Vcc (Positive Versorgungssannung) v- v- u v+ uout u v+ uout V EE (Negative Versorgungssannung) Abbildung a,b: Schaltbild eines Oerationsverstärkers Ein Oerationsverstärker (OP,Oam) ist ein Verstärker, der die Differenzsannung zwischen seinen beiden Eingängen v+ und v- verstärkt: u out v u Abbildung a zeigt das Schaltbild eines Oerationsverstärkers. Neben den Eingängen v+,v- und dem Ausgang v out benötigt der Oerationsverstärker noch eine ositive und negative Versorgungssannung (hier als V cc und V ee gekennzeichnet). Früher war eine Versorgungssannung von +/-5 Volt üblich. Diese recht hohe Sannung wird heutzutage nicht mehr oft angewendet. Übliche Sannungen liegen heute im Bereich +/-5 Volt und kleiner. In einem Schaltbild werden die Versorgungssannung des OPs der Übersicht wegen oft nicht gezeichnet. Das übliche Schaltbild des OPs ist in Abbildung b dargestellt. Abbildung zeigt das Ersatzschaltbild eines Oerationsverstärkers. Abbildung : Ersatzschalbild des idealen Oerationsverstärkers Für einen idealen Oerationsverstärker ist die Verstärkung v unendlich. Die Differenzsannung u wird unendlich hoch verstärkt. Das bedeutet, dass bei einem unbeschalteten Oerationsverstärker (d.h. keine ückkolung des Ausgangsignals u out auf das Eingangsignal u ) bei einer auch noch so kleinen Differenzsannung u an den Eingängen, die Ausgangsannung v out unendlich groß wird. Das Vorzeichen dieser Sannung hängt dabei vom Vorzeichen der Differenzsannung ab. Die Ausgangssannung eines realen OPs kann nicht größer als die ositive Versorgungssannung und nicht negativer als die negative Versorgungssannung werden. Die Ausgangsannung eines realen Oerationsverstärkers wird folglich bei kleinster Differenzsannung am Eingang sofort entweder die ositive oder negative Versorgungssannung aufweisen. Es ist damit sofort ersichtlich, das ein Oerationsverstärker ohne ückkolung zum Verstärken von Signalen nicht besonders sinnvoll ist. In Normalfall wird der Oerationsverstärker deshalb so in eine Schaltung eingebaut, dass ein Teil der Ausgangssannung auf den Eingang (v+ oder v-) zurückwirkt. Die äußere Beschaltung des Oerationsverstärkers muss dabei so wirken, dass die Ausgangssannung ihrer rsache entgegenwirkt (sogenannte Gegenkolung). Vergrößert zum Beisiel das Eingangssignal die Differenzsannung u, so muss die ückkolung des Ausgangssignals dafür sorgen, dass sich die Eingangssannungsdifferenz u wieder verkleinert. Das System ist dann im Gleichgewicht, wenn sich eine Eingangssannungsdifferenz u von null ergibt. Der Ausgang wird also solange nachgesteuert, bis die Sannung u null wird. Durch die geschickte Wahl des externen Netzwerks kann die Verstärkung der Gesamtschaltung damit eingestellt werden. Es ist die Aufgabe des Schaltungsdesigners dafür zu sorgen, dass die äußere Beschaltung des Oerationsverstärkers tatsächlich eine ückkolung ergibt. Das Gegenteil wäre eine Mitkolung. Eine Vergrößerung der Differenzsannung durch das I. Dettmann, 4

2 NIVESITÄT Institut für Elektrische und Otische Nachrichtentechnik STTTGAT SEMINA IM FACH "THEOIE DE SCHALTNGEN III" Eingangssignal hätte dann eine zusätzlich Vergrößerung dieser Differenzsannung durch die Ausgangsannung zur Folge. Da diese Differenz ja raktisch unendlich verstärkt wird, würde die Ausgangsannung immer gegen die ositive oder negative Versorgungssannung stoßen. Die Schaltung wäre im Sinne eines Verstärkers nicht funktionsfähig. echnen mit idealen Oerationsverstärker Für ideale Oerationsverstärker gilt folgendes:. Die Eingangsströme in den Oerationsverstärkereingängen sind null (unendlich hoher Eingangswiderstand).. Die Verstärkung des Oerationsverstärkers v ist unendlich.. Daraus folgt, dass bei funktionierender Oerationsverstärkerschaltung die Sannung u auch null sein muss (sonst würde der Ausgang ja eine unendlich hohe Sannung aufweisen müssen). Schaltungen mit idealen Oerationsverstärkern werden am besten mittels des Knotenotentialverfahrens gelöst. Dies scheint auf den ersten Blick etwas kontrovers zu sein, da das Ersatzschaltbild eines Oams eine gesteuerte Sannungsquelle enthält, gesteuerte Sannungsquellen aber nicht unmittelbar über das Knotenotentialverfahren gelöst werden können. Da bei einem idealen Oerationsverstärker die Sannung u null annimmt, ist folglich das Potential am v+ Eingang gleich mit dem Potential am v- Eingang. Dieses Wissen kann bei der Berechnung von Schaltungen mit idealen Oerationsverstärkern ausgenutzt werden. Die Anzahl der unbekannten Kontenotentiale kann damit um eins reduziert werden. Aber Vorsicht! Dass die beiden Potentiale v+ und v- identisch sind, bedeutet nicht, dass in einer Ersatzschaltung die beiden Knoten verbunden werden dürfen!! Es gibt keine elektrisch leitende Verbindung auch nicht in einen Ersatzschaltbild zwischen den beiden Potential v+ und v-. Die Berechnung einer Schaltung mit idealen Oerationsverstärkern kann in vier Schritten erfolgen:. Aufstellen des Ersatzschalbildes.. Aufstellen der Knotengleichungen. Alle Knoten müssen einbezogen werden (auch die Ausgangsknoten der OPs), die Knotengleichungen der Ausgänge der OPs werden allerdings nicht aufgestellt. Man erhält ein unsymmetrisches Gleichungssystem.. Eliminieren eines Knotenotentials. Dies ist möglich, da das Potential am v+ Eingang identisch ist mit dem Potential am v- Eingang (u ist beim idealen OP ja null). 4. Lösen des entstanden Gleichungssystem nach dem gesuchten Potential. Beisiel : Die Übertragungsfunktion / der Schaltung aus Abbildung soll berechnet werden. Abbildung Schaltung mit Oerationsverstärker. Aufstellen des Ersatzschaltbilds. I. Dettmann, 4

3 NIVESITÄT Institut für Elektrische und Otische Nachrichtentechnik STTTGAT SEMINA IM FACH "THEOIE DE SCHALTNGEN III" Das Knotenotentialverfahren kann nicht direkt bei Schaltungen mit Sannungsquellen angewendet werden. Auftretende Sannungsquellen sollten möglichst in Stromquellen umgewandelt werden. Einzige Ausnahme ist die gesteuerte Sannungsquelle des OPs. Diese bleibt erhalten. Damit ergibt sich das folgende Ersatzschaltbild. Abbildung 4 Ersatzschaltbild der Oerationsverstärkerschaltung. Aufstellen der Knotengleichungen. Im nächsten Schritt werden nun alle Knoten durchnummeriert und die Knotengleichungen aufgestellt. Jetzt kommt bei der Berechnung von Schaltungen mit idealen Oerationsverstärkern eine Besonderheit: Die Knotengleichung für den Ausgangs des OPs (also dort wo die gesteuerte Sannungsquelle liegt) wird nicht aufgestellt (Knoten ). Man erhält nun eine unsymmetrische Matrix. Gleichung Knoten Gleichung Knoten jωc jωc + jωc. Eliminieren eines Potentials. Die Sannung u ist ja bekannt (u ist null). Dies muss nun in die Gleichungsmatrix eingearbeitet werden. Für die Schaltung hier bedeutet dies: Das Potential ist null, da der ositive Eingang des OPs fest auf Masse liegt. Damit kann die Salte mit gestrichen werden. + jωc mit + + ges ges jωc 4. Berechnen der Übertragungsfunktion Die Übertragungsfunktion kann nun klassisch berechnet werden. Dazu wird zuerst die Gesamtdeterminante bestimmt: jωc ( ) ( ) det + jωc jωc jω CC ges ges I. Dettmann, 4

4 NIVESITÄT STTTGAT Institut für Elektrische und Otische Nachrichtentechnik SEMINA IM FACH "THEOIE DE SCHALTNGEN III" Danach wird die Determinante von bestimmt: det Die gesuchte Ausgangsannung ergibt sich damit zu: det det Teilen durch und weiters auflösen führt zu: jωc ( jω) CC ges CC ω jω C CC ges Das Ergebnis kann dadurch überrüft werden, dass ω zu Null gesetzt wird. Für ω sind die Kaazitäten Leerläufe. Es ergibt sich nun ein einfacher invertierender Verstärker. CC CC ω Dies ist tatsächlich die Übertragungsfunktion des invertierenden Verstärkers. Merke: Die Überrüfung der Ergebnisse auf Plausibilität ist sehr wichtig. Bei längeren echnungen schleichen sich oft Fehler ein. Meist sind dies Vorzeichenfehler, falsche Indizes etc. Eine Überrüfung der Einheiten sollte immer gemacht werden. Zusätzlich sollte das Ergebnis an einfachen Überlegungen überrüft werden, z.b. an dem Verhalten für ω und ω. Viele Fehler in Prüfungen können damit vermieden werden. Beisiel a: Im vorangehenden Beisiel wurde die Sannungsquelle zusammen mit dem in Serie liegenden Widerstand in eine Stromquelle und einen arallel geschalteten Widerstand umgerechnet. Diese mwandlung ist eigentlich nicht notwendig, sondern ergibt sich aus der Knotenotentialanalyse von selbst. Abbildung 5 Ersatzschaltbild der Oerationsverstärkerschaltung Abbildung 5 zeigt nochmals das Ersatzschaltbild der Oerationsverstärkerschaltung aus Abbildung, diesmal allerdings ohne die mwandlung von der Sannungsquelle in eine Stromquelle. Wiederum werden nun die Knotengleichungen aufgestellt, allerdings - wie schon im Beisiel - nicht für die Knoten, an denen eine Sannungsquelle liegt. Es ergibt sich folgendes Gleichungssystem: I. Dettmann, 4 4

5 NIVESITÄT STTTGAT Institut für Elektrische und Otische Nachrichtentechnik SEMINA IM FACH "THEOIE DE SCHALTNGEN III" 4 Gleichung Knoten jωc Gleichung Knoten jωc + jωc Gleichung Knoten nicht aufstellen, da bekannt ( v u ). Gleichung Knoten 4 nicht aufstellen, da bekannt ( 4 ). Nun werden die bekannten Knoten auf die rechte Seite des Gleichungssystems gebracht und abhängige Knoten, soweit möglich, eliminiert: Der Knoten 4 ist bekannt, dieser entsricht ja der Sannung. Bekannte Knoten stehen aber auf der rechten Seite des Gleichungssystems. Es ergibt sich nun jωc jωc + jωc Dies entsricht wieder dem Gleichungssystem von Beisiel. Im nächsten Schritt werden nun die abhängigen Knoten eliminiert (siehe Beisiel ). Wichtig: Das formale Vorgehen von diesem Beisiel ist vor allem dann wichtig, wenn die Sannungsquelle nicht so einfach in eine Stromquelle umgewandelt werden kann, z.b. wenn mehrere Schaltelemente an der Sannungsquelle angeschlossen sind. Beisiel : Die Übertragungsfunktion /I von folgender Schaltung soll berechnet werden: Abbildung 6 Einfache Oerationsverstärkerschaltung Abbildung 7 zeigt das Ersatzschaltbild der Schaltung. I. Dettmann, 4 5

6 NIVESITÄT STTTGAT Institut für Elektrische und Otische Nachrichtentechnik SEMINA IM FACH "THEOIE DE SCHALTNGEN III" Abbildung 7 Ersatzschaltbild der Oerationsverstärkerschaltung Damit wird die Matrix der Kontenotentialanalyse aufgestellt Dabei wird wieder die Potentialgleichung für den Ausgangsknoten des OPs (Knoten ) nicht aufgestellt. Gleichung Knoten Gleichung Knoten + I Im nächsten Schritt wird eine Salte eliminiert, da u null sein muss. Da u null ist, muss gelten: Die Salte und können also zu einer Salte zusammengefasst werden: I Statt in der ersten Salte kann genauso gut geschrieben werden, da die beiden Potentiale ja gleich sind. m die Ausgangsannung zu berechnen, muss das Potential berechnet werden. Dies geschieht wieder klassisch durch Bestimmen der Gesamtdeterminante und der Determinante von. Für die Gesamtdeterminante ergibt sich: det Die Determinante von bestimmt sich zu: det I + Damit ergibt sich für die Ausgangsannung : + det I I + det Damit ergibt sich für die Übertragungsfunktion /I : + I I. Dettmann, 4 6

7 NIVESITÄT STTTGAT Institut für Elektrische und Otische Nachrichtentechnik SEMINA IM FACH "THEOIE DE SCHALTNGEN III" echnen mit nichtidealem Oerationsverstärker Bei einem nichtidealen Oerationsverstärker ist die Verstärkung v o endlich. Auch bei der Berechnung mit nichtidealen OPs benutzt man am besten die Knotenotentialanalyse. Am Beisiel soll exemlarisch die Berechnung der Übertragungsfunktion mit nichtidealen OP durchgerechnet werden. Wiederum wird zuerst die Knotengleichung aufgestellt. Das Knotengleichung für den Ausgangsknoten wird nicht aufgestellt, da dieser Knoten abhängig ist von anderen Knotenotentialen im Netzwerk. Gleichung Knoten Gleichung Knoten jωc jωc + jωc Nun muss in die Matrix eingearbeitet werden, dass der Ausgang des OPs den Wert v o u annimmt. Aus dem Ersatzschaltbild ist ersichtlich, dass die Sannung u dem Potential entsricht. Damit ergibt sich folgender Zusammenhang zwischen dem Potential und dem Potential : Damit nimmt die Matrix folgende Form an: v bzw. v o jωc + v jωc + jωc v Die beiden Salten mit dem Potential können nun zusammengefasst werden: jωc + v jωc + jωc v Weiters Zusammenfassen führt auf die Matrix: I. Dettmann, 4 7

8 NIVESITÄT STTTGAT Institut für Elektrische und Otische Nachrichtentechnik SEMINA IM FACH "THEOIE DE SCHALTNGEN III" jωc + v jωc ( + ) v v Nun kann das Gleichungssystem gelöst werden: det det Die Gesamtdeterminante ergibt sich zu: det + jωc jωc + + ges v v v jωc jωc ( + ) ( jω) CC + + ges v v v v v ges Die Determinante von ergibt sich zu: det Damit ergibt sich die Übertragungsfunktion F( jω) jωc jωc ( + ) ( jω) CC + + ges v ges v v v v Zur Kontrolle lässt man nun v gehen. Es ergibt das gleiche Ergebnis wie aus Beisiel : CC ω jω C CC ges I. Dettmann, 4 8

9 NIVESITÄT STTTGAT Institut für Elektrische und Otische Nachrichtentechnik SEMINA IM FACH "THEOIE DE SCHALTNGEN III" Berechnung von Netzwerken mit Sannungs- und Stromquellen Es stehen rinziiell zwei formale Methoden zu Berechnung von Strömen und Sannungen in linearen Netzwerken zur Verfügung: Die Maschenstrom- und die Knotenotentialanalyse. Oft findet man Hinweise, die Knotenotentialanalyse könne nicht mit Sannungsquellen verwendet werden bzw. Maschenstromanalyse nicht mit Stromquellen. Diese Aussage ist so allerdings nicht korrekt. Schwierigkeiten macht die Knotenotentialanalyse erst, wenn die Schaltung stromgesteuerte Elemente enthält. Da die Knotenotentialanaylse allerdings Knotensannungen berechnet, ist es schwierig diese Abhängigkeit in die Kontenotentialmatrix einzubauen (obwohl es mit etwas Aufwand funktioniert). Im Gegensatz zur Kontenotentialanalyse ist es bei der Maschenstromanalyse schwierig, die Abhängigkeit von sannungsgesteuerten Elementen in die Matrix einzubauen. Prinziiell kann man also folgende Aussage treffen: Enthält das Netzwerk sannungsgesteuerte Elemente, so ist in den meisten Fällen die Knotenotentialanalyse der einfachste Weg. Enthält das Netzwerk stromgesteuerte Elemente, so ist in den meisten Fällen die Maschenstromanalyse einfacher. Es gilt natürlich dabei noch zu beachten, wie viele Maschen bzw. Knoten das Netzwerk hat. I. Dettmann, 4 9