Fall 1: Diode D1 sperrt (u D1 < 0), Diode D2 leitet (i D2 > 0) Fall 2: Diode D1 leitet (i D1 > 0), Diode D2 sperrt (u D2 < 0)

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1 2 31 Aufgabe 1 Operationsverstärker (31 Punkte) Zuerst soll folgende Schaltung mit einem Operationsverstärker, linearen Widerständen und idealen Dioden untersucht werden. i z =0 u D2 D2 i D2 u e u D1 D1 i D1 u 0 u z Bild 1. Zweitor mit einem Operationsverstärker Folgende Fälle sind zu untersuchen: Fall 1: Diode D1 sperrt (u D1 < 0), Diode D2 leitet (i D2 > 0) Fall 2: Diode D1 leitet (i D1 > 0), Diode D2 sperrt (u D2 < 0) Hinweis: Wenn nicht anders angegeben befindet sich der Operationsverstärker im streng linearen Bereich. 1 a)* Geben Sie die Kennlinie einer idealen Diode an. u D i D i D u D GOP Schaltungstechnik 1 WS 2002/03

2 Name:... Matrikel-Nr.:... 3 Zuerst soll Fall 1 untersucht werden: b)* Zeichnen Sie für den Fall 1 ein Ersatzschaltbild der Schaltung. Berücksichtigen Sie dabei, 2 dass eine ideale Diode abhängig von ihrem Betriebsbereich als Kurzschluss oder Leerlauf modelliert werden kann. i z =0 i 1 u 1 u e u 1 u z c)* Wie hängt im Fall 1 die Spannung u z von u e ab? 1 u z = u e (invertierender Verstärker) d)* Welche Bedingung muss u e erfüllen, damit Fall 1 (D1 sperrt, D2 leitet) eintritt? 2 (Begründung!) Hinweis: kommt! Wählen Sie den Bereich der Spannung u e so,dasseszukeinen Widersprüchen i D2 > 0 i 1 < 0 u e < 0 (damit ist u z > 0 und Strom durch rückgekoppelten Widerstand hat die korrekte Orientierung für eine leitende Diode D2!) oder u D1 < 0 u D1 = u 1 < 0 i 1 < 0 u 1 < 0 u e < 0 e) Für welche Spannungen u e befindet sich der Operationsverstärker für Fall 1 in Sättigung? 4 Bestimmen Sie zuerst wie groß u z im Fall 1 ist. u z = U sat,dauz > 0 für u e < 0 im Fall 1 u d > 0 (positive Sättigung) Bestimmung des Sättigungsbereichs bzgl. der Eingangsspannung: (1) u d + u e u 1 =0KVL (2) u 1 = ue uz 2 KVL u d = u e /2 U sat /2 > 0 u e < U sat GOP Schaltungstechnik 1 WS 2002/03

3 4 2 f) Nur für diese Teilaufgabe werden die Dioden D1 und D2 durch folgendes stückweise lineares Ersatzschaltbild (Bild 2) mit der Durchlassspannung U s beschrieben. Wie ändert sich im Fall 1 die Spannung u z im Vergleich zu der Lösung in Teilaufgabe c)? (Begründung!) i D u D U s Bild 2. Stückweise lineares ESB Die Spannung u z ändert sich nicht, da sie nur von dem Spannungsabfall am rückgekoppelten Widerstand abhängt und nicht von der Spannung an der Diode D2 im Durchlassbereich. Jetzt soll Fall 2 untersucht werden. Verwenden Sie jetzt auch wieder das Modell der idealen Diode für die beiden Dioden in Bild 1. 2 g)* Zeichnen Sie für den Fall 2 ein Ersatzschaltbild der Schaltung. Berücksichtigen Sie dabei, dass eine ideale Diode abhängig von ihrem Betriebsbereich als Kurzschluss oder Leerlauf modelliert werden kann. i z =0 u e u z 1 h)* Wie hängt im Fall 2 die Spannung u z von u e ab? u z =0, da kein Strom über rückgekoppelten Widerstand fliesst. GOP Schaltungstechnik 1 WS 2002/03

4 Name:... Matrikel-Nr.:... 5 i)* Welche Bedingung muss u e erfüllen, damit Fall 2 eintritt? (Begründung!) 2 Hinweis: kommt! Wählen Sie den Bereich der Spannung u e so,dasseszukeinen Widersprüchen i D1 > 0 i 1 > 0 u e 0 Damit ist ichtung des Stromes durch D1 konsistent mit Stromrichtung über Widerstand und das KCL am Knoten mit Nullator erfüllt (somit kein Widerspruch in Schaltung mit Kirchhoff Gesetzen und Gleichungen der Netzwerkelemente). Alternative Lösung mit u D2 < 0 möglich. j) Gibt es einen Bereich von Spannungen u e,für die sich der Operationsverstärker für Fall 2 in 4 Sättigung befindet? Wie groß ist u z? u d < 0 u 0 = U sat KVL: u e + u d u 1 =0 KVL: u 1 = u e + U sat u d = U sat > 0 Widerspruch, d.h. Schaltung wird nie in negative Sättigung kommen. u z =0 oder Annahme: u 0 = U sat und u d < 0 da u z = u 0 und u z = u d folgt daraus u d > 0 Widerspruch! oder (am einfachsten) Wann ist u 0 = U sat für u e > 0? Dau z = u 0 =0im linearen Bereich OpAmp wird für Fall 2 nie in Sättigung betrieben. k)* Warum können nicht beide Dioden leiten, d.h. Strom durch Dioden positiv? 2 Hinweis: Zeigen Sie dazu, dass die Annahme beide Dioden leiten zu einem Widerspruch mit dem Kirchhoffschen Spannungsgesetz führt. Annahme: Dioden D1 und D2 leiten i D2 > 0 i 1 < 0 u 1 < 0 bei Leerlauf am Ausgang u z > 0 Ein Umlauf über D1, D2 und ergibt aber, dass die Spannung u 1 Widerstand Null sein müsste u z =0, Widerspruch! am rückgekoppelten oder i z =0und i D2 > 0 i D2 = u z > 0 ausserdem wirken Diode 1 und 2 als Kurzschluss, d.h. u 0 = u z und u 0 =0 u z =0 Widerspruch! GOP Schaltungstechnik 1 WS 2002/03

5 6 Die Schaltung aus Bild 1 wird jetzt als Teilkomponente folgender Schaltung verwendet. Hinweis: Ohne Beweis dürfen Sie folgende Annahme treffen: Die abschnittsweise definierte Beschreibung der Schaltung in Bild 1 aus dem ersten Teil der Aufgabe ist auch noch nach Einbau in die Schaltung in Bild 3 gültig! 2 2 D2 u e D1 u z u a Bild 3. Gesamtes Zweitor mit zwei Operationsverstärkern 2 l)* Geben Sie u a in Abhängigkeit von u e und u z an. invertierender Addierer u a = 2 u z u e 1 3 m) Wie hängt u a von u e ab? Berücksichtigen Sie dazu Ihre Ergebnisse aus den Teilaufgaben c), h) und l). u z = u e im Fall 1 und u z =0im Fall 2 Fall 1: u a = ue 2 2 mit u e < 0 Fall 2: u a = ue 2 2 mit u e > 0 1 Punkt für Fallunterscheidung u a = ue 2 2 GOP Schaltungstechnik 1 WS 2002/03

6 Name:... Matrikel-Nr.:... 7 n) In Bild 4 ist ein zeitlicher Verlauf der Spannung u e vorgegeben. Zeichnen Sie in das gleiche 2 Bild den resultierenden Verlauf der Ausgangsspannung u a für = 2 ein. 1 Punkt für Form (Vorzeichen!), 1 Punkt für richtige Amplitude u a u e t Bild 4. o) Wie nennt man eine Schaltung mit dieser Funktionsweise? 1 Zweiweggleichrichter oder Gleichrichter oder invertierender Vollweggleichrichter GOP Schaltungstechnik 1 WS 2002/03

7 6 32 Aufgabe 2 Operationsverstärker (32 Punkte) Es soll die in Bild 5 gezeigte Schaltung, bestehend aus ohmschen Widerständen, Dioden und idealen Operationsverstärkern untersucht werden. i d1 3 i 4 i d3 7 u d1 u d3 u 1 u 3 u 1 u 2 i d2 u d2 5 Block C 6 Block A Block B Bild 5. Zu untersuchende Schaltung Die drei Dioden haben identische Strom-Spannungs-Kennlinien gemäß ( ( ) ) ( ) ud ud i d = I S exp 1 I S exp, (1) wobei I S den Sperrsättigungsstrom und U T die Temperaturspannung bedeuten. U T U T Nehmen Sie in der gesamten Aufgabe an, daß i d I S gilt, und verwenden Sie die in (1) angegebene Näherung. Die Schaltung läßt sich in drei funktionale Blöcke (Block-A, Block-B und Block-C in Bild 5) unterteilen, die im folgenden untersucht werden sollen. Stets gilt für die Eingangsspannungen u 1 > 0, > 0. Desweiteren dürfen alle Operationsverstärker im streng linearen Bereich angenommen werden. GOP Schaltungstechnik 1 WS 2003/04

8 Name:... Matrikel-Nr.:... 7 Wir betrachten zunächst den ersten funktionalen Block (Block A in Bild 5). a)* Geben Sie die Diodenspannungen u d1 und u d2 als Funktion der Diodenströme i d1 und i d2 an. 2 ( ) ud i d = I S exp U T u d1 = U T ln u d2 = U T ln ( id1 I S ( id2 I S ) ) b)* Geben Sie die Diodenströme i d1 und i d2 als Funktion der Eingangsspannungen und der 2 Bauteilwerte an. i d1 = u 1 i d2 = 2 c) Geben Sie die Spannungen u 1 und u 2 in Abhängigkeit der Eingangsspannungen u 1 und 2 und der Bauteilwerte an. ( ) ( ) u 1 = u id1 u1 d1 = U T ln = U T ln I S I S u 2 = u d2 = U T ln ( id2 I S ) ( ) u2 = U T ln 2 I S GOP Schaltungstechnik 1 WS 2003/04

9 8 1 d) Welche Funktion wird durch den Block A ausgeführt? Logarithmierung der Eingangssspannungen Im folgenden soll nun der Block-B untersucht werden. 1 e)* Welche Funktion wird von Block-B augenscheinlich übernommen? Differenzverstärkung 5 f)* Geben Sie die Spannung u als Funktion von u 1, u 2 und den Bauteilwerten an. Mit dem Überlagerungssatz gilt: u = 4 3 u u 2 GOP Schaltungstechnik 1 WS 2003/04

10 Name:... Matrikel-Nr.:... 9 Die Schaltung soll so ausgelegt werden, daß gilt: u = u 2 u 1. (2) g) Zeigen Sie, daß für die Widerstandsverhältnisse dabei gelten muß = 6 5 =1. (3) u = 4 3 u u 2 = u 1 + u 2 (nach Forderung) 4 3 = = =1 Schließlich wenden wir uns dem Block-C zu. h)* Geben Sie die Diodenspannung u d3 als Funktion von u an 1 u d3 = u GOP Schaltungstechnik 1 WS 2003/04

11 10 Die Ausgangsspannung u 3 kann wie folgt geschrieben werden: u 3 = U 0 u1. (4) 5 i) Berechnen Sie die Spannung U 0. ( ) ( ) ud3 u i d3 = I S exp = I S exp 1 + u 2 U T ( ( ) ( )) ( ( )) u1 u2 u1 2 = I S exp ln ln = I S exp ln I S 2 I S U T = I S 2 u1 u 3 = 7 i d3 = I S 7 2 u 1 = U 0 u 1 U 0 = I S 7 2. GOP Schaltungstechnik 1 WS 2003/04

12 Name:... Matrikel-Nr.: Da der Sperrsättigungsstrom I S in der egel einen sehr geringen Wert hat (typisch I S A) werden für 2 und 7 meist sehr hohe Werte benötigt, die in der Praxis schwer zu realisieren sind. Aus diesem Grunde wird nun der Widerstand 7 ersetzt durch die Schaltung aus Bild 6. id3 0V u 3 Bild 6. Ersatz für den Widerstand 7 j)* Zeigen Sie, daß bei idealem Operationsverstärker diese Schaltung effektiv einem Widerstand 5 7 vom Wert 7 = (2+ ) entspricht. KCL : i d3 = i d3 + i d3 u 3 u 3 = i d3 (2+ ) = i d3 7 7 = (2+ ) GOP Schaltungstechnik 1 WS 2003/04

13 12 5 Die Schaltung in Bild 5 soll nun als Entzerrer eingesetzt werden. Am Ausgang eines nicht-linearen Verstärkers mit nominaler Verstärkung A, wird die Spannung ( ) k u u a = A U 0 gemessen, wenn an seinem Eingang die Spannung 0 <u<u 0 anliegt. Mit Hilfe der Schaltung aus Bild 5 soll die Spannung u a entzerrt werden, so daß sich eine Spannung ergibt. k=1 u 3 = A u k)* Wie müssen die Spannungen u 1 und in Abhängigkeit von u a, U 0 und A gewählt werden, damit dies gelingt? Hinweis x k = x für x < 1. 1 x k=1 ( ) k u u u a = A U 0 = A U 0 U 0 u, 0 <u<u 0 k=1 U 0 U 0 u a u = U 0 u a + A U 0 A u = U 0 u a u a A + U 0 u 1 = β u a, = β β>0(beliebig) = u 3 = U 0 u 1 ( ua ) A + U 0 GOP Schaltungstechnik 1 WS 2003/04

14 Name: Matrikel-Nr.: Aufgabe 4 Operationsverstärker (21 Punkte) Es soll die in Bild 6 gezeigte Schaltung, bestehend aus ohmschen Widerständen, n-kanal MOS Transistoren und idealen Operationsverstärkern, analysiert werden. Gesucht ist die Übertragungsfunktion von den Eingangsspannungen u x und u y zu der Ausgangsspannung u a. Nehmen Sie in der gesamten Aufgabe an, dass die Eingangsspannungen positiv sind (u x > 0 und u y > 0), so dass die Transistoren im Sättigungsbereich sind, d.h. für die Drainströme gelte 21 i d,i = β 2 (u gs,i U th ) 2 für i {1, 2, 3}. Desweiteren dürfen alle Operationsverstärker im streng linearen Bereich angenommen werden! i d,1 i d,3 u gs,1 u gs,3 u x U th u 1 i d,2 u gs,2 u a u y U th U th Bild 6. Zu untersuchende Schaltung a)* Ist der Überlagerungsatz für diese Schaltung anwendbar? Begründen Sie Ihre Antwort. 2 Nein, da nicht lineare Elemente enthalten sind. Die Schaltung läßt sich in zwei funktionale Blöcke, wie in Bild 6 gezeigt ist, unterteilen, die im Folgenden untersucht werden sollen. Wir betrachten zunächst den funktionalen Block auf der linken Seite in Bild 6. b)* Geben Sie die Gate-Source-Spannungen u gs,1 und u gs,2 als Funktion der Eingangsspannungen 2 u x, u y und U th an. u gs,1 = u x + U th u gs,2 = u y + U th GOP Schaltungstechnik 1 WS 2008/09

15 12 2 c) Geben Sie die Drainströme i d,1 und i d,2 als Funktion der Eingangsspannungen u x, u y und der Bauteilwerte an. i d,1 = β 2 u2 x i d,2 = β 2 u2 y 2 d) Geben Sie die Spannungen u 1 und in Abhängigkeit der Eingangsspannungen u x und u y und der Bauteilwerte an. u 1 = β 2 u2 x U th = β 2 u2 y U th 4 e) Bestimmen Sie den zulässigen positiven Bereich für u x und u y, damit die beiden Operationsverstärker links nicht in negative Sättigung ( U sat ) übergehen. Stets gelte u x,u y > 0. u 1 = β 2 u2 x,y U th > U sat 2 ux,y < (U β sat U th ) GOP Schaltungstechnik 1 WS 2008/09

16 Name: Matrikel-Nr.: Nun wenden wir uns dem rechten Teil der Schaltung aus Bild 6 zu. f)* Geben Sie den Strom i d,3 als Funktion von u 1 und an. Stellen Sie dazu eine 2 Knotengleichung auf. KCL: i d,3 = (u 1 + U th )/ ( + U th )/ g)* Geben Sie die Ausgangsspannung u a als Funktion von i d,3 an. 3 u a = u gs,3 U th = 2id,3 β + U th U th = 2id,3 β h) Verwenden Sie Ihre bisherige Ergebnisse aus den Teilaufgaben d), f) und g), um die 3 Augangsspannung u a als Funktion von u x und u y zu bestimmen. 2id,3 2(u u a = = 1 +U th ) 2( +U th ) = u β β 2 x + y i) Welche Funktion wird von der ganzen Schaltung ausgeführt? 1 Die Schaltung berechnet die Norm (Länge, Amplitude) eines Vektors. GOP Schaltungstechnik 1 WS 2008/09

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