Aufgabe 3 Nichtlineare Schaltung zweiten Grades

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Alexa Frei
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1 33 Aufgabe 3 Nichtlineare Schaltung zweiten Grades (33 Punkte) Bild 3 zeigt eine dynamische Schaltung zweiten Grades mit positiven Werten G, C und L und nichtlinearem Widerstand R, für den gilt: u R = r(i R ) mit der nichtlinearen Funktion r(i R ). G i L L u L i C C R u R u C i R Bild 3. Schaltung zweiten Grades a)* Nennen Sie die beiden Zustandsgrößen. u C,iL 3 b) Bestimmen Sie mit Hilfe des Kirchoff schen Stromgesetzes die erste Differentialgleichung des Systems x= f(x).esdürfen dabei nur die beiden Zustandsgrößen, die Ableitung einer Zustandsgröße, sowie die Bauelementewerte L, G und C vorkommen! i L = i C + Gu C ic = i L Gu C = C u C u C = G C u C + C i L GOP Schaltungstechnik SS 7 (Wdh.)

2 Name:... Matrikel-Nr.:... c) Bestimmen Sie mit Hilfe des Kirchoff schen Spannungsgesetzes die zweite 4 Differentialgleichung des Systems x= f(x). Esdürfen dabei nur die beiden Zustandsgrößen, die Ableitung einer Zustandsgröße, sowie die Bauelementewerte L, G, C und die nichtlineare Funktion r( ) vorkommen! u L = u R u C = L il i L = L u C + L r(i R) = L u C + L r( i L) Der nichtlineare Widerstand habe die Kennlinie mit d>. u R = r(i R )= di R Ω+ ( ) 3 ir V A d)* Ist der Widerstand spannungsgesteuert? Nein e)* Ist der Widerstand stromgesteuert? Ja GOP Schaltungstechnik SS 7 (Wdh.)

3 Durch eine bestimmte Wahl der Bauelementewerte und durch Normierung erhält man das nichtlineare System von Differentialgleichungen: x =f (x,x )= 3x +3x x =f (x,x )= x +4x x 3 (5) 6 f)* Bestimmen Sie die Fixpunkte p, p und p 3 des Differentialgleichungssystems in (5). x = x = x x = x +4x x 3 = x = x 3 x = ] p = ] p = p 3 = ] 4 g)* Berechnen Sie die Jacobimatrix J von f(x)= f (x,x ) f (x,x ) und x. ] für allgemeine Zustände x J(x)= f (x,x ) [ f (x,x ) x f (x,x ) x f (x,x ) x x ] = [ x ] GOP Schaltungstechnik SS 7 (Wdh.)

4 Name:... Matrikel-Nr.:... 3 h) Bestimmen Sie die Eigenwerte der Zustandsmatrix des um den Punkt herum linearisierten 5 Systems, zu dem es keinen punktsymmetrischen weiteren Fixpunkt gibt. Verwenden Sie dabei die Ergebnisse der letzten beiden Teilaufgaben. A = J() [ ] 3 3 = 4 λ λ 6= λ =3,λ = i) Um welches Phasenportrait handelt es sich in der lokalen Umgebung dieses Fixpunktes? Es handelt sich um einen Sattelpunkt j) Sind die beiden anderen Fixpunkte stabil? Begründen Sie Ihre Antwort! 5 [ ] [ ] 3 3 J(p )=J(p 3 )= = λ +5λ += 3 3 λ =.5+j λ =.5 j Negativer Realteil stabil GOP Schaltungstechnik SS 7 (Wdh.)

5 4 k) Welche Funktion erfüllt die Schaltung somit? Es handelt sich um eine bistabile Schaltung (Flip-Flop) GOP Schaltungstechnik SS 7 (Wdh.)

6 35 Aufgabe Oszillatorschaltung Gegeben sei folgende Schaltung: (35 Punkte) i L u L L i F u C C F u F i C Bild. Oszillatorschaltung 3 Die Spannung u F am Eintor F hängt vom Strom i F auf folgende Weise ab: Ri F + RI für i F < I Bereich I u F (i F ) = Ri F für i F I Bereich II Ri F RI für i F > I Bereich III a)* Zeichnen Sie die Kennlinie des Eintors F in der u F i F Ebene und kennzeichnen Sie die relevanten Punkte. Achten Sie auf eine korrekte Beschriftung der Achsen. i F I I RI u F I GOP Schaltungstechnik SS 5 Wdh.

7 Name: Matrikel-Nr.: b)* Welche der folgenden Aussagen über das Eintor F sind wahr, welche falsch? 3 ) F ist quellenfrei ) F ist ungepolt 3) F ist linear F ist quellenfrei, ungepolt und nicht linear c)* Welche grundlegende Eigenschaft muss ein System haben, damit sich eine Oszillation mit stabilem Grenzzyklus ergeben kann? Ist diese Eigenschaft in der Schaltung in Bild erfüllt? Es muss eine Nichtlinearität vorhanden sein. Diese Bedingung ist erfüllt, da F nichtlinear ist. d)* Stellen Sie für den Zustandsvektor x = [u C, i L ] T das Differentialgleichungssystem im 5 Bereich II auf und bringen Sie es auf die Form x= Ax. Welche Einträge hat A? Bereich II: u F = Ri F i C = i L = C u C u C = i C L u L = u C u F = uc + Ri F = u C + Ri L = L i L = u L C + R i L L i L [ A = C L R L ] GOP Schaltungstechnik SS 5 Wdh.

8 4 4 e)* Für eine bestimmte Dimensionierung von R, L und C ergebe sich die Zustandsmatrix A zu [ ] A = mf. mh Bestimmen Sie den Betrag Im {λ, } des Imaginärteils Im {λ, } der Eigenwerte λ, von A. ms det(a λi) = λ ms λ + (ms) = λ, = (ms) ± (ms) = (ms) ± j(ms) Im {λ, } = (ms) f) Verhält sich der Oszillator eher harmonisch oder eher relaxierend? Begründen Sie Ihre Antwort. Eher harmonisch, da Im {λ, } > g)* Welche Leistung p F (t) wird am Eintor F in Abhängigkeit der Spannung u F (t) und des Stromes i F (t) umgesetzt? p F (t) = u F (t)i F (t) GOP Schaltungstechnik SS 5 Wdh.

9 Name: Matrikel-Nr.: h)* Im Folgenden sei i F (t) = Î sin(ωt). Lösen Sie diese Gleichung nach t auf für π < ωt π. ( ) t = arcsin i FÎ ω i) Zur Bestimmung der Oszillationsamplitude Î > I benötigt man unter anderem das Integral 7 X = p F (t)dt im Bereich i F I. Berechnen Sie dieses Integral unter Verwendung der beiden vorausgegangenen Aufgaben g) und h). Hinweis: Für i F (t) I ist Bereich II gültig. Außerdem ist sin (x) = cos(x). Bereich II: u F (t) = Ri F (t) Integralgrenzen: t(i F = ) = ( ) t(i F = I ) = arcsin I ω Î ω arcsin( I Î) = ω arcsin( I Î) = RÎ = RÎ = RÎ 4ω arcsin( I ω p F (t)dt = Î) Ri F(t)dt RÎ sin (ωt)dt = RÎ [ t sin(ωt) ] arcsin( I ω Î) ω [ ( ( ) ω arcsin I sin arcsin Î ω [ ( ) [ I arcsin sin arcsin Î ω arcsin( I I Î ( I Î )] )]] Î) [ cos(ωt)]dt GOP Schaltungstechnik SS 5 Wdh.

10 6 j)* Ein weiteres Integral Y ist definiert als Y = p F (t)dt im Bereich I i F Î. () Welcher Zusammenhang besteht aus Energiegründen zwischen X und Y? X + Y =. 6 k) Durch Taylorreihenentwicklung (und π-näherung) ergibt sich das Integral X zu und das Integral Y zu X I R 4ω Y I R 4ω ( z ) 6 ( 3 z 4 z + z ) 3 () (3) mit der Substitution z = I Î. Bringen sie die Gleichungen () und (3) mittels des in Teilaufgabe j) erzielten Zusammenhangs auf die Form z 3 = az + b. Zeichnen Sie die beiden Graphen z 3 und az + b in das Koordinatensystem und ermitteln Sie anhand des Schnittpunktes den Wert von z. z 3 X + Y = 3 z 4 z + z 6 = z 3 = 4z 8 a = 4, b = 8 Aus Graphen: z.77 4z z GOP Schaltungstechnik SS 5 Wdh.

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