Die Schaltung (M3) wird an einem symmetrischen Drehstromsystem betrieben. Die zeitlichen Verläufe der Spannungen werden damit beschrieben durch:

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1 Aufgabe Ü Gegeben ist folgende Gleichrichterschaltung mit drei idealen Ventilen. An der Sekundärseite des Transformators liegt ein symmetrisches Dreiphasen-Wechselspannungssystem an. u s1 t u s t u V1 t u s t u V t u d t u V t i d t 1. Zeichnen Sie die folgenden zeitlichen Verläufe: den Verlauf der Spannungen u s1 t, u s t und u s t, den Verlauf der gleichgerichteten Spannungen u d t, den Verlauf des gleichgerichteten Stroms i d t und den Verlauf der Ventilspannungen u v1 t.. Berechnen Sie den Gleichrichtwert Ūd und den Effektivwert Ud der Spannung u d t. 1. Zeitliche Verläufe der Ströme und Spannungen: Die Schaltung M wird an einem symmetrischen Drehstromsystem betrieben. Die zeitlichen Verläufe der Spannungen werden damit beschrieben durch: u s1 t = Û sinωt u s t = Û sinωt u s t = Û sinωt 4π = Û sinωt + Die Spannung u s t eilt gegenüber u s1 t um 10 nach. Die Spannung u s t eilt um 10 gegenüber u s t nach und entsprechend um 40 gegenüber u s1 t. SS Verena Schild, 1. Juni 014

2 Im dreiphasigen System müssen drei Fälle unterschieden werden, wenn das Ventil bestimmt werden soll, das gerade leitfähig ist. Diese drei Fälle unterscheiden drei Zeitbereiche, in denen dann jeweils eins der Ventile leitet. Fall 1: Die Spannung u s1 t ist am größten, also ist das Pontential an der Anode von V1 größer als das an der Kathode von V1. Das Ventil V1 wird damit in Durchlassrichtung betrieben und leitet u V1 t = 0. Die Ventile V und V werden in Sperrrichtung betrieben. Folglich sind die Ventilspannungen u V t und u V t ungleich Null und in den beiden Zweigen fließt kein Strom. Die gleichgerichtete Spannung u d t ist für diesen Bereich gleich der Spannung u s1 t. Fall : Die Spannung u s t ist am größten, also ist das Pontential an der Anode von V größer als das an der Kathode von V. Das Ventil V wird damit in Durchlassrichtung betrieben und leitet u V t = 0. Die Ventile V1 und V werden in Sperrrichtung betrieben. Folglich sind die Ventilspannungen u V1 t und u V t ungleich Null und in den beiden Zweigen fließt kein Strom. Die gleichgerichtete Spannung u d t ist für diesen Bereich gleich der Spannung u s t. Fall : Die Spannung u s t ist am größten, also ist das Pontential an der Anode von V größer als das an der Kathode von V. Das Ventil V wird damit in Durchlassrichtung betrieben und leitet u V t = 0. Die Ventile V1 und V werden in Sperrrichtung betrieben. Folglich sind die Ventilspannungen u V1 t und u V t ungleich Null und in den beiden Zweigen fließt kein Strom. Die gleichgerichtete Spannung u d t ist für diesen Bereich gleich der Spannung u s t. Die Übergabe des Stroms von einem Zweig in einen anderen Kommutierung erfolgt demnach immer dann, wenn sich zwei Spannungen im positiven Bereich schneiden, also immer dann wenn die größte positive Spannung wechselt. Innerhalb einer Periode der Spannung u s1 t wird der Strom also dreimal von einem in einen anderen Zweig übergeben. Damit gilt für die Kommutierungszahl Anzahl der Kommutierungen während einer Periode der Netzfrequenz in einer Kommutierungsgruppe der betrachteten M-Schaltung q =. In diesem Fall gibt es nur eine Kommutierungsgruppe Gruppe von Ventilen, zwischen denen die Stromführung periodisch wechselt, die aus den Ventilen V1, V und V besteht. Innerhalb einer Kommutierungsgruppe führt immer nur ein Ventil Strom. SS 014 Verena Schild, 1. Juni 014

3 π u s1 t u s t u s t ωt u d t i d t ωt u v1 t ωt SS 014 Verena Schild, 1. Juni 014

4 Berechnung der Spannung u v1 t: Es müssen wieder drei Fälle unterschieden werden. V1 leitet: u v1 t = 0 V leitet: u v t = 0 0 = u s1 t u s t + u v t u v1 t u v1 t = u s1 t u s t V leitet: u v t = 0 0 = u s1 t u s t + u v t u v1 t u v1 t = u s1 t u s t Die Spannungsabfälle an den anderen Ventilen können in gleicher Weise berechnet werden.. Berechnung des Gleichricht- und des Effektivwertes: Berechnung der Schnittpunkte der Spannungen u s1 t, u s t und u s t zur Bestimmung der Periodendauer der gleichgerichteten Spannung. u s1 t = Û sinωt u s t = Û sinωt u s t = Û sinωt 4π = Û sinωt + Hinweis: a + b a b sina sinb = cos sin SS Verena Schild, 1. Juni 014

5 Schnittpunkt zwischen u s1 t und u s t: u s1 t = u s t u s1 t u s t = Û sinωt Û sin ωt = 0 0 = sinωt sinωt ωt + ωt = cos 0 = cos ωt π sin sin ωt ωt + Der Sinus-Term kann nicht Null werden sinπ/ = /, daher wird der Cosinus-Term gleich Null gesetzt, um den Schnittpunkt der beiden Kurven zu ermitteln. Aufgrund der Periodizität der Cosinus-Funktion gibt es mehrere Lösungen. Hier wird der erste Nulldurchgang im positiven Zeitbereich bei π/ gewählt. π cos = 0 π = ωt 5π = ωt ωt = 5π Schnittpunkt zwischen u s1 t und u s t: u s1 t = u s t u s1 t u s t = Û sinωt Û sin ωt + = 0 0 = sinωt sinωt + ωt + ωt + = cos 0 = cos ωt + sin π sin ωt ωt Der Sinus-Term kann wieder nicht Null werden sin π/ = /, daher wird der Cosinus-Term gleich Null gesetzt, um den Schnittpunkt der beiden Kurven zu ermitteln. Aufgrund der Periodizität der Cosinus-Funktion gibt es mehrere Lösungen. Hier wird wieder der erste Nulldurchgang im positiven Zeitbereich bei π/ gewählt. SS Verena Schild, 1. Juni 014

6 π cos = 0 π = ωt + π = ωt ωt = π Die Periodendauer der Spannung u d t beträgt damit: T = 5π π = Berechnung des Gleichrichtwerts: Es wrid ein Zeitbereich betrachtet, in dem sinωt > 0 ist. Daher können die Betragsstriche auch weggelassen werden. Ū d = 1 T t 0 +T Û sinωt dωt = Û = Û t 0 5π [ cosωt] π [ 1 + = Û 1 [ cos ] 5π π ] + cos = Û = 0,87 Û Berechnung des Effektivwerts: U d = 1 t 0 +T u T ωt dωt = t 0 U ˆ = [ 1 5π 1 4 sin 5π [ = Û 5π π ] 4 [ = Û ] π + = 0,841 4 Û [ 1 Û π ωt 1 4 sinωt 1 π ] 5π π 1 4 sin π ] Hinweis: Bronstein Integral-Nr. 75 sin ax = 1 x 1 sinax, hier: a = 1 und x = ωt 4a SS 014 Verena Schild, 1. Juni 014