Übung 2: Spektrum periodischer Signale

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1 ZHAW, SiSy, Rumc, Übung : Spektrum periodischer Signale Augabe Verschiedene Darstellungen der Fourierreihe. Betrachten Sie das periodische Signal s(t) = + sin(π t). a) Bestimmen Sie die A k - und B k -Koeizienten der Sinus-Cosinus-Form der Fourierreihe von s(t). Hinweis: - Das Signal s(t) ist bereits als Fourierreihe in Sinus-Cosinus-Form dargestellt. Sie können die Koeizienten deshalb einach ablesen. b) Stellen Sie das Signal s(t) als Fourierreihe in Betrag-Phasen- Form dar. Hinweise: - Bestimmen Sie mit den A k - und B k -Koeizienten die M k - und φ k -Koeizienten. - Vergewissern Sie sich, dass die Fourierreihen in der Betrag-Phasen- und in der Sinus-Cosinus-Form identisch sind. c) Stellen Sie das Signal s(t) als komplexe Fourierreihe dar. Hinweise: - Bestimmen Sie mit den A k - und B k -Koeizienten die c k -Koeizienten. - Vergewissern Sie sich mit Hile der Eulerormel, dass die Fourierreihen in der komplexen Form und in der Sinus-Cosinus-Form identisch sind. d) Bestimmen Sie die mittlere normierte Leistung P von s(t) im Frequenzbereich bzw. mit dem Satz von Parseval, einmal mit Hile der A k - und B k -Koeizienten, einmal mit den M k - und φ k -Koeizienten und einmal mit den c k -Koeizienten. e) Bestimmen Sie zum Vergleich die mittlere normierte Leistung P via Zeitbereich. Hinweis: - Benutzen Sie dabei die Identität sin (α) =.5 [-cos(α)].

2 M k M = 4/π ZHAW, SiSy, Rumc, Augabe Fourierreihe des periodischen Rechtecksignals. Betrachten Sie das olgende periodische Rechtecksignal s(t). s(t) - t a) Bestimmen Sie die A k - und B k -Koeizienten der Fourierreihe von s(t). Hinweise: - s(t) eine ungerade Funktion ist. - Berechnen Sie das Integral zur Bestimmung der B k -Koeizienten nur über eine halbe Periode [... ] und benutzen Sie dann die Symmetrie / k sin(π k t) dt ( ) sin(π k t) dt / b) Sie können die Sinus-Harmonischen in der Graik oben einzeichnen und dann das Signal s(t) sin(π k t) betrachten, das Sie in a) integriert haben. c) Zeichnen Sie das einseitige Betrags-Spektrum M k von s(t) im olgenden Diagramm ein. M k Beschreiben Sie das einseitige Betrags-Spektrum in Worten.

3 ZHAW, SiSy, Rumc, 3 Augabe 3 komplexe Fourierreihe des cos- und des sin-signals. a) Bestimmen Sie die komplexe Fourierreihen-Darstellung ür das Signal x(t) = cos(π t). Bemerkung: Benutzen Sie die Eulerormel und nicht die Deinitionsgleichung ür die Fourierkoeizienten c k. b) Zeichnen Sie das Spektrum c k von x(t) im olgenden Diagramm ein. c) Wiederholen Sie Re{c a) und k } b) mit x(t) = sin(π t)

4 ZHAW, SiSy, Rumc, 4 Augabe 4 Signalanalyse. a) Betrachten Sie den olgenden periodischen Signalverlau von x(t). Bestimmen Sie x(t). b) Bestimmen Sie die c k -Koeizienten der komplexen Fourierreihe von x(t) und zeichnen Sie das c k -Spektrum von x(t) im olgenden Diagramm ein. c) Bestimmen Sie die mittlere normierte Leistung P von x(t). d) Wie sieht der Signalverlau von x(t) au einem Oszilloskop aus, wenn Sie AC-Kopplung verwenden? -.5

5 ZHAW, SiSy, Rumc, 5 Augabe 5 Leistungsberechnung im Zeit- und im Frequenzbereich. Betrachten Sie das Signal x(t) = cos(π t) + cos(π t), wobei = khz. a) Zeichnen Sie den Verlau von x(t). b) Berechnen Sie die mittlere normierte Leistung P von x(t) mit dem Satz von Parseval. c) Berechnen Sie die mittlere normierte Leistung P von x(t) im Zeitbereich. Bemerkungen: - Die cos-harmonischen sind orthogonal, d.h. cos(π t) cos(π t)dt - cos(π t) dt.5 sieht man am einachsten, wenn man cos (.) graisch auzeichnet.

6 ZHAW, SiSy, Rumc, 6 Augabe 6 Spektrum einer Impulsolge. Betrachten Sie die olgende periodische Dirac-Impulsolge k s(t) δ(t n ). a) Zeichnen Sie den Verlau von s(t) im Diagramm unten ein. b) Bestimmen Sie analytisch die c k -Spektralwerte von s(t), zeichnen Sie das zweiseitige Ic k I-Betragsspektrum im Diagramm unten ein und interpretieren Sie das Resultat. Hinweis: - Wählen Sie zur Koeizienten-Berechnung das Integrationsintervall von - / bis /.

7 ZHAW, SiSy, Rumc, 7 Musterlösung Augabe a) Alle A k - und B k -Koeizienten sind Null ausser A = und B =. b) Alle M k - und φ k -Koeizienten sind Null ausser M = A / =, M = IB I = und φ = -arctan(b /) = -π/ => s(t) = + cos(π t - π/), Anwendung der trigonometrischer Umormung cos(α+β) = cos(α) cos(β) - sin(α) sin(β) gibt: s(t) = + sin(π t) c) Alle c k -Koeizienten sind Null ausser c = A / =, c = (A -j B )/ = -j/, c - = (c )* = j/ => s(t) = (j/) e -π o t + - (j/) e π o t Mit der Euler-Formel ür den Sinus olgt: s(t) = + (/j) (e π o t -e -π o t ) = + sin(π t). d) mit A k - und B k -Koeizienten: P = (A /) + (B ) / = +.5 =.5 mit M k - und φ k -Koeizienten: P = (M ) + (M ) / = +.5 =.5 mit c k -Koeizienten: P = Ic - I + Ic I + Ic I = =.5 e) im Zeitbereich (Integral über eine oder zwei sin- oder cos-schwingungen ist Null): P ( sin(ω t)) dt P sin (ωt) dt ( sin(ω t) sin (ω t)) dt.5 (- cos(ω t)) dt.5.5 Augabe a) Das Signal ist ungerade, also gilt: A k = ür k. Bestimmung der B k -Koeizienten: B k s(t) sin(π k Berechnung des Integrals über eine halbe Periode: kπ ( - cos kπ ) kπ k gerade k ungerade ) / / cos(π k sin(π k t)dt π k t) dt Mit Hile der angegebenen Symmetrie: B k = 4/π (/k) ür ungerade k

8 M k M = 4/π ZHAW, SiSy, Rumc, 8 b) Um B zu bestimmen, muss mal die Fläche unter dem. Sinusbogen bestimmt werden. Bei der Bestimmung von B wird mal die Fläche unter dem. Sinusbogen und mal die Fläche unter dem. Sinusbogen addiert, was Null geben muss. c) M k = (A k + B k ) = IB k I = 4/(kπ) M 3 = M /3 M 5 = M /5 M7 = M /7 Das Betrags-Spektrum eines periodischen Rechtecksignals weist nur Spektralanteile bei ungeraden Vielachen der Grundrequenz au, deren Amplituden mit /k abnehmen. Augabe 3 a) x(t) = cos(π t) =.5 e jπ o t +.5 e -jπ o t d.h. alle c k sind Null ausser c = c - =.5 b) cos-spektrum: c) x(t) = sin(π t) = (/j) e jπ o t - (/j) e -jπ o t d.h. alle c k sind Null ausser c = -j/ und c - = j/ sin-spektrum:

9 ZHAW, SiSy, Rumc, 9 Augabe 4 a) x(t) = cos(π t) = -.5 e jπ t -.5 e -jπ t wobei = khz. b) c =, c = -.5 = c -, die übrigen c k -Koeizienten sind alle Null. -.5 c) Parseval: P = Ic - I + Ic I + Ic I = (-.5) + + (-.5) =.5 oder: P = DC-Leistung + AC-Leistung = + (Amplitude cos-signal) / =.5 d) mit der AC-Kopplung wird die DC-Komponente X = A / unterdrückt, d.h. es wird x(t) - dargestellt Augabe 5 a) Signalverlau: b) P = AC-Leistung -Komponente + AC-Leistung -Komponente = =

10 ZHAW, SiSy, Rumc, c) Berechnung der Leistung im Zeitbereich (hier etwas mühsamer als im Frequenzbereich): P cos(π t) cos(π t) dt cos(π t) cos(π t) cos(π t) cos(π t) dt.5.5 Augabe 6 a) Dirac-Impulsolge s(t), siehe unten. b) Mit der Sieb- bzw. Ausblendeigenschat des Dirac-Pulses δ(t) olgt: c k / jπ k t jπ k s(t) e dt e ür alle k / Bei jedem Dirac- Hammerschlag werden alle Frequenzen gleichmässig angeregt. Die Dirac-Impulsolge s(t) ist aber ein periodisches Signal und besitzt deshalb ein Linienspektrum (bei Vielachen der Repetitionsrequenz ).