Lösungsblatt 2 Signalverarbeitung und Klassifikation

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1 Fakultät für Informatik Übung zu Kognitive Systeme Sommersemester 06 M. Sperber S. Nguyen Lösungsblatt Signalverarbeitung und Klassifikation Aufgabe : Faltung Abbildung : Faltung a) Bestimmen Sie die Faltung der Funktion f(x) mit sich selbst (f(x) f(x)) rechnerisch. Rechnung: f(x) f(x) = f(t)f(x t)dt () Gemäß der Definition der Faltung erhält man die Faltung von f(x) mit sich selbst durch die Integration von f(t) mit der gespiegelten Funktion f( t). Bildlich gesprochen wird für die Integration f( t) von links über f(t) geschoben. Lösungsblatt zu Kognitive Systeme Seite

2 Fallunterscheidung: Fall : x < 0 f(t) f(x t)dt = 0 Fall : Wenn die gespiegelte Funktion f( x) (rotes Quadrat) über f(x) (blaues Quadrat) geschoben wird, entsteht ein Bereich der Überlappung (lila Quadrat). 0 x < f(t) f(x t)dt x = dt = x 0 Fall 3: x = x f(t) f(x t)dt dt = x + Lösungsblatt zu Kognitive Systeme Seite

3 Fall 4: x > f(t) f(x t)dt = 0 Das Faltungsergebnis ist demnach: b) Bestimmen Sie f(x) g(x) grafisch. Rechnung: f(x) g(x) = g(t) f(x t)dt () Lösungsblatt zu Kognitive Systeme Seite 3

4 Fallunterscheidung: Fall : x < 0 g(t) f(x t)dt = 0 Fall : 0 x < = x 0 g(t) f(x t)dt t dt = x Fall 3: x < = = x ] [ t g(t) f(x t)dt t dt + x x dt + x = x + x Fall 4: x g(t) f(x t)dt = x dt = t x = x + 3 Ausgehend von den vorangegangenen Berechnungen kann das Faltungsergebnis wie folgt visualisiert werden: Lösungsblatt zu Kognitive Systeme Seite 4

5 = i δ(f + 400) i δ(f 400) + δ(f + 00) + δ(f 00) (3) Onlinefrage Nr. : Was ist der größte Wert des Ergebnisses der Faltung f(x) g(x)? i) 0,5 ii) 0,75 iii),0 iv),5 v),5 Der größte Wert des Ergebnisses der Faltung f(x) g(x) ist, siehe Lösung der Aufgabe b). Aufgabe : Digitalisierung von Signalen Gegeben sei die Funktion f(t) = sin(π400t) + cos(π00t) Hinweise: Zur Vereinfachung sei in der Zeichnung die Höhe von δ =. Zur Fouriertransformation existieren diverse Konventionen! Lassen Sie sich davon nicht verwirren und verwenden Sie zur Lösung dieser Aufgabe die folgenden Informationen: Funktion Fouriertransformierte i sin(πf 0 t) (δ(f + f 0) δ(f f 0 )) cos(πf 0 t) (δ(f + f 0) + δ(f f 0 )) + k= δ(t kt ) + T k= δ(f k/t ) a) Zeichnen Sie das komplexe Spektrum der mit 500Hz abgetasteten Funktion f(t), t in Sekunden. Die Fouriertransformation der Funktion f(t) ist: F (f) = i (δ(f + 400) δ(f 400)) + (δ(f + 00) + δ(f 00)) Lösungsblatt zu Kognitive Systeme Seite 5

6 Re Abtastung: Faltung des Spektrums mit pulszug Re /T Verschiebung des pulszugs mit f o = 0: Re F (0) δ(0) = 0 Verschiebung des pulszugs mit f o = 00: (F δ)(f o = 00) = T + i T = T + i (F δ)(f o = 400) = (F δ)(f o = 00) = (F δ)(f o = 600) Lösungsblatt zu Kognitive Systeme Seite 6

7 Re Verschiebung des pulszugs mit f o = 400: Re (F δ)(f o = 400) = T i T = T i (F δ)(f o = 00) = (F δ)(f o = 400) = (F δ)(f o = 900) Komplexes Spektrum mit einer Samplefrequenz von 500Hz: (F δ)(f o = 00) = T + i (F δ)(f o = 00) = T i (F δ)(f o = 400) = T i (F δ)(f o = 400) = T + i Re /T Berechnung des Betragsspektrums nach Abtastung mit 500Hz: Lösungsblatt zu Kognitive Systeme Seite 7

8 (F δ)(f o = 00) = (F δ)(f o = 400) = ) = 5 5 ( T ) + ( ( T ) + ( ) = Re Lösungsblatt zu Kognitive Systeme Seite 8

9 b) Welches Phänomen tritt auf, wie kommt es dazu und wie kann verhindert werden, dass es auftritt? Die gegebene Abtastfrequenz von 500Hz wurde gemäß des Abtasttheorems zu klein gewählt. Daher tritt Aliasing auf, d.h. wiederholte Spektren überlagern sich. gegebenen Fall überlagern sich Frequenzen des Realteils und aginärteils. Weitere denkbare Effekte: Auftreten von im Originalsignal nicht vorhandener Frequenzen, und Verschwinden von im Originalsignal vorhandener Frequenzen. Bei einer D/AWandlung kann das Originalsignal nicht mehr aus den abgetasteten Werten rekonstruiert werden. Um Aliasing zu verhindern, muss als Abtastfrequenz eine Frequenz gewählt werden, die echt größer ist als das fache der höchsten Frequenz im Signal, also > 400 Hz. c) Zeichnen Sie das Betragsspektrum der mit 900Hz abgetasteten Funktion. Faltung des Spektrums vor der Abtastung mit dem pulszug mit Frequenz 900Hz: Verschiebung des pulszugs mit f o = 0: Re (F δ)(f o = 0) = 0 Verschiebung des pulszugs mit f o = 00: (F δ)(f o = 00) = T = T (F δ)(f o = 00) = (F δ)(f o = 800) = T = T Verschiebung des pulszugs mit f o = 400: Lösungsblatt zu Kognitive Systeme Seite 9

10 Re Re (F δ)(f o = 400) = i T = i (F δ)(f o = 400) = (F δ)(f o = 500) = i Das komplexe Spektrum nimmt nach der Abtastung folgende Werte an: (F δ)(f o = 400) = i (F δ)(f o = 00) = T (F δ)(f o = 400) = i (F δ)(f o = 00) = T Re /T Berechnung des Betragsspektrums nach Abtastung mit 900Hz: (F δ)(f o = 400) = 0 + ( i (F δ)(f o = 00) = ( T ) + 0 = T ) = Lösungsblatt zu Kognitive Systeme Seite 0

11 (F δ)(f o = 400) = 0 + ( i ) = Re + /T / Bei einer Abtastfrequenz von 900Hz wird das Abtasttheorem befolgt und es kommt nicht zu Aliasing. Lösungsblatt zu Kognitive Systeme Seite

12 Onlinefrage Nr. : Was ist der größte reale Anteil aller Funktionswerte im komplexen Spektrum von f(t) vor der Abtastung? i) ii) T iii) iv) v) Der größte reale Anteil aller Funktionswerte im komplexen Spektrum von f(t) vor der Abtastung beträgt. Aufgabe 3: Filtern a) Gegeben sei die Funktion v(t) = π δ(t) sin(3ω 0t) sin(ω 0 t) t mit der Zeitvariablen t und ω 0 > 0. Die Multiplikation ihrer Fouriertransformierten V (ω) mit der Fouriertransformierten eines Signals stellt einen Filter dar. Um welchen Filter handelt es sich dabei? Hinweis: Die Funktion f(t) = sin(πt) πt entspricht der Funktion f(t) = sinc(t). Benutzen Sie als Fouriertransformierte von g(t) = sinc(at) folgende Funktion: G(ω) = a rect( ω 0, t > { πa ) mit rect(t) =, t Umformung: v(t) = πδ(t) sin(3ω ot) sin(ω o t) t (4) = πδ(t) ( 3ω o sin(3ω o t) ω o sin(ω o t) ) 3ω o t ω o t (5) sin(3π ωo π = πδ(t) (3ω ω sin(π o o 3π ωo π t ω π t) o π ωo π t ) (6) = πδ(t) (3ω o sinc( 3ω o π t) ω osinc( ω o π t)) Fouriertransformation: Laut Formelsammlung ist die Fouriertransformierte von f(x) = δ(x) die Funktion F (ω) =. V (ω) = F (v(t)) = F (πδ(t) (3ω o sinc( 3ωo π t) ω osinc( ωo π t))) Gegeben sei: Die Fouriertransformation von g(t) = sinc(at) sei G(ω) = a rect( ω πa ), wobei rect(t) definiert { } 0, t > ist als, t Lösungsblatt zu Kognitive Systeme Seite

13 V (ω) = π (3ω o 3ωo rect(t) ist definiert als ω ) ω o ωo ω π ωo π π rect( π 3ωo π π rect( π = π (3ω o rect( ω π ) ω o rect( ω )) (7) 3ω o 6ω o ω o ω o = π (πrect( ω 6ω o ) πrect( ω ω o )) (8) = π πrect( ω 6ω o ) + πrect( ω ω o ) (9) { 0, t >, t rect( ω 6ω o ) ist nur dann wenn ω 3ω o rect( ω ω o ) ist nur dann wenn ω ω o } )) (0) Onlinefrage Nr. 3: Um welches Filter handelt es sich in Aufgabe 3a)? i) Tiefpass ii) Hochpass iii) Bandpass iv) Bandsperre Es handelt sich um eine Bandsperre (siehe Lösung 3a). Aufgabe 4: Diskrete Fouriertransformation, Sampling Die Frequenzauflösung der DFT hängt von der zeitlichen Auflösung ab. Je feiner die zeitliche Auflösung ist, desto gröber ist die Frequenzauflösung und umgekehrt. Berechnet man beispielsweise die DFT über einem gesamten Musikstück, so erhält man detaillierte Informationen über die auftretenden Frequenzen, dies jedoch nur kumuliert über das gesamte Musikstück hinweg. Berechnet man die DFT auf Basis von beispielsweise 00 Werten, so erhält man als Ergebnis ebenfalls 00 Werte. Da das Resultat der DFT symmetrisch ist, trägt nur die Hälfte der Werte Informationen. Somit verteilt sich die Frequenzinformation auf 50 Werte. Betrachten wir zur Verdeutlichung ein Beispiel mit unterschiedlichen Samplingraten, berechnen dabei die DFT aber stets auf Basis von 00 Samples: Lösungsblatt zu Kognitive Systeme Seite 3

14 Samplingrate Grenzfrequenz Frequenzauflösung Zeitauflösung 000 Hz 500 Hz 0 Hz 0. s 00 Hz 50 Hz Hz s 0 Hz 5 Hz 0. Hz 0 s Es wird deutlich, dass die Frequenzauflösung in einem reziproken Verhältnis zur zeitlichen Auflösung steht. a) Berechnen Sie die Anzahl N der Samples, die benötigt werden, damit eine DFT eine Frequenzauflösung von 0Hz erreichen kann, wenn ein Signal mit 33kHz abgetastet wurde. Bei einer Abtastung mit 33kHz beträgt die Grenzfrequenz 6.5kHz. Bei einer gewünschten Frequenzauflösung von 0Hz benötigen wir somit 650 Werte. Dies entspricht einer DFT mit 3300 Werten. Folglich benötigen wir N = 3300 Samples zur Berechnung der DFT. Onlinefrage Nr. 4: Welche zeitliche Auflösung wird benötigt, damit eine DFT eine Frequenzauflösung von 0Hz erreichen kann, wenn ein Signal mit 33kHz abgetastet wurde? i) 0.ms ii) 3.3ms iii) 0.33ms iv) 00ms Aus Teilaufgabe a) wissen wir, dass wir 3300 Samples benötigen. Bei einer Abtastrate von 33kHz entspricht dies einer zeitlichen Auflösung von 0.s bzw. 00ms. Lösungsblatt zu Kognitive Systeme Seite 4