Übung 3: Fouriertransformation

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1 ZHAW, SiSy HS202, Rumc, Übung 3: Fouriertransformation Aufgabe Fouriertransformation Dirac-Impuls. a) Bestimmen Sie die Fouriertransformierte S(f) des Dirac-Impulses s(t) = δ(t) und interpretieren Sie das Resultat. b) Bestimmen Sie die Fouriertransformierte S(f) des zeitlich verzögerten Dirac-Impulses s(t) = δ(t-t 0 ) und überprüfen Sie mit dem Ergebnis die Zeitverschiebungseigenschaft der Fouriertransformation. c) Vergleichen Sie die Betragsspektren der beiden Zeitfunktionen δ(t) und δ(t-t 0 ). d) Bestimmen Sie mit Hilfe der Dualitätseigenschaft der Fouriertransformation die zum Spektrum S(f) = δ(f) gehörende Zeitfunktion s(t) und interpretieren Sie das Resultat. Aufgabe 2 Zeitskalierungseigenschaft. Betrachten Sie das folgende Puls-Signal s(t) und das zugehörige Betragsspektrum IS(f)I. s(t) IS(f)I A t f t 0 -f g f g a) Zeichnen Sie im Diagramm oben das Zeitsignal x(t) = s(2t) und das zugehörige Betragsspektrum IX(f)I ein. b) Interpretieren Sie das Ergebnis von Teilaufgabe a).

2 ZHAW, SiSy HS202, Rumc, 2 Aufgabe 3 Uebertragungsfunktion. Betrachten Sie das folgende System (RC-Tiefpass-Filter): τ = RC R x(t) C y(t) Teil A Das Signal h(t) u(t) e t/τ entspricht dem Ausgangssignal y(t), wenn am Eingang ein Dirac-Impuls x(t) = δ(t) anliegt. Dabei stellt u(t) das Einheitsschritt-Signal dar und für die Zeitkonstante gilt τ = RC. Das Signal h(t) ist also die Impulsantwort des Systems. Die Fouriertransformierte H(f) der Impulsantwort h(t) ist die Übertragungsfunktion und gibt das Verhältnis zwischen Ausgangs- und Eingangsspektrum an, d.h. H(f) = Y(f) / X(f). Wählen Sie im Folgenden τ = RC = 0-3 / (2π). a) Zeichnen Sie die normierte Stossantwort τ h(t) im Diagramm unten ein. b) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion H(f). c) Zeichnen Sie den Betrag und die Phase der Übertragungsfunktion H(f) im Diagramm unten ein und beantworten Sie die folgenden Fragen: - Wo liegt die -3 db Grenzfrequenz? - Wie steil ist das Filter in db / Oktave bzw. db / Dekade? - Bei welchen Frequenzen beträgt die Phasenverschiebung zwischen Ein- und Ausgangssignal -6, -45 und -(90-6)?

3 ZHAW, SiSy HS202, Rumc, 3 Teil B Das Input-Output-Verhalten des oben dargestellten Systems (RC-Tiefpass- Filters) kann auch mit Hilfe der Differentialgleichung beschrieben werden. τ dy(t)/dt + y(t) = x(t) d) Machen Sie eine Fouriertransformation der obigen Differentialgleichung und zeigen Sie, dass Sie die Übertragungsfunktion H(f) von Teilaufgabe b) erhalten, wenn sich das System im eingeschwungenen Zustand befindet. Teil C e) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion H(f) des obigen RC-Tiefpass-Filters, indem Sie den Spannungsteiler mit komplexen Impedanzen im Frequenzbereich berechnen.

4 ZHAW, SiSy HS202, Rumc, 4 Aufgabe 4 Frequenzverschiebungseigenschaft der Fouriertransformation. Betrachten Sie das AM-Signal y(t) = s(t) x(t) = cos(2π f m t) cos(2π f 0 t), wobei die Modulationsfrequenz f m = khz und die Trägerfrequenz f 0 = 0 khz betragen. a) Zeichnen Sie die Amplitudendichtespektren S(f) und Y(f) im folgenden Diagramm ein. Hinweis: Verwenden Sie die Frequenzverschiebungseigenschaft der FT. S(f) f / khz Y(f) f / khz b) Formen Sie y(t) trigonometrisch so um, dass Sie Y(f) direkt ablesen können. Aufgabe 5 Betrachten Sie das Signal x(t) = u(t) exp(-5t) wobei u(t) die Einheitsschrittfunktion darstellt. a) Berechnen Sie die Fouriertransformierte X(f) von x(t). b) Skizzieren Sie das Betragsspektrum IX(f)I.

5 ZHAW, SiSy HS202, Rumc, 5 Aufgabe 6 Zuordnung verschiedener Fourier-Korrespondenzen. Ordnen Sie jedem der folgenden Zeitsignale x(t) das richtige Betragsspektrum IX(f)I auf der nächsten Seite zu und begründen Sie Ihre Antwort. a d b e c f

6 ZHAW, SiSy HS202, Rumc, 6 A D B E C F

7 ZHAW, SiSy HS202, Rumc, 7 Musterlösung Aufgabe a) Der Dirac-Impuls s(t) = δ(t) regt alle Frequenzkomponenten gleich stark an, bzw. hat ein weisses Spektrum S(f) = S(f) j2πf t j2πf 0 δ(t) e dt e. j2πf t j2πf t0 b) S(f) δ(t - t ) e dt. 0 e Dieses Ergebnis stimmt mit dem Ergebnis überein, das man durch Anwendung der Zeitverschiebungseigenschaft der Fouriertransformation erhält: s(t-t 0 ) - S(f) e -j2πf to = e -j2πf to c) Ein Signal s(t) und seine zeitlich verzögerte Kopie s(t-t 0 ) haben immer das gleiche Betragsspektrum IS(f)I, in diesem Fall hier ein weisses Betragsspektrum IS(f)I =. d) δ(t) -, Dualität: - δ(-f) = δ(f) s(t) DC weist im Amplitudendichte-Spektrum eine Linie (genauer einen Dirac-Impuls) bei f=0 auf. Alternative Lösung: mit Fourier-Rücktransformation. j2πf t j2π0 t s(t) δ(f) e df e t IS(f)I A f Aufgabe 2 a) x(t) und Betragsspektrum IX(f)I t 0 -f g f g s(t) x(t) = s(2t) IS(f)I A A/2 IX(f)I t 0 /2 t 0 t -2f g -f g 2f g f g f b) Das Zeit-Bandbreite-Produkt ist eine Konstante (nahe bei ). Je kürzer der Zeitpuls, desto breiter das (Betrags-) Spektrum bzw. grösser die Bandbreite.

8 ZHAW, SiSy HS202, Rumc, 8 Aufgabe 3 a) Impulsantwort h(t) des Systems: b) H(f) h(t) e j2πf t dt c) Übertragungsfunktion: τ 0 e t/τ e j2πf t dt t( j2πf) τ e ( j2πf ) 0 j2πf - 3 db Grenzfrequenz liegt bei f g = /(2π τ) = 000 Hz. Filtersteilheit beträgt -6 db / Oktave bzw. -20 db / Dekade Phasenverschiebung beträgt -6, -45 und -(90-6) bei f g /0, f g und 0 f g. d) τ dy(t)/dt + y(t) = x(t) - τ (j2πf) Y(f) + Y(f) = X(f) Übertragungsfunktion H(f) = Y(f) / X(f) = / (+j2πf τ) e) Spannungsteiler: Y(f) = X(f) Z C / (Z C +Z R ) = X(f) / (+ jωrc) d.h. H(f) = / (+ j 2πf RC)

9 ZHAW, SiSy HS202, Rumc, 9 Aufgabe 4 a) Amplitudendichtespektren S(f) und Y(f): S(f) /2 / f / khz -f 0 +f 0 Y(f) /4 / f / khz Multiplikation eines Signals s(t) mit cos(2π f 0 t) = (e j2π fo t + e -j2π fo t ) / 2 ist identisch mit der Frequenzverschiebung von S(f) mit f 0 und -f 0. b) y(t) = cos(2π f m t) cos(2π f 0 t) = 0.5 cos(2π (f 0 +f m ) t) cos(2π (f 0 -f m ) t) d.h. Y(f) besitzt also «Linien» bzw. Dirac-Impulse mit dem Gewicht /4 bei den Frequenzen f 0 -f m = 9 khz und f 0 +f m = khz und natürlich bei den entsprechenden negativen Frequenzkomponenten. Aufgabe 5 a) X(f) x(t) e j2πf t b) Betragsspektrum: dt 0 e t(5 j2πf) dt t(5 j2πf) e (5 j 2π f) 0 5 j 2π f

10 ZHAW, SiSy HS202, Rumc, 0 Aufgabe 6 Zeitsignal Spektrum Begrüngung a E Linienspektrum mit 2 Linien für f > 0, weil x(t) = cos(2π f 0 t) cos(2π 0f 0 t) wobei f 0 = Hz b C Rechteckpuls mit Dauer 0.5s hat ein kontinuierliches sinc- Spektrum mit Nullstellen bei Vielfachen von /0.5s = 2 Hz c A Rechteckpuls mit Dauer 0.5s mal cos(2π f 0 t) wobei f 0 = 5 Hz kontinuierliches sinc-spektrum mit Nullstellen bei Vielfachen von /0.5s = 2 Hz verschoben um ± 5 Hz d B periodisches Rechtecksignal hat Linienspektrum bei ungeraden Vielfachen von f 0 = /T 0 = Hz. e F Rechteckpuls mit Dauer s hat ein kontinuierliches sinc-spektrum mit Nullstellen bei Vielfachen von /s = Hz, Zeitverschiebung => Phasenverschiebung, im Betragsspektrum nicht sichtbar! f D x(t) = exp(-t/t) wobei T=0.2s hat das kontinuierliche Spektrum X(f) = T / (+j2πft), IX(f)I fällt mit /IfI ab, Zeitverschiebung => Phasenverschiebung, im Betragsspektrum nicht sichtbar!