Grundlagen der Signalverarbeitung und Robo2k

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1 Grundlagen der Signalverarbeitung und Robo2k Bernd Neumann Jianwei Zhang Teil 1: Grundlagen der Signalverarbeitung Vorlesung: Übungen 1: Übungen 2: Do 10:15 11:45 Do 12:30 14:00 Mi 10:15 11:45 Übungen Jeden Donnerstag werden Übungsaufgaben ins Netz gestellt und in der Vorlesung kurz erläutert. Die Übungsaufgaben müssen schriplich bearbeitet und vor dem nächsten Übungstermin abgegeben werden. Elektronische Abgabe ist möglich an hamburg.de Übungen können in Gruppen von bis zu drei Studierenden bearbeitet und abgegeben werden. In den Übungsstunden werden Lösungen von Teilnehmern vorgetragen und gemeinsam besprochen. Die abgegebenen Lösungen werden bewertet, für eine erfolgreiche Übungsteilnahme ist mindestens die HälPe der maximalen Punktzahl erforderlich. Eine erfolgreiche Teilnahme an den Übungen ist Voraussetzung für die Zulassung zur mündlichen Modulprüfung. 1

2 Website h^p://kogs- hamburg.de/~neumann/signalverarbeitung- SoSe- 2011/ Sie finden diesen Link auch über meine Home Page Auf der Website finden Sie aktuelle Nachrichten, Folienkopien, Übungsblä^er und andere nützliche Angaben Aktualisierung der Website jeden Dienstag Mit wem Sie es zu tun haben Diplom in Elektrotechnik/Regelungstechnik in Darmstadt 1968 M.S. am MIT, Cambridge, USA 1971 Ph.D. am MIT, Cambridge, USA, in Informa2onstheorie Dozent am Fachbereich Informa2k der Universität Hamburg Professor (C2) am Fachbereich Informa2k der Universität Hamburg Professor (C4) am Fachbereich Informa2k der Universität Hamburg, Leiter des Arbeitsbereiches Kogni2ve Systeme Forschung: Bildverarbeitung und Künstliche Intelligenz Gründer und Leiter des Labors für Künstliche Intelligenz seit 1997 Mitbegründer und Vorsitzender des Hamburger Informa2k Technologie- Centers (HITeC) 2

3 Wahlspruch Dem Ingeniör ist nichts zu schwör! Original: "He does, huh? Well, I ll show him that Gyro Gearloose can make anything talk!" Inhalt von Teil 1 (1) Signale in linearen zei2nvarianten Systemen - Elementarsignale - Lineare zei2nvariante Systeme - Faltungsintegral Fourier- Transforma2on - EigenschaPen der Fourier- Transforma2on - Beispiele für Fourier- Tranforma2onen - Filtern im Orts- und Frequenzbereich Diskrete Signale - Shannon's Abtas^heorem, Rekonstruk2on - Topologieerhaltende Abtastung - Bilddigitalisierung Diskrete Faltung und diskrete Fourier- Transforma2on - Schnelle Fourier- Tranforma2on (FFT) - Filtern von Digitalbildern 3

4 Inhalt von Teil 1 (2) Digitale Bildverarbeitung - Bildkompression - Karhunen- Loeve- Transforma2on - Geometrische Transforma2onen Digitale perspek2vische Abbildung - 3D nach 2D - 2D nach 3D Bewegungsanalyse - Op2scher Fluss - Kalman- Filter - Essen2elle Matrix Was sind Signale? "Signale stellen die materielle Realisierung von Informa5onen dar. Sie haben einen Informa5onsgehalt, dargestellt durch den Verlauf bzw. die Änderung von informa5onstragenden Parametern. Die physikalische Größe, von der das Signal getragen wird, heißt Signalträger." Woshni, Informa2onstechnik, Verlag Technik, 1988 "Ein Signal ist ein physikalisches Phänomen, dessen Vorhandensein oder Änderung als Darstellung von Informa5onen angesehen wird." DN : Nachrichtenübertragung, 1994 Viele physikalische Größen: - Spannung - Schalldruck - Lich2ntensität - Lichtrequenz - Temperatur... Von einer physikalischen Größe abstrahierende Repräsenta2onsformen: - mathema2sche Funk2on - Kurvenverlauf, Grafik, Diagramm - Zahlenreihe, Zahlenfeld... 4

5 Signal, Nachricht, Informa2on Signal Signale können mit verschiedenen Trägern übermijelt werden "heute ist schönes FrühlingsweJer" Nachricht Nachrichten werden durch Zeichen oder Symbole dargestellt weiß ich doch leider keine Informa2on für den Empfänger InformaTonsgehalt hängt vom "Überraschungsgrad" des Nachrichten- empfängers ab Von Signalen zur Bedeutung Müllabfuhr und BrieZräger bei der Arbeit Signalverarbeitung kann zahlreiche komplexe Teilprozesse mit wechselnden Repräsenta2onen umfassen Wir behandeln hier vorwiegend allgemein verwendbare Grundformen der Signalverarbeitung und ihre Gesetzmäßigkeiten mathema2sche Abstrak2onen 5

6 Signalverarbeitung in Systemen Die formale, abstrahierende Beschreibung von Signalverarbeitung ermöglicht die Analyse und Synthese von verschiedenen Anwendungssystemen mit denselben Mi^eln. gedämpper elektrischer Serienschwingkreis gedämpper mechanischer Schwinger Überführung der Gleichungen ineinander mit L m, R b, c 1/C, i x Systemtheorie liefert z.b. Kriterien für die Stabilität eines Schwingkreises unabhängig von seiner physikalischen Realisierung. Erklärungsanspruch der Systemtheorie Wurzeln: Regelungstechnik: Regelungsvorgänge in technischen Systemen Kyberne2k: Vergleichende Betrachtung von Gesetzmäßigkeiten in technischen, biologischen und soziologischen Systemen Norbert Wiener ( ) begründete die Kyberne2k: "Wir haben beschlossen, das ganze Gebiet der Regelung und Nachrichtentheorie, ob in der Maschine oder im Tier, mit dem Namen 'Kyberne2k' zu benennen..." N. Wiener: Cyberne2cs or Control and Communica2on in the Animal and the Machine. 1. Auflage 1948 Deutsche Ausgabe: Kyberne2k- Regelung und Maschine. Rowohlt 1963 κυβερνητης = Steuermann governor Regler 6

7 Verhaltensbeschreibung System(komponenten) werden durch Eingabe- Ausgabe- Verhalten als Black Box oder White Box beschrieben: Eingabe x Ausgabe y Innere Struktur nicht bekannt, abstrakte Verhaltensmodelle (nützlich für Verhaltensanalyse komplexer Systeme) Eingabe x Ausgabe y Verhalten ergibt sich aus Kenntnissen der inneren Struktur (nützlich für AbstrakTon von bekanntem Detail) x und y werden häufig als "Zeitunk2on" x(t) und y(t) beschrieben Die Transforma2on durch eine Komponente ist y(t) = Tr{ x(t) } Kon2nuierliche vs. diskrete Signale (1) Kon2nuierlich: zu jedem Zeitpunkt definiert, kann jede Stelle im Wertebereich annehmen Defini2ons- und Wertebereich entsprechen reelen Zahlen Diskret oder quan2siert: Signal kann nur bes2mmte Stellen im Zeitbereich ("zeitdiskret") oder Wertebereich ("wertediskret") einnehmen analoge Signale wertkontnuierlich zeitkontnuierlich abgetastete Signale wertkontnuierlich zeitdiskret quan2sierte Signale wertdiskret zeitkontnuierlich digitale Signale wertdiskret zeitdiskret 7

8 Kon2nuierliche vs. diskrete Signale (2) Beispiele: Abtastung und Quan2sierung von Bildern 8

9 Elementarsignale Elementarsignale eignen sich als Eingabe zur Charakterisierung von Systemkomponenten haben eine einfache Beschreibung können als Bestandteile beliebiger Signale verstanden werden 1 s(t) = sin(2πt) 1 t 1 s(t) = ε(t) t s(t) = δ(t) t Sinus- Signal SprungfunkTon Dirac- Impuls s(t) = exp(πt 2 ) s(t) = rect(t) s(t) = Λ(t) Gauss- Signal Rechteckimpuls Dreieckimpuls Transforma2onen von Elementarsignalen Skalierung eines Signals mit Faktor a: s(t) a s(t) Zeitverschiebung (Verzögerung) eines Signals um t 0 : s(t) s(t- t 0 ) Zeitliche Dehnung eines Signals um Faktor T: s(t) s(t/t) Beispiel: Verzögerter und skalierter Rechteckimpuls mit Dauer T a s(t) = a rect( t! t 0 T ) 9

10 Lineare zei2nvariante Systeme LTI- Systeme (engl. linear 2me- invariant systems) haben spezielle EigenschaPen: 1. Linearität es gilt der Superposi2onssatz " Tr # $! i % a i s i (t)& ' =! i { } = a i i a i Tr s i (t)! g i (t) 2. Zei2nvarianz Tr{ s(t) } = g(t) Tr{ s(t t 0 ) } = g(t - t 0 ) Komponenten aus Bauelementen mit zeitunabhängigen EigenschaPen und ohne zeitabhängige Strom- und Spannungsquellen sind zei2nvariant. Weitere Systemtypen Ein kausales System reagiert auf ein Eingangssignal und an2zipiert es nicht. Technisch realisierbare Systeme sind stets kausal hinsichtlich zeitabhängiger Signale. Ein System heißt dynamisch, wenn sein Ausgangssignal auch von vergangenen Werten seines Eingangssignals abhängt. Dazu muss das System mindest einen Speicher enthalten, z.b. eine Kapazität. Ein System heißt stabil, wenn es auf beschränkte Eingabesignale stets mit beschränkten Ausgabesignalen reagiert. Diese Forderung kann auf verschiedene Weise ausgedrückt werden: - Die Impulsantwort (s.u.) des Systems muss absolut integrierbar sein. - BIBO = bounde- input- bounded- output 10

11 EigenschaPen von LTI- Systemen (1) LTI- Systeme transformieren sinusförmige Eingangssignale in sinusförmige Ausgangssignale mit derselben Frequenz, aber i.a. veränderter Amplitude und Phasenlage. Das Verhalten von LTI- Systemen kann durch Amplitudengang und Phasengang beschrieben werden. Amplitudengang A(ω) Bode- Diagramm für einen Tiefpass ω Phasengang ϕ(ω) ω EigenschaPen von LTI- Systemen (2) Sta2sche LTI- Systeme werden durch algebraische Gleichungen mit konstanten und reellen Koeffizienten beschrieben. u1 = x(t) u2 = y(t) R 2 y(t) = x(t) R 1 + R 2 Dynamische LTI- Systeme werden durch lineare Differen2algleichungen mit konstanten und reellen Koeffizienten beschrieben. u1 = x(t) u2 = y(t) Allgemeine Form: a 0 y(t) + a 1!y(t) + a 2!!y(t) +... = b 0 x(t) + b 1!x(t) + b 2!!x(t) +... y(t) + RC!y(t) = x(t) Elegante Lösung durch Laplace- und Fourier- Transforma2on 11

12 Vorschau: Systembeschreibung mit Laplace- und Fourier- Transforma2on Zeitunk2onen x(t), y(t) Ableitungen Bildfunk2onen X(s), Y(s) [Laplace] bzw. X(jω), Y(jω) [Fourier] Faktor s [Laplace] bzw. Faktor jω [Fourier] Mit Laplace- Transforma2on: a 0 Y(s) + a 1 sy(s) + a 2 s 2 Y(s) +... = b 0 X(s) + b 1 sx(s) + b 2 s 2 Y(s) +... H(s) = Y(s) X(s) = b 0 + b 1 s + b 2 s a 0 + a 1 s + a 2 s Übertragungsfunk2on H(s) ist vollständige Beschreibung des LTI- Systems Mit Fourier- Transforma2on: H( j!) = Y( j!) X( j!) = b + b j! + b ( j!) a 0 + a 1 j! + a 2 ( j!) LTI- Systeme werden im Bildbereich durch einen komplexwer2gen Quo2enten aus zwei Polynomen in s bzw. jω beschrieben. Beide Polynome haben reelle und konstante Koeffizienten. Systembeschreibung mit Elementarfunk2onen Rechteckimpuls mit Breite 1/T 0 und Höhe T 0 ergibt Systemantwort g 0 (t) Beliebiges Eingangssignal s(t) kann durch Rechteckimpulse angenähert werden und ergibt Superposi2on einzelner Systemantworten # s a (t) = $ s(nt 0 )s 0 (t! nt 0 )T 0 " s(t) approximierte Eingangsfunk2on n=!# g a (t) = # $ n=!# s(nt 0 )g 0 (t! nt 0 )T 0 " g(t) approximierte Ausgangsfunk2on 12

13 Faltungsintegral Grenzübergang T 0 - > 0: s 0 (t) - > δ(t) g 0 (t) - > h(t) Dirac- Impuls Impulsantwort, Stoßantwort, Gewichtsfunk2on s(t) = g(t) = $ % #$ # $ "# s(!)"(t #!)d! s(!)h(t "!)d! Eingangssignal als unendliche Reihe von Dirac- Impulsen Ausgangssignal als Faltung der Impulsantwort des Systems mit dem Eingangssignal Die Transforma2on eines Signals durch ein System kann durch die Faltung (engl. convolu2on) des Eingabesignals mit der Impulsantwort des Systems beschrieben werden. Grenzübergang für RC- Glied Wie antwortet ein RC- Glied auf einen Rechteckimpuls (Spannung) mit Breite 1/T 0 und Höhe T 0, wenn T 0 - > 0? T 0 - > 0 Systemantwort h(t) bei Eingabe von δ(t) heißt "Impulsantwort" oder "Gewichtsfunk2on" h(t) charakterisiert des Verhalten des Bauelementes 13

14 Veranschaulichung der Faltung Beispiel: Faltung eines Rechteckimpulses mit der Impulsantwort h(t) des RC- Gliedes: h(t) = 1 t/t!(t)e" mit T T = RC s(t) = a rect(t) g(t) = # $ "# s(!)h(t "!)d! Qualita2ver Verlauf des Faltungsergebnisses Faltungsalgebra s(t) h(t) g(t) Symbolische Schreibweise: g(t) = # $ "# s(!)h(t "!)d! g(t) = s(t) h(t) δ(t) ist Einselement: s(t) = s(t) δ(t) s(t) = $ % #$ s(!)"(t #!)d! "SiebeigenschaP" Ein System mit der Gewichtsfunk2on δ(t) heißt ideal verzerrungsfrei Es reproduziert das Eingangssignal exakt als Ausgangssignal. Faltung ist kommuta2v: g(t) = s(t) h(t) = h(t) s(t) Faltung ist assozia2v: [f(t) s(t)] h(t) = f(t) [s(t) h(t)] Faltung ist distribu2v: f(t) [s(t) + h(t)] = [f(t) s(t)] + [f(t) h(t)] Ableitung: d df dh (f(t)! h(t)) =! h(t) = f(t)! dt dt dt 14

15 Faltung mehrdimensionaler Funk2onen Faltungsopera2onen und ihre EigenschaPen lassen sich auf mehrere Dimensionen verallgemeinern. 2- dimensionale Faltung: # # (f! h)(x, y) = $ $ f(u, v)h(x " u, y " v) dudv "# "# Anwendung in der Bildverarbeitung: f(x, y) Intensitäten eines Grautonbildes h(x, y) Filter, z.b. h(x, y) = # 1 e 2!" 2 x2 + y2 2" 2 Faltung und Kreuzkorrela2on Kreuzkorrela2on von f(t) und h(t): " " (f! h)(x, y) = # # f(u, v)h(u! x, v! y) dudv!"!" Vergleiche mit f h: Integrand h ist bei Kreuzkorrela2on nicht gespiegelt! Ist f ein Bild und h eine Schablone, kann Kreuzkorrela2on als Schablonenvergleich gedeutet werden. Wo im Bild findet sich das in der Schablone gezeigte Zeichen? 15

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