Digitale Regelung. Vorlesung: Seminarübungen: Dozent: Professor Ferdinand Svaricek Ort: 33/2211 Zeit:Di Uhr

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1 Vorlesung: Dozent: Professor Ferdinand Svaricek Ort: 33/2211 Zeit:Di Uhr Seminarübungen: Dozent: Alexander Weber Ort: 33/1101 Zeit: Mo Uhr (Beginn: ) Vorlesungsskript:

2 Motivation Die reale Welt ist überwiegend analog und kontinuierlich. Die meisten Regler werden aber inzwischen mit Hilfe von Computern realisiert, die nur zeitdiskreteund amplitudenquantisierte Signale verarbeiten können. Einfache Realisierung komplexer Regelungs-, Steuerungs- und Überwachungsalgorithmen. Realisierung in Software anstatt Hardware ist kostengünstiger. Flexibilität (einfache Anpassung und Änderung der Algorithmen). Kürzere Entwicklungszeiten (Rapid Prototyping).

3 Einordnung Die Vorlesung befaßt sich mit den Grundlagen der Regelung zeitabgetasteter Systeme (Synonyme: zeitdiskrete Regelung oder Abtastregelung). Die digitale Regelungstechnikbefaßt sich mit der Analyse und der Synthese zeitdiskreter Regelkreise. Sowohl in modernen Kraftfahrzeugenals auch in modernen Flugzeugenwerden Steuerungen und Regelungen heutzutage überwiegend digital realisiert.

4 Steuer- und Regelungstechnik Voraussetzungen Gewichts- und Übergangsfunktion, Übertragungsfunktion, Pole und Nullstellen, Stabilität, PT 1, PT 2,8, Zustandsraummodelle,8 Grundlagen der Messtechnik Analog-/Digital-Umsetzer Fourier-Transformation Spektralanalyse Mathematik Komplexe Zahlen Laplace-Transformation Matrizenrechnung

5 Lerninhalte Diskrete Signale und Systeme Signalarten, Quantisierung, Periodische Signalabtastung, Halteglieder, Impulsfolge, Sprungfolge Beschreibung von dynamischen Systemen im Zeitbereich durch Differenzengleichungen Spektrum diskreter Signale Abtasttheorem Frequenzfaltung, Aliasing

6 Lerninhalte (2) Beschreibung von dynamischen Systemen im Frequenzbereich durch die z-transformation Vergleich mit dem s-bereich z-übertragungsfunktion Pole und Nullstellen Zeitdiskrete Zustandsraumdarstellung Stabilität zeitdiskreter Systeme w-transformation Entwurf digitaler Regler

7 Historischer Hintergrund Die Entwicklung der digitalen Signalverarbeitung und der Regelungstechnik ist eng mit der technischen Entwicklung der Digitalrechner verknüpft Hughes Aircraft Company setzt erstmals einen Digitalrechner zur Überwachung eines Autopiloten ein Louisiana Power & Light Company setzt erstmals einen Digitalrechner zur Überwachung eines Kraftwerks ein Imperial Chemical Industries (ICI) erprobt digitale Regelung (Direct Digital Control) bei der Produktion von Sodaasche Etwa 1000 Digitalrechner sind im industriellen Einsatz. Digital Equipment Corporation (DEC) bringt den Minicomputer PDP-8 (Kosten $18000) auf den Markt.

8 Einführung Abtastregelung bzw. zeitdiskretes Regelungssystem Kontinuierlicher Regelkreis Im Regelkreis sind Elemente enthalten, die Signale nur zu diskreten Zeitpunkten übertragen. Unterscheidung: Regelkreis mit Digitalrechner als Regler Analoge Signale Digitale Signale

9 Definition: Kontinuierliches analoges Signal Ein kontinuierliches analoges Signal kann jeden beliebigen Wert auf der Amplituden- bzw. Zeitachse annehmen. Beschreibung von Signalen Definition: Kontinuierliches quantisiertes Signal Ein kontinuierliches quantisiertes Signalkann jeden beliebigen Wert auf der Zeitachse, aber nur bestimmte Amplitudenwerte annehmen.

10 Quantisierung Bei der gleichförmigen Quantisierungwird der Quantisierungsbereich in 2 w gleichgroße Intervalle aufgeteilt. Hierbei ist wdie Anzahl der zur Verfügung stehenden Bits, man spricht hier auch von der Wortlänge. Beispiel: Quantisierungsbereich: 0 10 Volt Wortlänge: 3 bit Anzahl der Intervalle: 2 3 = 8 Intervallbreite: 10/8 = 1,25 Volt ,25 2,5 3,75 5 6,25 7,5 8,75

11 Beschreibung von Signalen (2) Definition: Zeitdiskretes Signal Ein zeitdiskretes Signalkann nur zu bestimmten Zeitpunkten einen beliebigen Wert auf der Amplitudenachse annehmen. Definition: Digitales Signal Ein digitales Signalkann zu bestimmten Zeitpunkten nur einen quantisierten Amplitudenwert annehmen. 6,25 5,0 3,75 2,5 1,25 t 0 t 1 t 2 t 3

12 Definition: Deterministisches Signal Ein deterministisches Signallässt sich in seinem zeitlichen Verlauf mathematisch beschreiben und ist daher exakt bestimmbar. Beschreibung von Signalen (3) Definition: Periodisches Signal Ein periodisches Signalwiederholt sich in gleichbleibenden Zeitintervallen T 0 : x(t) = x(t+ k T) 0 mit k=1,2,3,.... periodisch Signalwert Periodendauer T 0 Zeit

13 Definition: Stochastisches Signal Ein stochastisches Signalhängt in seinem zeitlichen Verlauf vom Zufall ab. Beschreibung von Signalen (4) Signalwert Zeit

14 Abtastung Ein zeitdiskretes Signalkann man aus einem kontinuierlichen Signal durch Abtastung gewinnen. y(0) y(1) y(2) y(3) Durch Abtastung des kontinuierlichen Signals y(t)zu den Zeitpunkten t 0, t 1, t 2,... erhält man das zeitdiskrete Signal oder die Abtastfolge y(t k ) = y(t). t=t k k Periodische Abtastung ADU: Analog-Digital-Umsetzer T: Vorgegebener Takt idealer Taster

15 Analog-Digital-Umsetzer In einem A/D Umsetzer wird ein kontinuierliches Signal zeitdiskretisiert und amplitudenquantisiert. Der Effekt der Amplitudenquantisierung ist bei hinreichend großer Auflösung für die Dynamik des Regelkreises vernachlässigbar. Im weiteren wird äquidistanteabtastung vorausgesetzt. Die Tastperiode Tist aber ein wesentlicher Analyse-und Syntheseparameter, der erheblichen Einfluß auf die Dynamik des Regelkreises hat.

16 Beschreibung von Systemen

17 Beschreibung von Systemen (2) Regelstrecke

18 Beschreibung von Systemen (3) Regler

19 Schreibweise diskreter Signale Durch Abtastung des kontinuierlichen Signals y(t)zu den Zeitpunkten t 1, t 2, t 3,...erhält man das zeitdiskrete Signal oder die Abtastfolge y(t k ) = y(t). t=t k k Beispiel: y(0,5), y(0,7), y(0,8),... Wird eine äquidistanteabtastung mit dem Abtastintervall Tvorgenommen, so kann man auch diese abgekürzte Schreibweise verwenden: Beispiel: y k = y(k) = y(kt) = y(t) t=kt. Für T=0,1 bedeutet dies y(3) = y(3t) = y(0,3) Die Bezeichung y k kann dabei sowohl für einen einzelnen Abtastwert als auch für eine ganze Abtastfolge stehen.

20 Elementare diskrete Signale

21 Energie- und Leistungssignale Die Energie eines diskreten bzw. kontinuierlichen Signals ist definiert zu: diskret: E X = k = x(k) 2 kontinuierlich: E x = 2 x(t) dt Energiesignale weisen eine endliche Energie auf. Beispiel: Impulsfolge mit E = 1

22 Energie- und Leistungssignale (2) Die Leistung eines diskreten bzw. kontinuierlichen Signals ist definiert zu: diskret: P = lim X n n 1 2n+ 1 + n k = n x(k) 2 kontinuierlich: T 1 P x = lim T 2T T 2 x(t) dt Leistungssignale weisen eine endliche Leistung auf. Beispiel:Sprungfolge mit 1 P= lim n n 2n Leistungssignale haben immer eine unendliche Energie! =

23 Eigenschaften diskreter Systeme Betrachtet werden lineare, zeitinvariante, kausale Systeme Beispiel: y 1 (k) + y 2 (k) = f(u 1 (k)) + f(u 2 (k)) = f(u 1 (k) + u 2 (k))

24 Eigenschaften diskreter Systeme (2) Zeitinvarianz Ein zeitdiskretes System verhält sich zeitinvariant, wenn ein zeitverschobenes Eingangssignal u(k - k 0 ) das zeitverschobene Ausgangssignal y(k - k 0 )erzeugt. 0 u(k) y(k) u(k) k Zeitinvariantes Systemverhalten y(k) k k 0 k k 0 k

25 Eigenschaften diskreter Systeme (3)

26 Eigenschaften diskreter Systeme (4) Faltungssummation t 0 g(t τ)u( τ)dτ Faltungsintegral t 0 g( υ)u(t υ)dυ

27 Eigenschaften diskreter Systeme (5) Beispiel: Ty(t) ɺ + y(t) = u(t) 1 PT 1 -System Approximation von dy(t)/dt durch den Differenzenquotienten: dy(t) dt t= kt y(kt) y((k 1)T) = T y(k) y(k 1) T T = Abtastintervall

28 Aus Eigenschaften diskreter Systeme (6) y(k) y(k 1) Ty(t) ɺ 1 + y(t) = u(t) T 1 + y(k) = u(k) T Beide Seiten mit T multiplizieren: T(y(k) 1 y(k 1)) + Ty(k) = Tu(k) (T1 + T)y(k) Ty(k 1 1) = Tu(k) Auflösen nach y(k): 1 y(k) = (T1 y(k 1) + Tu(k)) T + T 1 T T y(k 1) u(k) T + T T + T 1 = = a y(k 1) + bu( k) 1 0

29 Eigenschaften diskreter Systeme (7) Differenzengleichung eines zeitdiskreten Systems Differenzengleichungen stellen einen Rekursionsalgorithmus dar, der mit einem Digitalrechner schrittweise gelöst werden kann.

30 Eigenschaften diskreter Systeme (8) % Sprungantwort für die Differenzengleichung 1. Ordnung % y(k) = -a1* y(k-1) + b0 * u(k) % als Approximation der DGL % T1 * dy(t)/dt + y(t) = u(t) % T1 = 1; T = 0.1; a1 = -T1/(T1+T) b0 = T/(T1+T) % uk = 1; % % Anfangsbedingung y(0) = 0 % y0 = 0; % % Berechnung der Ausgangsfolge für k = 1,2,3,4.. % y(1) = -a1* y0 + b0 *uk; for i=2:100 y(i) = -a1* y(i-1) + b0 * uk; end % % Graphische Darstellung der Ausgangsfolge T % 1 stem(y(1:50)) xlabel('k') ylabel('y(k)') title(['zeitkonstante T1 = ', num2str(t1),' Abtastintervall T = ' num2str(t)])

31 Ty(t) + y(t) = u(t) ɺ 1 Eigenschaften diskreter Systeme (9) T ɺ 1 T y(k) = y(k 1) + u(k) T + T T + T Zeitkonstante T1 = 1 Abtastintervall T = Zeitkonstante T1 = 1 Abtastintervall T = y(t), y(k) y(t), y(k) Time (sec) Time (sec)

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