1 Einführung. 1.1 Analog - Digital Unterscheidung

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1 1 Einführung Was ist eigentlich Digitaltechnik? Wird der Begriff Digitaltechnik getrennt, so ergeben sich die Worte DIGITAL und TECHNIK. Digital kommt von digitus (lat. der Finger) und deutet darauf hin, dass nur eine endliche und abzählbare Anzahl von unterscheidbaren Elementen existiert. Weiterhin definiert der Brockhaus den Begriff Technik: "Die Technik ist dabei Hilfsmittel und Maßnahmen, mit deren Hilfe sich der Mensch mit Kenntnis der Naturgesetzlichkeit die Natur umgestaltet und in seine Dienste stellt". Von Technik wird also dann gesprochen, wenn Hilfsmittel eingesetzt oder Maßnahmen angewendet werden, um ein bestimmtes Ziel zu erreichen. So werden in unserer analogen Welt heutzutage viele Verarbeitungen digital durchgeführt. Unterstützt wird diese digitale Verarbeitung durch den rasanten Aufstieg der Computertechnik vom Beginn der vierziger Jahre bis heute. Soll die Verarbeitung digital durchgeführt werden, sind die analogen Signale in eine rechnerverständliche digitale Form mit nur einer endlichen Anzahl von Werten zu konvertieren. Der Konvertierungsvorgang von einem analogen zum rechnerverständlichen digitalen Signal wird hier insoweit nur behandelt, wie es zum Verständnis der Repräsentation eines analogen Signals in digitaler Form notwendig ist. Weiterhin werden Elemente benötigt, die die aus dem Konvertierungsvorgang resultierenden digitalen Werte verarbeiten können. Das sind Digitalrechner, die aus digital arbeitenden Grundbausteinen, den Logikelementen, aufgebaut sind. Durch das Zusammenspiel von Logikelementen ergibt sich das digitale Rechnersystem, das in geschickter Art und Weise über seine Logikelemente die digitalen Signale zum gewünschten Ergebnis verknüpft. Dazu beschreibt und behandelt die Digitaltechnik die Methoden und Verfahren der digitalen Verarbeitung von Signalen über Logikelemente. 1.1 Analog - Digital Unterscheidung Analog bedeutet, dass eine nichtabzählbare Menge unterschiedlicher Werte existiert. Eine Größe aus dieser Menge ist kontinuierlich, da sie jeden Wert aus dieser Menge annehmen kann. Der Begriff analog stammt aus dem griechischen und bedeutet aber auch gleichartig, ähnlich. Größen, deren Werte nicht direkt zugänglich sind, können so analog zu einer anderen Größe dargestellt werden.

2 2 1 Einführung Analoge Darstellung Es soll eine elektrische Spannung betrachtet werden. Deren Größe kann analog zu einem Winkelausschlag eines Zeigers von einem Messgerät angezeigt werden. Analog zu einer Änderung der elektrischen Spannung wird sich dann auch der Winkelausschlag des Zeigers verändern. Da innerhalb des Messbereichs der Zeiger (in Abhängigkeit von der elektrischen Spannung) jeden beliebigen Winkel " annehmen kann, ist die Zeigerstellung und damit der Winkel und somit auch die diesen Winkel verursachende elektrische Spannung kontinuierlich (Abb. 1.1). 7 8 # # = = J B K J J J I K J 9 A H Abbildung 1.1 Spannungsmessung: Analogie der elektrischen Spannungsmessung zu einem Winkelausschlag " eines Zeigers Jetzt sollen zwei Zahlen 'analog' miteinander multipliziert werden. Dazu werden die Zahlen als ihre Logarithmen in Längeneinheiten auf einem festen Teil und einem beweglichen Schieber abgebildet (Rechenschieber, Abb.1.2). Durch Logarithmieren geht die Multiplikation in eine Addition ihrer Logarithmen über. Ein Produkt kann durch Addition von Längen gebildet werden. Abbildung 1.2 Multiplikation: Analogie durch Addition von Längen über einen Rechenschieber Bei der Produktbildung, z.b. das Produkt 9, wird der bewegliche Teil des Rechenschiebers (heller dargestellt) mit der 1 über den ersten Faktor (8) positioniert. Das Ergebnis der Multiplikation wird auf dem festen Teil (dunkler dargestellt) unter der Zahl des zweiten Faktors (9) abgelesen. In diesem Beispiel ist die Markierung 7 2, die durch das kleine schwarze Dreieck gekennzeichnet ist. Gleich-

3 1.1 Analog-Digital Unterscheidung 3 zeitig können auch alle Ergebnisse des Produktes x, x 0 ú abgelesen werden. Der bewegliche Teil des Rechenschiebers kann innerhalb der Längeneinheit jede Position einnehmen. Dies bewirkt, dass die Positionen, denen die Zahlen als Längen analog zu ihrem Logarithmus zugeordnet sind, kontinuierlich sind Digitale Darstellung Der analogen Darstellung steht die digitale Darstellung gegenüber. Hier existiert nur eine endliche Anzahl unterscheidbarer Werte. Daher muss zuvor eine Konvertierung der analogen Größe in die endliche Anzahl unterscheidbarer Werte der digitalen Größe erfolgen. Im Beispiel der elektrischen Spannung wird ihr möglicher Wertebereich in eine endliche Anzahl nicht überlappender Teilbereiche unterteilt (Abb. 1.3). Jedem dieser Teilbereiche wird ein Wert aus einer endlichen Anzahl von Werten zugewiesen. Dieser Wert stellt die digitale Größe, die der anlogen Spannung zugeordnet ist, E C E J = A H 9 A H J A > A H A E? D E? D A ) = D K J A H I? D A > = H A H 9 A H J A $ # 8 6 A E > A H A E? D = = C A H 9 A H J A > A H A E? D K J 9 A H = = E C E J = Abbildung 1.3 Digitale Darstellung analoger Größen am Beispiel einer elektrischen Spannung Hier wird deutlich, dass obwohl die Ablesegenauigkeit besser ist als bei analog anzeigenden Geräten, das angezeigte Ergebnis allgemein ungenauer den analogen Wert repräsentiert. Die Ursache liegt in der Abbildung aller Werte eines Teilbereiches auf einen Wert aus der endlichen Anzahl von möglichen Werten. Das digitale Gegenstück zum Rechenschieber ist der Taschenrechner. Ein Taschenrechner hat nur eine endliche Anzahl von Stellen zur Darstellung einer Zahl innerhalb seines endlichen Wertebereiches. Bereits die Division zweier ganzer Zahlen kann zu einem Ergebnis mit unendlich vielen Nachkommastellen führen und überschreitet damit sowohl den Anzeigebereich als auch die rechnerinterne Zahlendarstellung des Taschenrechners bzw. des Digitalrechners. Das zeigt bereits die einfache Division 10 durch 3 mit dem Ergebnis 3,3 1. Das Ergebnis weist eine unendliche Anzahl von Nachkommastellen auf. 1 0,3 bedeutet periodisch, also 0,

4 4 1 Einführung Fatal kann die Weiterverwendung des fehlerhaften Ergebnisses durch eine Fehlerfortpflanzung werden. Wenn die 'analogen' Rechenoperationen nach Gl. 1.1 exakt ausgeführt werden, führen sie auf das Ergebnis ' 3,3 ; 3 ' 10 (1.1) In digital durchgeführten Rechenoperationen folgt das fehlerbehaftete Ergebnis nach Gl. 1.2 als 10 3 ' 3, ; 3 ' 9, (1.2) Wie groß der Fehler letztlich ist, hängt von den im Rechner verwendeten Stellen zur Darstellung der Zahlen und den verwendeten Stellen zur Durchführung der Rechenoperationen ab. In dem Beispiel in Gl. 1.2 sind 8 Stellen nach dem Komma berücksichtigt worden. Falls dieses Beispiel mit einem Taschenrechner nachvollzogen wird und zum Ergebnis 10 führt, wird zumindest für die Anzeige eine Rundung verwendet. Wird von dem erhaltenen Ergebnis als nächste Rechenoperation 10 subtrahiert und ergibt sich als Fehler gleich 0, dann finden auch in der internen digitalen Verarbeitung Rundungsoperationen statt Prinzip der Analog-Digital-Wandlung Um aus analogen Werten digitale Werte zu erzeugen, ist eine Analog-Digital- Wandlung notwendig. Das Prinzip einer Analog-Digital-Wandlung ist in der Abb. 1.4 angegeben. Jedem kontinuierlichem Wert X innerhalb eines Teilbereiches wird der gleiche Wert aus einer endlichen Anzahl K unterscheidbarer Werte Y k, k = 1,2,..., K zugewiesen. Der Teilbereich, dem der Rekonstruktionswert Y k zugeordnet ist, wird als Entscheidungsintervall I k, k = 1,2,..., K bezeichnet. Die Rekonstruktionswerte Y k werden als digitale Größen in einer codierten Form als Datenwörter dargestellt. Sie bilden damit die Codewörter, die den analogen Werten X innerhalb der Teilbereiche zugewiesen worden sind.

5 1.2 Begriffsdefinitionen E C E J = A I 9 H J; 4 A I J H K J E ; I M A H J N = N = = C A I 5 E C = : J A E E A N - J I? D A K C = I N E J A H L = 1 : 9 A B A D A H : 3 ; : E C E J = A I 5 E C = ; : ),,,, * 5 O > A E A I ) = C, E C E J = 9 A H I E J * * E J Abbildung 1.4 Kennlinie eines Analog-Digital-Wandlers und Schaltsymbol Die Differenz zu den analogen Werten X und ihren Rekonstruktionswerten Y k ist der Wandelfehler Q k, der auch als Quantisierungsfehler bezeichnet wird. Er ist in den Entscheidungsintervallen I k definiert als Q k ' X & Y k X 0 I k. ; k ' 1,2,..., K. (1.3) Die Größe der Wandelfehler Q k in den Entscheidungsintervallen I k ist abhängig von der Kennlinie des Analog-Digital-Wandlers und kann nicht rückgängig gemacht werden. Bei einem linearen Quantisierer mit B-Bit und den Entscheidungsintervallen ) X ' ) ' 2x max 2 B (1.4) mit den Rekonstruktionswertintervallen ) = y k+1 - y k wird die Leistung F Q 2 des Wandelfehlers bei optimaler Aussteuerung zu F 2 Q ' 1 12 )2. (1.5) 1.2 Begriffsdefinitionen In der DIN und der DIN finden sich die Begriffe und die Definitionen, die auch hier angewendet werden. Dazu gehören zunächst das digitale Signal und der Zeichenvorrat, die für die Elektrotechnik wichtige digitale elektrische Größe und das Binärzeichen sowie weitere notwendige Definitionen.

6 6 1 Einführung Digitales Signal Signal, dessen Signalparameter eine Nachricht oder Daten darstellt, die nur aus Zeichen besteht bzw. bestehen. Zeichen Ein Element aus einer zur Darstellung von Informationen vereinbarten endlichen Menge von verschiedenen Elementen. Die Menge heißt Zeichenvorrat. Digitale elektrische Größe Eine elektrische Größe (Spannung, Strom, Impedanz) mit einer endlichen Anzahl nicht überlappender Wertebereiche. Binärzeichen Jedes Zeichen aus einem Zeichenvorrat von zwei Zeichen. Das Zeichen wird als Bit bezeichnet. Binäre elektrische Größe Digitale elektrische Größe mit genau nur zwei möglichen Wertebereichen, oft als L (LOW)-Bereich und H (HIGH)-Bereich bezeichnet. LOW-Bereich Derjenige von den beiden Wertebereichen (Pegelbereich) einer binären elektrischen Größe, der näher bei minus unendlich liegt. HIGH-Bereich Derjenige von den beiden Wertebereichen (Pegelbereich) einer binären elektrischen Größe, der näher bei plus unendlich liegt. 1.3 Binäre Darstellung Zur binären Darstellung eines digitalen Signals werden Zeichen verwendet, die aus einem Zeichenvorrat stammen, der nur zwei unterschiedliche Zeichen beinhaltet. Beispiele solcher Zeichenvorräte sind in Tab. 1.1 angegeben. Tabelle 1.1 Binäre Zeichenvorräte Zeichen Zeichenvorräte 0 L LOW false aus kein Strom 1 H HIGH true ein Strom Jedes dieser Zeichen heißt Binärzeichen. Ein solches Zeichen läßt sich über ein Bit (binary digit), die kleinste unterscheidbare Nachrichtenmenge darstellen. Je nach der Zielsetzung in der Behandlung des digitalen Systems oder nach dem Abstraktionsgrad werden die Zeichen aus einem Zeichenvorrat eingesetzt.

7 1.4 Zahlensysteme 7 Bei der logischen Verknüpfung von Signalen werden überwiegend in der funktionalen Beschreibung Y = f (A,B) zur binären Darstellung der Signale die (logische) 0 und 1 angewendet (Abb. 1.5 links). Die Zeichen LOW und HIGH für die Zuordnung von binären Größen zu einer elektrischen Größe sind eher in der technischen Realisierung einer Logikfunktion zu finden (Abb. 1.5 rechts). C E > A I? D H A E > K C = I. K J E ; B ) * C E > A I? D H A E > K C = I J A? D E I? D A 4 A = E I E A H K ) * C E ; ) 9 * 0 1 / 0 4 ; 9 Abbildung 1.5 Bevorzugte Anwendungsbereiche von Binärzeichen 1.4 Zahlensysteme Das dezimale Zahlensystem (Dezimalsystem) ist mit seinen zehn Zeichen (0... 9) in einer Anwendung in digitalen Systemen, die nur zwei Zeichen kennen, nicht geeignet. In Digital- bzw. Rechneranwendungen werden Zahlensysteme bevorzugt, deren Basis B eine Potenz von 2 ist. Diese Zahlensysteme werden als Dualsystem, Oktalsystem und Hexadezimalsystem bezeichnet. Im Dualsystem mit der Basis B = 2 stammen die Zeichen aus dem Zeichenvorrat Z 0 {0,1}. Das Oktalsystem mit der Basis B = 8 benutzt die Zeichen des Zeichenvorrates Z 0 {0,1,..., 7}. Im Hexadezimalsystem mit der Basis B = 16 reichen die einstelligen Zeichen des Dezimalsystems nicht aus, um die 16 möglichen Zeichen darzustellen. So wird der Zeichenvorrat des Dezimalsystems Z 0 {0,1,..., 9} um die ersten 6 Zeichen des Alphabetes A,..., F erweitert und ergibt dann den Zeichenvorrat Z 0 {0,1,..., 9, A,B,..., F} des Hexadezimalsystems. In der Tab. 1.2 sind die Zahlen des Dezimalsystems den in das jeweilige Zahlensystem konvertierten Zahlen gegenübergestellt.

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