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1 Zahlensysteme Seite -- Zahlensysteme Inhaltsverzeichnis Dezimalsystem... Binärsystem... Umrechnen Bin Dez...2 Umrechnung Dez Bin...2 Rechnen im Binärsystem Addition...3 Die negativen ganzen Zahlen im Binärsystem...4 Rechnen im Binärsystem - Subtraktion...4 Hexadezimalsystem...5 Umrechnung Hex Dez...5 Umrechnung Dez Hex...6 Umrechnung Bin Hex Bin...6 Dieses Dokument wird unter folgender creative commons veröffentlicht: Dezimalsystem Basis: Stellen:,,2,3,4,5,6,7,8,9 Jede Dezimalzahl kann wie folgt zerlegt, dargestellt werden 3268 dez = (die Basis ist gut zu erkennen) 2,46 dez = Binärsystem Basis: 2 Stellen:, In der Technik ist das Dezimalsystem unbrauchbar. In den meisten Fällen gibt es nur 2 unterscheidbare Zustände: Stromleitung Strom Ja / Nein; Schalter Ein / Aus; Lichtwellenleiter Licht Ein / Aus; u.s.w. Jeder Computer, Microcontroller arbeitet mit dem Binärsystem, das nur 2 Zustände kennt (,)

2 Zahlensysteme Seite -2- bin = , bin = Man nennt in diesem Zusammenhang binäre Zahl = Bit 4 binäre Zahlen = Nibble 8 binäre Zahlen = Byte Eine Gruppierung des Binärcodes in Nibbles erleichtert das Lesen und das spätere Arbeiten mit Hexadezimalzahlen. Umrechnen Bin Dez Durch die Zerlegung in obige Schreibweise bereits geklärt. Die er kann man gleich weglassen bin = =682=27 dez bin = = =236 dez Eine Kenntnis des Binärsystems bis 2 ein (stillschweigende) Voraussetzung ist dabei recht hilfreich, und beim Programmieren sowieso Umrechnung Dez Bin Entweder wird obige Tabelle verwendet, und die Zahl zusammen gestückelt 67 dez =642= = bin Oder man verwendet folgendes System

3 Zahlensysteme Seite -3- Rest 67:2=33 33:2=6 6:2=8 8:2=4 4:2=2 2:2= :2= 67 dez = bin Leserichtung In der Praxis schreibt man Leserichtung Zahlen x Multiplikation mal 2 die Einerstelle ist die gesuchte Binärstelle falls das Produkt größer als ist, wird subtrahiert.,375 2=,75,75 2=,5 =,5,5 2=, = Leserichtung,375 dez =, bin Rechnen im Binärsystem Addition Für die Addition im Binärsystem verwendet man grundsätzlich dieselbe Prozedur wie im Dezimalsystem.

4 Zahlensysteme Seite -4- Dezimalsystem Übertrag Ergebnis Binärsystem + Übertrag Ergebnis Die negativen ganzen Zahlen im Binärsystem Man verwendet zur Darstellung der negativen Zahlen sogenannte Flags ( Vorzeichenbits). So wird also z.b. bei einer 8-bit Zahl das erste Bit für positive Zahlen auf gesetzt, für negative Zahlen auf Der Zahlenbereich für eine 8-bit Binärzahl wird also von..255 auf verändert. Im allgemeinen kann man also mit n Bits Zahlen von 2 n bis 2 n darstellen. Rechnen im Binärsystem - Subtraktion Für die Subtraktion gibt es mehrere Möglichkeiten. Man kann genau wie im Dezimalsystem die Zahlen untereinander schreiben und mit Übertrag von einander abziehen: 7 4 = Übertrag 3 Die weitaus wichtigere Methode stellt die Addition der Zweierkomplemente dar. Dabei invertiert man den Subtrahenden und addiert dann die inverse Zahl. Um das Zweierkomplement bilden zu können, benötigt man zuerst das Einerkomplement. Das wird einfach gebildet, indem man jedes Bit invertiert, dh. jede zu macht und umgekehrt: 4 Einerkomplement von 4

5 Zahlensysteme Seite -5- Nachteil des Einerkomplements ist, dass für die Null zwei Darstellungen existieren: und sind identisch. 4-4 Übertrag Man kann also jetzt nicht mehr davon ausgehen, dass zwei Zahlen genau dann gleich sind, wenn ihre Binärcodes übereinstimmen. Diesen Fehler behebt man mit dem Zweierkomplement. Dabei wird zum Einerkomplement + addiert. Einerkomplement von 4 Zweierkomplement von 4 Das Zweierkomplement stellt jetzt eine eindeutige Darstellung einer negativen Zahl dar. Der Vorteil für die Recheneinheit besteht nun vor allem darin, dass man nicht zwischen positiven und negativen Zahlen unterscheiden muss, sondern einfach nur bitweise addiert und so zum gewünschten Ergebnis kommt. Zurück zum Ausgangsbeispiel: 7 4 = 3 7 Zweierkomplement von 4 Übertrag Ergebnis Der 9. Stelle, die in diesem Falle mit belegt wäre, wird keinerlei Beachtung geschenkt und somit erhält man das richtige Ergebnis. Hexadezimalsystem Basis: 6 Stellen:,,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F Da Binärzahlen leicht recht groß werden, verwendet man gerne das Hexadezimalsystem, das recht eng mit dem Binärsystem verbunden ist.

6 Zahlensysteme Seite -6- Umrechnung Hex Dez AF4 hex = A 6 3 F = =44865 dez Umrechnung Dez Hex Rest 998:6=24 4 = E 24:6=7 2 = C 7:6= 7 Leserichtung 998 dez =7CE hex Zahlen x Multiplikation mal 6 die Einerstelle ist die gesuchte Hex-Stelle falls das Produkt größer als ist, wird die Einerstelle subtrahiert,575 6=9,2 9=,2 9,2 6=3,2 3=,2 3,2 6=3,2 3=,2 3 Leserichtung,575 dez =,93 3 hex (periodisch) Umrechnung Bin Hex Bin Je ein Nibble entspricht einer Hex-Zahl =B 6 A2F5 hex = 5 A 5=F =B65F hex 2 F 5

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