Zahlensysteme: Oktal- und Hexadezimalsystem

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2 20 Brückenkurs Die gebräuchlichste Bitfolge umfasst 8 Bits, sie deckt also 2 8 =256 Möglichkeiten ab, und wird ein Byte genannt. Zwei Bytes, also 16 Bits, bilden ein Wort, und 4 Bytes, also 32 Bits, formen ein Doppelwort. Zahlensysteme: Oktal- und Hexadezimalsystem Wenn eine Bitfolge in 4-er-Paketen zusammengefasst wird, dann ergibt sich der Übergang zum Hexadezimalsystem, denn die 4 Bits entsprechen 16 Kombinationen und können durch entsprechende Hexziffern (0, 1, 9, A, B, C, D, E, F) dargestellt werden. Zum Beispiel sei die folgende Bitfolge gegeben: Als 4er-Pakete zusammengefasst, führt dies zu: , diese können wiederum als Hexziffern aufgefasst werden: AB6 16 (zur besseren Unterscheidung vom Zehnersystem wird üblicherweise die Basis als Index hinzugefügt). Die Besonderheit bei den Hexziffern ist, dass die Ziffern, die größer als 9 sind, d. h , durch die entsprechenden fortlaufenden Buchstaben (A F) repräsentiert werden. Analog lassen sich die Oktalzahlen darstellen in diesem Fall wird die Bitfolge zu 3er-Paketen zusammengefasst, die dann als Oktalziffern interpretiert werden können. Im oberen Beispiel wären das die Pakete mit der Oktalzahl Daten, Datei Der Begriff Daten umfasst so unterschiedliche Kategorien wie

3 Informatik 21 Programmcode, Text, Zahlen, Bilder, Musik oder Videos. Daten werden in der Regel nicht vereinzelt abgelegt, sondern als Blöcke einer gemeinsamen Kategorie, z. B. Text oder Grafik, gespeichert und verarbeitet. Diese Datenblöcke nennt man auch Dateien, sie unterscheiden sich in der Typ kennung, die zum Dateinamen hinzugefügt wird, so dass das Betriebssys tem automatisch erkennen kann, um welchen Datentyp es sich handelt und welches Programm damit umgehen kann. Interne Darstellung von Text, Bild und Zahlen Im Folgenden wird untersucht, wie die vier großen Datenkategorien: Text, Bild, Audio und Zahlen intern im Rechner dargestellt werden, wobei von den konkreten technischen Details abstrahiert wird. Text, Zeichen Ein Text kann als eine Abfolge von Zeichen (Buchstaben, Ziffern und Sonderzeichen) aufgefasst werden. Jedes Zeichen kann wiederum mittels eines Zeichensatzes oder Codes in eine Zahl umgewandelt und so auf eine Bitfolge abgebildet werden. Das Leerzeichen hat z. B. in Unicode den Zahlenwert 32. Unicode ist der wichtigste universelle Zeichensatz, der auch Zeichen und Symbole aus Alphabeten zahlreicher Sprachen abdeckt (im Gegensatz zum ASCII-Code).

4 22 Brückenkurs Ausführbare Programme (sog. Executables) Ausführbare Programme sind Zeichendateien, die im Gegensatz zu Texten nicht vom Menschen gelesen werden können. Sie enthalten Anweisungen in Maschinensprache oder einem Zwischencode, der von einem Rechner interpretiert werden kann. Bild / Video In einem ersten Ansatz wird jeder Punkt einer Grafik einzeln abgespeichert, wobei die zugehörige Farbinformation des Punktes in einem oder mehreren Bytes abgelegt wird. Der daraus resultierende Speicherumfang hängt also von der Auflösung, d. h. der Anzahl der Bildpunkte, multipliziert mit der Länge der Farbinformation zusammen. Dieses direkte Abbild der Grafik im Speicher wird auch als Bitmap bezeichnet. Moderne Grafikformate verwenden aber Komprimierungsverfahren, so dass mehrere Punkte, die dieselbe Farbe haben, gemeinsam abgespeichert werden, was zu einer Reduzierung des Speicherumfangs führt. Analog können bei Videos auch nur die Unterschiede von einem Bild zum anderen gespeichert werden. Audio Audio-Informationen werden in einzelne Teile ( Samples ) zerlegt, die dann in mehreren Bytes abgelegt werden. Wie bei Bildern hängt der Speicherumfang vom Umfang der Samples und der Menge der Samples über die Zeit ab. Komprimierungsverfahren (wie z. B. mp3) optimieren den Speicherbedarf, indem für den Menschen nicht oder kaum hörbare Teile herausgefiltert werden.

5 Informatik 23 Zahlen Die Verarbeitung von Zahlen, gehört neben der Verwaltung von Texten oder Bildern, zu den primären Aufgaben eines Computers. Natürliche Zahlen Die Menge der natürlichen Zahlen, d. h. der positiven ganzen Zahlen, lässt sich relativ leicht auf das binäre Format abbilden, da sich jede natürliche Zahl k in eine binäre Zahl umwandeln lässt, in dem die Koeffizienten (a n, a n 1,, a 1, a 0 ) der entsprechenden Zweierpotenzen verwendet werden, wobei die Koeffizienten nur den Wert 0 oder 1 haben dürfen: k = a n *2 n + a n 1 *2 n a 1 *2 1 + a 0 *2 0 Binärzahl ist: a n a n 1 a 1 a 0 Soll zum Beispiel die 6 in eine Binärzahl umgewandelt werden, dann entspricht diese den folgenden Koeffizienten von Zweierpotenzen: 1*2 2 +1*2 1 +0*2 0, so dass daraus die Binärzahl resultiert. Analog kann man jede natürliche Zahl auch in Hexadezimalzahlen umwandeln, wobei es sich dann um Koeffizienten der entsprechenden Sechszehnerpotenzen handelt: k = c n *16 n + c n 1 *16 n c 1 * c 0 *16 0 Hexadezimalzahl ist: c n c n-1 c 1 c 0 Diese Umwandlung wird dabei prinzipiell nur durch die verfügbare Länge an Bits begrenzt. Dies bedeutet, dass z. B. bei einer maximalen Länge einer Bitfolge von 32, nur 2 32 Zahlen dargestellt werden können, von denen die größte und die kleinste 0 ist. Die Umwandlung von Dezimalzahlen in Binär- und Hexadezimal-

6 24 Brückenkurs dezimalzahlen kann durch das Divisions- oder Subtraktionsverfahren berechnet werden. Wenn eine Zahl erst einmal als Binärzahl vorliegt, dann kann diese ganz einfach in eine Hexadezimalzahl umgewandelt werden, in dem die Binärziffern zu 4er-Paketen zusammengefasst werden. Umgekehrt können Hexadezimalzahlen einfach in Binärzahlen umgewandelt werden, indem jede Ziffer der Hexadezimalzahl direkt durch die entsprechende Binärzahl ersetzt wird. Die Umwandlung von Binär- und Hexadezimalzahlen in Dezimalzahlen ist dadurch möglich, dass die Koeffizienten mit den entsprechenden Zweier- oder Sechszehnerpotenzen multipliziert und dann aufsummiert werden müssen. Analog lassen sich die Oktalzahlen auf der Basis 8 erstellen. Negative Zahlen Die Addition und Multiplikation von Binärzahlen erfolgt analog zu den Operationen auf Dezimalzahlen und wird auch so im Prozessor umgesetzt. Grundsätzlich ist eine Übertragung der Subtraktion ebenfalls möglich, allerdings würde dies zusätz liche Hardware verlangen. Aus diesem Grund wurden negative Zahlen eingeführt. Negative Zahlen haben den Vorteil, dass sie mit der bestehenden Additionslogik erzeugt und verwendet werden können. Negative Zahlen werden im Rechner üblicherweise als Zweierkomplement dargestellt: Das Zweierkomplement muss mit einer festen Stellenzahl berechnet werden. Nicht benötigte Stellen werden dabei von links mit 0 aufgefüllt. Das linke Bit wird dabei als Vorzeichen