Einführung in die Programmierung

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1 Technische Universität Carolo Wilhelmina zu Brauschweig Institut für rechnergestützte Modellierung im Bauingenierwesen Prof. Dr.-Ing. habil. Manfred Krafczyk Pockelsstraße 3, Braunschweig Einführung in die Programmierung Unterlagen zur Hörsaalübung 1 Binär- und Hexadezimalsystem 1.1. Dezimalsystem Die Basis des Dezimalsystems ist 10. Im Dezimalsystem werden die Ziffern 0 bis 9 verwendet. Beispiel: Dezimalzahl d Tab. 1.1 Dezimalsystem Binärsystem Die Basis des Binärsystems ist 2. Das Binärsystem verwendet lediglich die Ziffern 0 und 1. Eine einzelne Binärziffer wird auch als Bit bezeichnet. Eine 8 stellige Folge von Bits wird als Byte bezeichnet. Ein Byte ist die kleinste adressierbare Einheit im Speicher eines Computers. Wir betrachten daher eine 8 stellige Binärzahl im Detail. Beispiel: Binärzahl b Tab. 1.2 Binärsystem Einführung in die Programmierung Stand: Seite 1 von 5

2 Gegeben ist die Zahl b im binären Zahlensystem. Die Zahl soll ins Dezimalsystem überführt werden. Die Umrechnung kann analog zum Dezimalsystem mit Hilfe von Tab. 1.2 erfolgen Eine weitere Umrechnungsmöglichkeit wird im Abschnitt vorgestellt Hexadezimalsystem Die Basis des Hexadezimalsystems ist 16. Das Hexadezimalsystem verwendet die Ziffern 0 bis 9 sowie als sechs zusätzliche Ziffern die Buchstaben A bis F. Hex A B C D E F Dez Tab. 1.3 Ziffern des Hexadezimalsystems Ein Byte im Binärsystem lässt sich auch als zweistellige Hexadezimalzahl darstellen. Wir betrachten daher die folgende Hexadezimalzahl: Beispiel: Hexadezimalzahl AD h 16 1 A D Tab. 1.4 Hexadezimalsystem Gegeben ist die Zahl AD h im hexadezimalen Zahlensystem. Die Zahl soll ins Dezimalsystem überführt werden. Die Umrechnung kann analog zum Dezimalsystem mit Hilfe von Tab. 1.4 erfolgen Umrechnung: dezimal binär hexadezimal Gegeben ist die 173 d im Dezimalsystem. Diese soll zunächst ins Binärsystem überführt werden. Dazu kann wiederum Tab. 1.2 verwendet werden. Wir wissen, dass wir mit einer achtstelligen Binärzahl die Dezimalzahlen von darstellen können. Da die Zahl 173 d außerdem größer ist als 127, können wir bereits die Aussage treffen, dass wir 8 Binärstellen zur Beschreibung der Zahl benötigen werden. Zunächst berechnen wir die 8 Stellen der Binärzahl indem wir 173 d durch 128 (2 ) teilen: , 45 Einführung in die Programmierung Stand: Seite 2 von 5

3 Die achte Stelle unserer gesuchten Binärzahl ist also 1. Wir fahren fort mit der Berechnung der siebten Stelle. Dazu teilen wir den Rest der vorherigen Rechnung (45 d ) durch 64 (2 ): , 45 Das Ergebnis ist null. D.h. die siebte Stelle unsrer gesuchten Binärzahl ist 0. Wir fahren analog mit der Berechnung der Stellen sechs bis eins fort: Die gesuchte Binärzahl ist also b. 45 1, , , , , , 0 Eine weitere Umrechnungsmöglichkeit wird im Abschnitt vorgestellt. Die Binärzahl soll jetzt zusätzlich in hexadezimaler Schreibweise dargestellt werden. Wir unterteilen die achtstellige Zahl daher in zwei vierer Paare, so genannte Nibbles. D.h. wir betrachten die ersten vier Stellen und zweiten vier Stellen getrennt voneinander und rechnen sie ins Dezimalsystem um. Anschließend stellen wir die einzelnen Stellen im Hexadezimalsystem dar und führen sie zu einer zweistelligen Hexadezimalzahl zusammen b 1010 b 1101 b 1010 b = 1*8+0*4+1*2+0 =10 d =A h 1101 b = 1*8+1*4+0*2+1 =13 d =D h =AD h Abb. 1.1 Berechnungsschema: binär hexadezimal Einführung in die Programmierung Stand: Seite 3 von 5

4 1.5. Binäre Addition Die zwei binären Zahlen b und b sollen binär addiert werden. Die schriftliche binäre Addition verläuft analog zu der schriftlichen Addition im Dezimalsystem b b b Abb. 1.2 Binäre Addition Die Addition wird mit der ersten Stelle der Binärzahlen begonnen. Die erste Stelle beider Zahlen ist jeweils 0 b, so dass das Ergebnis ebenfalls 0 b ist. Die Addition der beiden zweiten Stellen (1 b und 1 b ) ergibt 2 d. Die Ziffer 2 ist im Binärsystem nicht vorhanden. Stattdessen wird 2 d im Binärsystem als 10 b dargestellt. Wir notieren wir uns für 10 b also einen Übertrag auf die folgende dritte Stelle und schreiben an die zweite Stelle im Ergebnis eine 0 b. Anschließend wird mit der Addition der dritten Stelle weiter verfahren. Das Ergebnis samt Übertrag aus der vorherigen Stelle ist 3 d. Eine 3 d wird im Binärsystem dargestellt als 11 b. Wir notieren folglich wieder einen Übertrag auf die nächst höhere Stelle und schreiben die verbleibende 1 b in die dritte Stelle des Ergebnisses. Für die restlichen Stellen wird analog verfahren Alternative Umrechnungsschemata Neben den oben vorgestellten Möglichkeiten zur Umrechnung zwischen den Zahlensystemen gibt es weitere Schemata, die die Umrechnung erleichtern Umrechnung: binär dezimal Die binäre Zahl b soll ins Dezimalsystem überführt werden. Wir verwenden dazu ein vereinfachendes Umrechnungsschema = 1 x = = = = = = = 173 d b Abb. 1.3 Berechnungsschema: binär dezimal Einführung in die Programmierung Stand: Seite 4 von 5

5 Wir beginnen mit 0 und addieren dazu die erste Ziffer der Binärzahl (1). Das Ergebnis (1) notieren wir. Das Ergebnis der ersten Berechnung (1) multiplizieren wir mit zwei. Zu diesem Ergebnis (2) addieren wir die zweite Ziffer der Binärzahl (0) und notieren wiederum das Ergebnis (2). Dieses Ergebnis multiplizieren wir anschließend wieder mit zwei und verfahren nach gleichem Schema bis wir bei der letzten Ziffer der Binärzahl angelangt sind. Am Ende erhalten wir das dezimale Ergebnis (173) Umrechnung: dezimal binär Anleitung: Die Dezimalzahl 173 d soll ins Binärsystem überführt werden. Wir verwenden dazu ein vereinfachendes Umrechnungsschema: Die Dezimalzahl 173 kann zerlegt werden in 2 x Die 86 wiederum lässt sich zerlegen in 2 x etc. Das Schema wird so lange wiederholt, bis null erreicht wird. Anschließend lässt sich die Binärzahl an den zu addierenden Nullen und Einsen ablesen. Man beachte dabei die Leserichtung. = 86 2x + 1 x x x x x x x d = b Leserichtung Abb. 1.4 Berechnungsschema: dezimal binär Einführung in die Programmierung Stand: Seite 5 von 5

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