Vorlesung Programmieren. Agenda. Dezimalsystem. Zahlendarstellung. Zahlendarstellung. Oder: wie rechnen Computer?

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1 Vorlesung Programmieren Zahlendarstellung Prof. Dr. Stefan Fischer Institut für Telematik, Universität zu Lübeck Agenda Zahlendarstellung Oder: wie rechnen Computer? Security - 04 Cryptology #2 Dezimalsystem Normal rechnen wir im Dezimalsystem Basis verschiedene Symbole (0 bis 9) zur Zahlendarstellung vorhanden Größere Zahlen werden durch Sequenz von Symbolen gebildet Stelle bestimmt Wertigkeit des Symbols = = = = = = = = = = 10 Security - 04 Cryptology #3 1

2 Dezimalsystem Darstellung von Zahlen in Summenform möglich Beispiele 20 = = Security - 04 Cryptology #4 Generalisierung: Andere Basen Wir verwenden (normalerweise) das Dezimalsystem Sehr einfach, damit (als Mensch) zu rechnen Man kann jedoch auch Zahlensysteme mit beliebigen anderen Basen verwenden z.b. zur Basis b = 2, 3, 8, 16 oder 34 Unterscheidung von Zahlen verschiedener Basen Optional: tiefgestellte Angabe der Basis 12 zur Basis 10: zur Basis 16: Security - 04 Cryptology #5 Generalisierung: Andere Basen Man benötigt b verschiedene Symbole zur Darstellung Beispiel: b = 11 Symbole: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A Rechnen: 0+0 = 0, 9+1 = A oder 9+2 = 10 Symbole: A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K Rechnen: A+A = A, J+B=K oder J+C = BA Security - 04 Cryptology #6 2

3 Wichtiges Zahlensystem: Binärsystem Um die technische Realisierung möglichst einfach zu halten, arbeitet ein moderner Rechner binär Binär: Zwei Zustände Mögliche Symbole An, aus Strom, kein Strom 0, 1 A, B Security - 04 Cryptology #7 Binärsystem Symbole: 0 und 1 Eine Binärziffer heißt Bit (binary digit) Folge von 8 Bit heißt Byte Rechnen = = = 10 Basis 2 Basis 2 Basis = = = = = = = = = = Security - 04 Cryptology #8 Binärsystem und Computer Computer besitzen Arbeitsspeicher Besteht aus Menge von 1-Bit Speichern Jeweils Gruppe von 8 speichert ein Byte Arbeitsspeicher Jedes Byte ist unter einer bestimmten Adresse erreichbar Jedes Byte kann individuell gelesen und geschrieben werden Bit-weiser Zugriff nicht möglich Beispiel (Pseudocode) setze_adresse[3] = gebe_aus_adresse[3] Security - 04 Cryptology #9 3

4 Darstellung von Zahlen im Binärsystem Analog zum Dezimalsystem Beispiel Basis 10: Basis 2: Diese Darstellung erlaubt einfaches Umrechnen in andere Zahlensysteme Basis 2 Basis 10 Basis Security - 04 Cryptology #10 Beziehung Dezimal- Binärsystem Beispiel: 14 Zahlenbasis 10 : Tausender Hunderter Zehner Einer 10 3 = = = = Zahlenbasis 2 : = = = = Umrechnung: Binär- nach Dezimalsystem Beispiel: = Beispiel: =

5 Umrechnung: Dezimal- nach Binärsystem Horner-Schema 14 2 = 7R0 Least significant bit (LSB) 7 2 = 3R1 3 2 = 1R1 1 2 = 0R1 Most significant bit (MSB) 1110 MSB LSB 13 Hexadezimalsystem (zur Basis 16) Neben dem Binärsystem gibt es für den Programmierer noch ein weiteres wichtiges Zahlensystem Das Hexadezimalsystem, kurz: hex 16 Ziffern: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b, c, d, e, f a bis f stehen für die Zahlen 10 bis 15 Groß-/Kleinschreibung unerheblich (a = A) Umrechnung zwischen Dezimal und Hex analog zum Binärsystem 14 Dezimal-, Binär- & Hexadezimalsystem Beispiel: 253 Zahlenbasis 10 : Zahlenbasis 2 : Hunderter Zehner Einer Zahlenbasis 16 : f d

6 Verwendung des Hexdezimalsystems Programmierer verwenden oft Hex-Schreibweise Ziel: Binärzahlen kompakter schreiben Eine Hex-Ziffer entspricht immer vier Bit Bytes werden oft als Folge von zwei Hex-Ziffern angegeben f d 16 Rechnen mit binären Zahlen Rechnen mit binären Zahlen Binäre Darstellung genügt, um alle Rechenaufgaben durchzuführen Alle Grundrechenarten lassen sich auch im binären Zahlensystem durchführen 18 6

7 Binäre Addition Wiederholung: Addition im Dezimalsystem Identisches Vorgehen im Binärsystem Binäre Subtraktion Wiederholung: Subtraktion im Dezimalsystem Identisches Vorgehen im Binärsystem Binäre Multiplikation Multiplikation im Dezimalsystem 1 4 x Identisches Vorgehen im Binärsystem x

8 Wiederholung: Division im Dezimalsystem / 3 = 7 7 R Identisches Vorgehen im Binärsystem / 1 1 = R Zwischenergebnis Alle Grundrechenarten funktionieren auch im Binärsystem Natürlich auch in allen anderen Zahlensystemen Insbesondere auch im Hexadezimalsystem Bisher: Nur positive ganze Zahlen Wie geht man mit vorzeichenbehafteten ganzen Zahlen um? Wie stellt man -7 im Computer dar? 23 Negative Zahlen 8

9 Negative Binärzahlen mit Vorzeichenbit Beispiel: 3-Bit-Zahlen Vorzeichen Bit 1 Bit 0 Dezimalwert Bewertung: Prinzipiell ok Nachteile: Zwei Nullen VZ-Bit muss ausgewertet werden Für Maschinen nicht optimal 25 Negative Binärzahlen im Einerkomplement Zur Vorzeichenumwandlung (+ - bzw. - +) wird jedes Bit invertiert Beispiel: Darstellung als 4-Bit Binärzahl: Bitweise invertiert: Erstes Bit 1: negative Zahl Zahlenwert bestimmen: Invertieren Security - 04 Cryptology #26 Negative Binärzahlen im Einerkomplement Es ergibt sich folgender Zusammenhang: negative Zahlen positive Zahlen

10 Negative Binärzahlen im Einerkomplement Vorteile Einerkomplementzahlen können prinzipiell direkt (d.h. bitweise) addiert werden! Beispiel: 3 7 = 3 + (-7) Nachteile Problem: Round Carry: siehe nächste Folie Zwei Nullen Security - 04 Cryptology #28 Addition im Einerkomplement: 4+(-2) Problem bei Addition: Round Carry Übertrag! (1) Negative Binärzahlen im 2er-Komplement Alternative zum 1er-Komplement Vorzeichenumwandlung Invertiere bitweise und addiere 1 Alternativ: 1er-Komplement + 1 Beispiel: invertiere( ) Security - 04 Cryptology #30 10

11 Negative Binärzahlen im 2er-Komplement Positive Zahlen: Höchstes Bit ist Negative Zahlen: Höchstes Bit ist Addition im 2er-Komplement Beispiel: 4+(-2) Als 4-Bit Zahl 4 10 = = er-Komplementdarstellung ist sehr praktisch! Moderne Rechner arbeiten mit dieser Darstellung Übertrag kann ignoriert werden 32 2er-Komplement und moderne Rechner Ganze Zahlen werden im Arbeitsspeicher in 2er- Komplementdarstellung abgelegt Man sieht der binären Repräsentation der Zahl nicht an, dass sie im 2er-Komplement dargestellt ist Es könnte auch eine 4-Bit positive Zahl sein Es kommt darauf an, wie man dieses Muster interpretiert Arbeitsspeicher Security - 04 Cryptology #33 11

12 Reelle Zahlen Darstellung reeller Zahlen Bisher nur ganze Zahlen betrachtet Für viele Aufgaben benötigt man jedoch reelle Zahlen Wie stellt man diese im Computer dar? Antwort: gar nicht Computer haben nur einen endlichen Speicher Unmöglich potentiell unendlich lange Zifferfolgen darzustellen Aber: Man kann auf einige Nachkommastellen genau rechnen 35 Festkommadarstellung Typischerweise hat man im Computer eine feste Anzahl an Speicher für eine Zahl verfügbar Eine Möglichkeit: Diese Anzahl aufteilen in Teil vor dem Komma und dahinter Beispiel im Dezimalsystem: je 3 Stellen vor und nach dem Komma Es sind je 1000 Zahlen darstellbar Diese sind in jeweils 1000 Teilschritte unterteilt Beispiel: 175,381 Hunderter Zehner Einer Zehntel Hundertstel Tausendstel

13 Festkommadarstellung Äquivalente Darstellung im Binärsystem möglich Annahme: 32 Bit Breite Ergibt 16 Binärstellen und 16 binäre Nachkommastellen Damit sind Zahlen darstellbar Diese sind jeweils wieder in Teilschritte unterteilt Beispiel: , Festkommadarstellung (Umrechnungen) Binärsystem Dezimalsystem (siehe weiter vorne) Dezimalsystem Binärsystem Ebenfalls mit Horner-Schema Getrennte Berechnung von Vor- und Nachkommateil Vorkommateil: Division durch 2 mit Rest Nachkommaanteil: Division Multiplikation! (wegen negativer Exponenten) Beispiel: Umrechnung von 14, 1 (nächste Folie) 38 Beispiel: 14,1(nur Vorkommateil 14) Ergebnis: / 2 = 7 R 0 LSB 7/2 = 3 R 1 3/2 = 1 R 1 1/2 = 0 R 1 MSB 39 13

14 Beispiel: 14,1(nur Nachkommateil 0,1) 0,1 von dezimal nach binär 0,1 x 2 = 0,2 = 0,2 + 0 MSB 0,2 x 2 = 0,4 = 0, ,4 x 2 = 0,8 = 0, ,8 x 2 = 1,6 = 0, ,6 x 2 = 1,2 = 0, ,2 x 2 = 0,4 = 0,4 + 0 LSB Ergebnis (mit 16 Bit): 0, Erstaunlich: Nachkommateil ist periodisch Darstellung mit endlicher Bitanzahl ist nicht exakt! Dennoch muss man irgendwann abschneiden (z.b. nach 16 Bit) 40 Fließkommazahlen Wertebereich und Genauigkeit von Festkommazahlen oft zu gering Große Zahlen: Wunsch nach größerem Wertebereich Nachkommateil nicht so relevant Beispiel: ,01 Kleine Zahlen: Wunsch nach mehr Nachkommastellen Dafür ist vor dem Komma nicht so viel Spielraum Beispiel: 1, Lösungsansatz Schreibe Zahl D als Produkt aus Festkommazahl und Potenz D = X * 10 Y (X, 10 und Y sind Dezimalzahlen!) Bekannt aus dem Physikunterricht: 1,5637 * 10-6 m/s² 41 Fließkommazahlen Exponent bewirkt Verschiebung des Kommas Daher der Name Fließkommazahl Beispiel: 101,1 * = ,0 Mantisse Exponent (Achtung: Alles Binärzahlen) Sinnvoll: Mantisse mit 1 beginnen zu lassen Also 1,xxxxxx Die Kommaverschiebung vermerkt man im Exponenten Eine solche Zahl heißt normalisiert 42 14

15 32-Bit-Fließkommazahlen nach IEEE 754 Rechner verwenden Darstellung nach IEEE 754 IEEE 7534 verwendet Platzspartrick Mantisse beginnt immer mit einer 1 (außer bei der Zahl 0) Durch Weglassen dieser Ziffer gewinnt man ein Bit Format einer 32-Bit IEEE 754-Fließkommazahl V Exponent (8 Bit) Mantisse (23 Bit, Nachkommateil) Vorzeichen (1-Bit) Bit-Fließkommazahlen nach IEEE 754 Wert des Exponenten e effektiv definiert als e effektiv = e (= e ) Dadurch gilt e = (1-127 = -126) e effektiv = -126 e = ( = 0) Komma nicht verschoben e = ( = 127) e effektiv = +127 V Exponent e (8 Bit) Mantisse m (23 Bit, Nachkommateil) Bit-Fließkommazahlen nach IEEE 754 Binärer Wert g einer Fließkommazahl (für e 0 und m 0) v g = ( 1) (1, m) 10 e Problem: Darstellung der 0 (1,m x immer ungleich 0) Daher Sonderfälle e=0 und m 0 Zahl ist denomalisiert (0,M) e=0 und m=0 Darstellung der Zahl 0 e= und m 0 NaN (Not a Number) e= und m=0 Unendlich (Infinity, je nach Vorzeichen +/-) V Exponent e (8 Bit) Mantisse m (23 Bit, Nachkommateil)

16 Umrechnung IEEE 754 Dezimalzahl Mantisse und Exponent in Dezimalzahlen umrechnen Damit folgende Formel benutzen g dezimal M v 23 edezimal 127 = ( 1) (1,0 + dezimal / 2 ) 2 Beispiel: v= e= m= = ( 1) (1,0 + 2 / 2 ) 2 g dezimal 2 1 = 1 (1 + 2 ) 2 = 1,25 * 2 = 2,5 46 Dezimalzahl IEEE 754 (am Bsp. für 14,1) 1. Dezimalzahl in Festkommabinärzahl umrechnen (mit 23 Binärstellen hinter erster 1) 1110, Verschiebe Komma um n Stellen nach, sodass Zahl die Form 1, bekommt 1, n=3 3. Schreibe das Vorzeichenbit (1 falls negativ, 0 sonst) v=0 4. Rechne e=n+127 und schreibe binäre Darstellung von e 3+127=130 e= Schreibe m (Bitfolge hinter dem Komma aus Schritt 2) m= Dezimalzahl IEEE 754 (am Bsp. für 14,1) Zwischenergebnis v=0 e= m= Darstellung nach IEEE 754 Ergebnis Wirklichkeit ( komplizierte Rundungsregeln, ignorieren wir) 48 16

17 Rechnen mit Fließkommazahlen 1. Exponenten angleichen Zahl mit kleinerem Exponenten wird denormalisiert Grund: Kein Spezialfall für mehr als eine Stelle vor dem Komma! 2. Mantissen addieren, subtrahieren, multiplizieren oder dividieren 3. Ergebnis normalisieren 4. Fertig! 49 Rechnen mit Fließkommazahlen (Beispiel) 1. 12, , , ,11 e 1 = = m 1 = , ,1 e 2 = = m 2 = e 1 < e 2 e 1 anpassen! 0, , , , e 3 = 133! 66, Fließkommazahlen: Vor- und Nachteile Vorteile Fühlen sich für Programmierer wie reelle Zahlen an Großer Wertebereich, inkl. Werten für 0, +inf und inf Nachteile Sind nur endlich genau! Zahlen, die im Dezimalsystem exakt dargestellt werden können, müssen im Binärsystem u.u. gerundet werden. Durch diese Ungenauigkeit kommt es schon bei einfachen Rechnungen zu Rundungsfehlern Beispiele: siehe nächste Folie 51 17

18 Fließkommazahlen: Rundungsfehler = = = aber: = = Distributivgesetz verletzt: a * x + b * x!= (a+b) * x Konsequenz Für exakte Berechnungen (z.b. im Bankwesen) sind Fließkommazahlen ungeeignet Double-Precision (64 Bit IEEE 754): 1 Vorzeichenbit, 11 Bit Exponent, 52 Bit Mantisse 52 Zusammenfassung Zahlensysteme mit verschiedenen Basen Umwandlung zwischen Zahlensystemen (2er, 10er, 16er) Rechnen mit diesen Darstellungen Binäre Zahlendarstellung im Computer Ganze Zahlen (mit/ohne Vorzeichen) 1er- und 2er-Komplement Fließkommadarstellung Grenzen (Wertebereich, Genauigkeit)? Bitmuster im Speicher enthält keine Information über Art der Interpretation Als Programmierer muss man dies wissen bzw. beim Programmieren definieren Beginnt an Adresse 3 z.b. eine 8 Bit Zahl oder 32 Bit? Ganzzahl, 1er- / 2er-Komplement oder IEEE 754 Kodierung? 53 18

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