Informationsmenge. Maßeinheit: 1 Bit. 1 Byte. Umrechnungen: Informationsmenge zur Beantwortung einer Binärfrage kleinstmögliche Informationseinheit

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1 Informationsmenge Maßeinheit: 1 Bit Informationsmenge zur Beantwortung einer Binärfrage kleinstmögliche Informationseinheit 1 Byte Zusammenfassung von 8 Bit, kleinste Speichereinheit im Computer, liefert 2 8 = 256 Bitkombinationen Umrechnungen: 1 Kilobyte = 2 10 Byte = Byte 1 Megabyte = 2 10 kb = Byte 1 Gigabyte = 2 10 MB = KB = Byte 1 Terabyte = 2 10 GB =... Codierung 1

2 Codierung Zuordnung von Zeichen eines Alphabets zu Zeichen eines anderen Alphabets Text, z.b. ASCII: bedeutet A bedeutet B bedeutet C bedeutet D Zahlen, z.b. Binärcode: 0000 bedeutet bedeutet bedeutet bedeutet bedeutet bedeutet 5 Codierung 2

3 Codierung Darstellung von Text Zur Darstellung von Texten werden das Textalphabet und die Satzzeichen mit Bitfolgen codiert. Gebräuchlichste Codierung: 7 Bit ASCII (American Standard Code for Information Interchange) erweiterter ASCII: 8 Bit (einige sprachspezifische Symbole) UNICODE: 16 Bit ( alle Sprachen der Welt ) Codierung 3

4 ASCII ASCII = American Standard Code for Information Interchange 032 bl P 096 ` 112 p 033! A 081 Q 097 a 113 q 034 " B 082 R 098 b 114 r 035 # C 083 S 099 c 115 s 036 $ D 084 T 100 d 116 t 037 % E 085 U 101 e 117 u 038 & F 086 V 102 f 118 v 039 ' G 087 W 103 g 119 w 040 ( H 088 X 104 h 120 x 041 ) I 089 Y 105 i 121 y 042 * 058 : 074 J 090 Z 106 j 122 z ; 075 K 091 [ 107 k 123 { 044, 060 < 076 L 092 \ 108 l = 077 M 093 ] 109 m 125 } > 078 N 094 ^ 110 n 126 ~ 047 / 063? 079 O 095 _ 111 o 127 del Beispiele: A a F f Codierung 4

5 Codierung Darstellung von Zahlen Für die maschinelle Verarbeitung von Zahlenwerten ist eine binäre Codierung sehr gut geeignet. Als Alphabet werden häufig die Zeichen { 0,1 } verwendet. In der elektronischen Realisierung entspricht z.b. 0 : Spannung < 1.5 Volt 1 : Spannung > 3.5 Volt Alle Berechnungen werden zur Basis 2 (Dual-, Binärsystem) durchgeführt. Codierung 5

6 Arithmetische Operationen Elementare Zahlenarten: Natürliche Zahlen (positiv, z.b. 1, 2, 3, ) Ganze Zahlen (positiv und negativ, z.b. -5, 0, 2, 42, ) Rationale Zahlen (z.b. -2/3, 7/2, 13/17, ) Reelle Zahlen (ganze und rationale sowie irrationale Zahlen wie oder 2) Codierung 6

7 Zahlensysteme: Dezimalsystem Darstellung von ganzen Zahlen Jede Ziffer innerhalb einer Zahl besitzt einen Ziffernwert und einen Stellenwert. Beispiel: 1235 = 5 * 1 = 5 * * * * * * * 10 3 Ziffernwert * Stellenwert Codierung 7

8 Zahlensysteme: Dezimalsystem Verallgemeinerung für das Dezimalsystem: Der Zahlenwert a ist die Summe über alle Stellen i = 0,..., n der einzelnen Produkte aus Ziffernwert z i und Stellenwert 10 i Also: n a = z i * 10 i i=0 Codierung 8

9 Zahlensysteme: Beliebiges Zahlensystem Verallgemeinerung für ein beliebiges Zahlensystem : Für ein beliebiges Zahlensystem gilt : n a = z i * B i i=0 Hierbei ist B die Basis des Zahlensystems und die darin gültigen Ziffern z i können die Werte 0,1,..., B-1 annehmen. Codierung 9

10 Arithmetische Operationen Darstellung ganzer Zahlen Dezimalsystem: 0,,9 Zur binären Darstellung der 10 Ziffern werden 4 Bits benötigt. Mit 4 Bits können 16 Ziffern codiert werden. Für die weiteren 6 Ziffern werden die Zeichen A,,F eingeführt und der Hexadezimalcode definiert. Zahlensystem Basiszahl Zeichenvorrat Dualsystem 2 0,1 Oktalsystem 8 0,1,2,3,4,5,6,7 Dezimalsystem 10 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Hexadezimal- 16 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F system Codierung 10

11 Ganze Zahlen (ohne Vorzeichen) a = z i * B i Wertebereich: 0 a 2 n -1 Codierung 11

12 Ganze Zahlen (ohne Vorzeichen) Beispiel Umrechnung in Basis 2 (235) 10 = (a) : 2 = 117, Rest : 2 = 58, Rest 1 58 : 2 = 29, Rest 0 29 : 2 = 14, Rest 1 14 : 2 = 7, Rest 0 7 : 2 = 3, Rest 1 3 : 2 = 1, Rest 1 1 : 2 = 0, Rest *1 = 2 1 *1 = 2 2 *0 = 2 3 *1 = 2 4 *0 = 2 5 *1 = 2 6 *1 = 2 7 *1 = = (235) 10 Codierung 12

13 Ganze Zahlen (ohne Vorzeichen) Beispiel Umrechnung in Basis 8 (235) 10 = (a) : 8 = 29, Rest 3 29 : 8 = 3, Rest 5 3 : 8 = 0, Rest *3 = 8 1 * 5 = 8 2 * 3 = = (235) 10 Codierung 13

14 Ganze Zahlen (mit Vorzeichen) Wertebereich: -2 n-1 +1 a 2 n-1-1 Most Significant Bit (MSB) definiert das Vorzeichen. Vorzeichen muss gesondert ausgewertet werden. Zwei Darstellungen der 0, nämlich +0 und -0 Codierung 14

15 Ganze Zahlen (mit Vorzeichen) Binary Offset Der kleinstmögliche Wert wird mit 0000 und der größtmögliche Wert wird mit 1111 dargestellt. Wertebereich: -2 n-1 a 2 n-1-1 a = D O; D: binäre Darstellung, Offset O = 8 Nur eine Darstellung der 0. Findet Verwendung beim Exponent der IEEE 754 Codierung 15

16 Ganze Zahlen im Einerkomplement Most Significant Bit (MSB) definiert das Vorzeichen. positive Zahl: MSB = 0, Die drei niederwertigen Bits werden wie gewohnt ausgewertet negative Zahl: MSB = 1, Die drei niederwertigen Bits werden invertiert und anschließend ausgewertet Wertebereich: -2 n-1 +1 a 2 n-1-1 Codierung 16

17 Ganze Zahlen im Einerkomplement Beispiel Einerkomplement -3 soll binär als Einerkomplement dargestellt werden binäre Darstellung des Betrags (3) 10 = (0011) 2 Setzen des Vorzeichens und Komplement der Bits (-3) 10 = (1100) 2-1K Codierung 17

18 Ganze Zahlen im Zweierkomplement Most Significant Bit (MSB) definiert das Vorzeichen. positive Zahl: MSB = 0, Die drei niederwertigen Bits werden wie gewohnt ausgewertet. Wertebereich: -2 n-1 a 2 n-1-1 negative Zahl: MSB = 1, Die drei niederwertigen Bits werden invertiert, 1 addiert und anschließend ausgewertet. Codierung 18

19 Ganze Zahlen im Zweierkomplement Vorteil der Zweierkomplement-Darstellung Es existiert nur eine Null. Null ist zu sich selbst Komplement (0000)2k = (0000)1k + 1 = FFFF +1 = 0 Das Vorzeichenbit muss für Addition und Subtraktion nicht gesondert ausgewertet werden. Signifikante Vereinfachung der Berechnung. Zweierkomplement wird in der Praxis fast ausschließlich eingesetzt. Codierung 19

20 Addition und Subtraktion Addition: = 0, kein Übertrag ( Carry ) = 1, kein Übertrag = 1, kein Übertrag = 0, Übertrag 1 Subtraktion: 0-0 = 0, kein Übertrag 1-0 = 1, kein Übertrag 0-1 = 1, Übertrag = 0, kein Übertrag Codierung 20

21 Beispiele Addition und Subtraktion Ganze Zahlen ohne Vorzeichen C 110 = C 011 = Ganze Zahlen mit Vorzeichen (Zweierkomplement) (-3 10 ) 1101 C 100 = (-6 10 ) 1010 C 010 = Codierung 21

22 Beispiele Addition und Subtraktion Ganze Zahlen ohne Vorzeichen C 111 = Übertrag (Carry, C, CY) Überlauf (Overflow, O, OV) Ganze Zahlen mit Vorzeichen (Zweierkomplement) C 110 =-8 10? (-6 10 ) 1010 C 000 =+3 10? Codierung 22

23 Addition und Subtraktion Übertrag (Carry) Ein Übertrag entsteht, wenn bei Operationen mit nur positiven Zahlen der Wertebereich überschritten wird. Codierung 23

24 Addition und Subtraktion Überlauf (Overflow) Ein Überlauf entsteht, wenn bei Operationen von Zweierkomplement-Zahlen der Wertebereich überschritten wird. Ein Überlauf liegt dann vor, wenn beide Summanden das gleiche Vorzeichen haben und das Ergebnis ein anderes. Codierung 24

25 Rationale Zahlen Bisher haben wir die binäre Darstellung der ganzen Zahlen kennen gelernt: Integer n a = z i * B i i=0 mit B = 2 Darstellung gebrochener Zahlen (Rationaler Zahlen): Festkomma-Darstellung Fließkomma-Darstellung (Floating Point) Codierung 25

26 Rationale Zahlen Festkomma-Zahlen a i n i m zb i i zb z b... zb z z b... z b n n 1 1 m n n m n+1 Bits für Vorkomma-, m Bits für Nachkommastellen Es ist Konvention, die Ziffern mit absteigendem Index i als Liste darzustellen und zwischen z 0 und z -1 ein Komma einzufügen. a z 3 b 3 z 2 b 2 z 1 b 1 z 0 b 0 z 1 b 1 z 2 b 2 z 3 b 3 z 4 b 4 Codierung 26

27 Rationale Zahlen ( 123,4567) in gleicher Weise kann man binäre Zahlen darstellen: ( 1001,1101) In diesem Beispiel ist also (1001,1101) 2 = (9,8125) 10 Bei Festkomma-Zahlen ist der Wertebereich stark eingeschränkt! Codierung 27

28 Umwandlung von Nachkommastellen einer Dezimalzahl Beispiel (0,28125) 10 : 0,28125*2 = 0,5625 0,5625*2 = 1,125 0,125*2 = 0,25 0,25*2 = 0,5 0,5*2 = 1,0 (0,28125) 10 = (0,01001) 2 Codierung 28

29 Beispiel Zweierkomplement Festkommazahl Umwandlung binär dezimal, MSB = 1 a = (1011,0110) 2 falls MSB = 1 Zahl ist negativ, dann Betrag berechnen Komplement aller Bits, 1 addieren (1011,0110) 2-2K = (0100,1001) 2 +(1) 2 = (0100,1010) 2 a = (4,625) 10 Vorzeichen negativ a = -4,625 Codierung 29

30 Beispiel Zweierkomplement Festkommazahl Umwandlung dezimal binär, a < 0 a = (-4,625) 10 falls a < 0 Zahl ist negativ, dann Betrag berechnen: Vorkomma Nachkomma 4:2 = 2, R=0 0,625* 2 = 1, r=0,25 2:2 = 1, R=0 0,25 * 2 = 0, r=0,5 1:2 = 0, R=1 0,5 * 2 = 1, r=0 a = 0100,1010 Komplement aller Bits, 1 addieren (0100,1010)2-2K = (1011,0101)2 +(1)2 = (1011,0110)2 a = (1011,0110) 2 Codierung 30

31 Rechnerinterne Darstellung einer Fließkomma-Zahl Allgemeine Darstellung: z = (-1)s 1.f 2 e-o s = Vorzeichen (Signum, sign, 0 = positiv, 1 = negativ) f = Fraktion, fraction e = Exponent o = Offset (127 bzw. 1023) wg. Wertebereich 1.f: normalisierte Darstellung: 1 vor Binärpunkt ist implizit, d.h. wird angenommen, nicht dargestellt 0.f: denormalisierte Darstellung: in besonderen Fällen wird keine binäre 1 angenommen. Codierung 31

32 Rechnerinterne Darstellung einer Fließkomma-Zahl Beispiel: Darstellung von Vorgehensweise: binäre Darstellung der Vorkommastellen binäre Darstellung der Nachkommastellen binäre Darstellung der Zahl Normalisierung und Bestimmung Exponent Darstellung von Fraktion f Darstellung des Exponenten e Bestimmung des Vorzeichens s Codierung 32

33 Rechnerinterne Darstellung einer Fließkomma-Zahl Beispiel Fließkomma-Zahl = Nachkommastellen = = = = = = = = normalisiert, E = 5 Bestimmung Fraktion , also f = dargestellter Exponent e: E = e-o e = E+o; o=127 (single) = = 132 = Vorzeichen s = 0 (pos) Codierung 33

34 Rechnerinterne Darstellung einer Fließkomma-Zahl Beispiel: Fraktion f = (beachte ) bit 0-22 dargestellter Exponent e = bit Vorzeichen s = 0 bit 31 Damit ist die Darstellung im IEEE 754-Format mit einfacher Genauigkeit (single precision 32 Bit): entspricht hexadezimal Codierung 34

35 Rechnerinterne Darstellung einer Fließkomma-Zahl Spezielle Werte: Zahl Null kann nicht direkt dargestellt werden. Darstellung durch e=0 und f=0 Unendlich, Infinity Darstellung alle Bits im Exponenten 1, f=0; Unterscheidung von Infinity durch s=0 oder 1 Not-a-Number NaN, Darstellung ist keine Zahl. Darstellung alle Bits im Exponenten 1, f 0; Beispiele: ±nichtnull / 0 = ±Infinity ±Infinity / ±Infinity = NaN Codierung 35

36 Rechnerinterne Darstellung einer Fließkomma-Zahl Formatspezifikationen der IEEE 754 Codierung 36