Information und ihre Darstellung
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- Gotthilf Baumann
- vor 5 Jahren
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1 . Information und ihre Darstellung Wintersemester 208/209. Informationsdarstellung Äquivalente Information in verschiedenen Darstellungen: Schrift: Die Katze sitzt am Fenster Bild Sprache Zeichensprache. Kapitel Information und ihre Darstellung Prof. Matthias Werner Professur Betriebssysteme. Information und ihre Darstellung. Information und ihre Darstellung Darstellung und Bedeutung 22 Darstellung und Bedeutung Symbolische Darstellung (Syntax) Bedeutung (Semantik) Symbolische Darstellung (Syntax) Bedeutung (Semantik) 25??? Interpretation 23 Bei unbekannten Interpretationsregeln kann Bedeutung nicht erkannt werden Übersetzung (=Abbildung in andere Darstellung) könnte helfen 24
2 Alphabete Betrachten zunächst die symbolische Darstellung Alphabet: endliche Menge von Zeichen Beispiele: Dezimalziffern: {0,,2,3,4,5,6,7,8,9} Buchstaben: {a,b,c,...,a,b,c,...} Jahreszeiten: {Frühling, Sommer, Herbst, Winter } Farben: {,,,,, } Was ist das kleinste Alphabet? Binärzahlen, {0;}, Bit = binary digit Codes Code: Abbildung (Zuordnungsvorschrift) zwischen Alphabeten Vorschrift für die Interpretation Symbole aller denkbaren Alphabete lassen sich durch Gruppen von Binärzeichen ausdrücken Kleinbuchstaben: a 00000, b 0000, c 0000 a.-, b -..., c -.-., d -.. (Zeichen verschiedener Länge) Codierung mittels Binärzahlen Binärcodierung. Informationen im Rechner werden binär gespeichert zwei elektr./magnet. Zustände Betrachten die Codierung unterschiedlicher Datenarten mit binären Codes: Buchstaben, Zahlen, logische Aussagen Codes für Zeichen (Buchstaben) EBCDIC (Extended Binary Coded Decimal Interchange Code) Abstammung von Lochkarten Nicht alle Bitkombinationen besetzt ASCII (American Standard Code for Information Interchange) 7 Bit Code ASCII und ISO 8859 American Standard Code for Information Interchange Englisches Alphabet mit Steuerzeichen ISO 8859 Erweiterung auf nationale Alphabete Unicode einheitlicher Code, der neben nationalen Alphabeten auch z. B. mathematische oder Pfeilzeichen einschließt Die Werte über 27 werden im ISO 8859 genutzt, um nationale Sonderzeichen darzustellen, z. B. die deutschen Umlaute 27 28
3 Achtung Daher können sie im Computer völlig anders codiert werden Manche Programmiersprachen machen diesen Unterschied explizit z. B. C, Pascal, Python manche verdecken ihn z. B. PHP Für einen Computer kann die Zahl 5 und das Zeichen 5 völlig unterschiedliche Dinge sein! Unicode Problem: Verschiedene Sprachen mit verschiedenen Alphabeten Idee: Eindeutige Zuordnung für jedes Zeichen, unabhängig von der Plattform, dem Programm oder der Sprache Unicode: Über-Alphabet Organisation von Alphabeten in Blocks Verschiedene Substandards (UTF-8, UTF-6, UTF-32) Die Einzelzeichen sind 8, 6 bzw. 32 bit lang Bei UTF-8 und UTF-6 werden Codes zu Sequenzen zusammengesetzt Steuerzeichen z. B. für Schreibrichtungen und Ligaturen Aktuelle Version:.0 vom Juni 208 (Stand: September 208) Beispiele für Unicode (UTF-6) Georgisch (0A0..0FF) Pfeilsymbole ( FF) 3. Codes für Zahlen Zahlensysteme Möglichkeit: Wert einer Ziffer hängt von umgebenden Ziffern ab ziemlich unpraktisch Römische Zahlen vs. Dezimalzahlen: XIX vs. 9 XLII vs. 42 Positionssysteme (auch das Dezimalsystem ist eines) Wert einer Ziffer hängt nur von der Position ab : Wert, : Position (von rechts, Start mit 0), : Ziffer an Position, : Basis Gängige Basen: v = i (b i β i ) v i b i i β 0 (Dezimalsystem), 2 (Dual- oder Binärsystem), 8 (Oktalsystem),6 (Hexadezimalsystem) 3 32
4 Vorzeichenlose Dualzahlen Fragen: Zuordnung zwischen n-stelliger Dualzahl und Wert? Welches ist der Wertebereich? vorzeichenlose ganze Dualzahlen n Bits Stellenwertzahl zur Basis 2 Wertebereich: 0... (2 n ) - gebräuchlich: char ( n=8, ) int, short ( n = 6, ) long, int ( n = 32 oder 64, / ) Vorzeichenbehaftete Dualzahlen Idee: Bit dient der Darstellung des Vorzeichens sign + value (Vorzeichen + Wert) Wertebereich: -(2 (n-) -)... 2 (n-) - Problem: keine eindeutige Darstellung für 0 Rechenwerk für Addition schwierig Einerkomplement positiver Wert wie bisher dargestellt negativer Wert entsteht durch Umkehren (Negieren) aller Bits Wertebereich: -(2 (n-) -)... 2 (n-) - Eigenschaften: Nicht eindeutig Addition/Subtraktion problematisch bei Vorzeichenwechsel Zweierkomplement häufigste Darstellung; vermeidet Nachteile von -er Komplement/Vorzeichenzahl positive Zahlen: wie bisher negative Zahlen: -er Komplement bilden addieren Beispiel zur Bildung (-5 in Byte): Komplement nur eine Darstellung der Null (eindeutig) unsymmetrischer Wertebereich: -2 (n-)... 2 (n-)
5 Gebrochene Zahlen bisher nur ganze Zahlen: Komma steht ganz rechts Idee: Darstellung einer gebrochenen Zahl durch zwei ganze Zahlen Festkommazahlen Problem: Wertebereich versus Genauigkeit u. U. werden Bits verschenkt Idee: Komma-Position verschiebbar Speichern Informationen über Position des Kommas Gleitkommazahl: s - Vorzeichen (sign) m - Mantisse b - Basis (fest, z.b. 2, 0 oder 6) e - Exponent z = ( ) s m b e Bei bekannter Basis genügt es, s, m und e zur Darstellung einer Zahl zu speichern Normalisierung von Gleitkommazahlen Problem: Gleitkommazahlen sind nicht eindeutig dezimales Beispiel: = 2,3 0 =, = 0, = 0, Normalisierung: In der Mantisse steht die erste Ziffer, die keine Null ist, direkt links vom Komma dezimales Beispiel:, Bei Binärzahlen ist diese erste Stelle immer eine kann weggelassen werden Beispiel: Mantisse,00 wird als,00 dargestellt Gleitkommazahlen (IEEE 754) Einfache Genauigkeit: z = (-) s,m 2 e-27 Doppelte Genauigkeit: z = (-) s,m 2 e-023 Dezimaler Wertebereich: ca bzw. ca Kodierung von 0 in normierter Darstellung unmöglich besonderes Bitmuster reservieren: alle Bits = 0 Probleme: Rundungsfehler/Ungenauigkeiten beim Umgang mit ganzen Zahlen in Gleitkommarepräsentation 4. Aussagelogik Aussagelogik Teil der Logik, in dem Eigenschaften von Aussagen, die mittels Aussagenverknüpfungen aus anderen Aussagen entstehen, untersucht werden. Begriff der Aussage wird nicht inhaltlich untersucht Prädikat Jede Aussage hat einen Wahrheitswert Prinzip der Zweiwertigkeit: Jede Aussage hat entweder den Wert wahr oder den Wert falsch. Satz vom ausgeschlossenen Dritten (tertium non datur): Jede Aussage ist immer entweder wahr oder falsch Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch: Keine Aussage ist zugleich wahr und falsch
6 Aussagelogik (Forts.) Prinzip der Extensionalität: Der Wahrheitswert einer Aussageverknüpfung hängt ausschließlich von den Wahrheitswerten ihrer Bestandteile ab. Zuordnung: wahre Aussagen W,, H falsche Aussagen F, 0, L Theoretisch sind auch mehrwertige Logiken möglich, jedoch seltener realisiert. Open-collector-Ausgang hochohmig Zustandsänderungen als eigener Zustand Unbestimmt -Zustand in Fehlerdiagnose Fuzzy-Logik Boolesche Algebra Georg Boole, Sei Funktionen mit heißen Boolesche Funktionen jedem n-tupel von Zahlen aus B wird eindeutig ein m-tupel von Zahlen aus zugeordnet. Wenn m=: echte Boolesche Funktionen jedem n-tupel von Zahlen aus wird eindeutig eine Zahl aus zugeordnet. Diese Zahl heißt Wahrheitswert. Operatoren:,, B = {0; } f : B n B m B n, m B B 4 42 Wichtige Verknüpfungsfunktionen z = f(0) z = f() Identität 0 Notation alternative Bezeichnungen Negation 0 z = x = x not, nicht, Komplement Einsfunktion Nullfunktion 0 0 z = x z = (0) z = 0(x) Wichtige Verknüpfungsfunktionen (Forts.) z = f(x, y) Bezeichnung x=0 x= x=0 x= Notation alternative Bezeichnung y=0 y=0 y= y= Und z = x y = x y and, Konjunktion Oder 0 z = x y = x + y or, Disjunktion Antivalenz 0 0 z = x y Exklusiv-Oder, xor Äquivalenz 0 0 Implikation 0 z = x y z = x y Nicht-Und 0 z = x y nand Nicht-Oder z = x y nor 43 44
7 Logisch vollständige Mengen Frage: Gibt Mengen werden können? Ja, z. B.: Ω = {, } Ω = {, } Ω = { } Ω = { } Diese Mengen Ω Ω = {(x),, } Ω von Funktionen, mit denen alle anderen Funktionen dargestellt heißen logisch vollständig Man braucht also für einen Computer nur wenige Grundfunktionen, um alle Funktionen zu realisieren Nützliche Regeln DeMorgansche Regel: Assoziativgesetze x y = x y = x ȳ x ȳ Kommutativgesetze Distributivgesetze (x y) z = x (y z) x (y z) = (x y) (x z) (x y) z = x (y z) (x y) z = x (y z) x y = y x x y = y x x y = y x x (y z) = (x y) (x z) x (y z) = (x y) (x z) Nützliche Regeln (Forts.) Idempotenz x x = x x x = x Absorptionsregeln x x = x x = 0 x (x y) = x x (x y) = x x x = 0 x x = Substitution von Konstanten x 0 = x x = x 0 = 0 x = x x 0 = x x = x 47
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