II. Grundlagen der Programmierung

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1 II. Grundlagen der Programmierung II.1. Zahlenssteme und elementare Logik 1.1. Zahlenssteme Ganze Zahlen Ganze Zahlen werden im Dezimalsstem als Folge von Ziffern 0, 1,..., 9 dargestellt, z.b. 123 = Man könnte im Rechner jede Ziffer im ASCII-Code darstellen 24 Bit für die Codierung von 123. Platzsparender ist Darstellung im Dualsstem, das (statt der Basis 10) die Basis 2 benutzt: = = Hierfür braucht man nur 7 Bit. Genauso gut könnte man irgendeine ganze Zahl > 1 als Basis nehmen; häufig benutzt wird das Hexadezimalsstem mit der Basis 16, das die Ziffern 0, 1,..., 9, A, B, C, D, E, F benutzt. Im Rechner wird die Dualdarstellung benutzt. Die Operationen mit Dualzahlen beruhen auf den Tabellen ( kleines Einmaleins ): = = = = = = = = 1 Darauf fußen die Algorithmen für die Addition und Multiplikation, z. B Für die Subtraktion und die Division gibt es ähnliche Algorithmen wie bei Dezimaldarstellung. Der Zahlbereich, der bei einem Computer überstrichen wird, richtet sich nach dem benutzten Speicherplatz und der Darstellung der Zahl.

2 In Mikrocomputern benutzt man oft 2 Btes, d.h. 16 Bit; davon 1 Bit für das Vorzeichen. Also hat man 15 Bit frei und kann die Zahlen 0 bis = darstellen. Negative Zahlen werden i.allg. durch ihr Zweierkomplement dargestellt, d.h. statt x (x negativ) wird x dargestellt. Der Grund liegt darin, daß dann manche Operationen schneller ausgeführt werden können ( Übungen). Die kleinste darstellbare Zahl ist dann = Beispiele: = = = 2 0 = = = = entspricht = entspricht = Da man an das Dezimalsstem gewöhnt ist, muß jede Zahl bei Ein- und Ausgabe konvertiert werden (automatisch). Konvertierung aus dem Dual- ins Dezimalsstem kann einfach erfolgen durch Berechnung der gewichteten Quersumme, z.b = = , oder aber schneller durch das Hornersche Schema : ((((( ) 2 + 1) 2 + 1) 2 + 0) 2 + 1) Konvertierung vom Dezimal- ins Dualsstem erreicht man durch fortgesetzte Division durch 2 mit Rest: 123 = = = = = = = Reelle Zahlen (Gleitkommazahlen) Sei x relle Zahl und B Basis eines Zahlsstems (also B > 1, ganz), so besitzt x die sogenannte Gleitkommadarstellung (halblogarithmische Darstellung) x = ± m B k m = Mantisse (Signifikand), k = Exponent. Diese Darstellung heißt normalisiert (Variante 1), falls 1/B m < 1 gilt, d.h.

3 m ist von der Form 0,a 1... mit a 1 0 oder (Variante 2) 1 m < B gilt, d.h. x ist von der Form a 0,... mit a 0 0. Z.B. x = 12,25 (im Dezimalsstem, d.h. für B = 10) wird x = 0, oder x = 1, Für B = 2 wäre und für B = 16 x = 0, oder x = 1, x = 0,C oder x = C, In Computern: B = 2 oder B = 16; zu k wird Konstante k 0 addiert, so daß k = k + k 0 (Charakteristik) positiv bleibt. Beispiel: IEEE - Standard für 4 Bte = 32 Bit ( = 1 Wort); B = 2; 1. Zeichen der Mantisse nicht gespeichert (da immer 1), k 0 = 127, 0 < k < 255 VZ Char. k Mantisse ohne 1. Stelle (m ) also x = (-1) vz (1, m ) 2 k -127 Genauigkeit: 24 Dualstellen 7 Dezimalstellen Größte positive Zahl: 3,4*10 38 Darstellung der Null: k = 0, m = 0 Genauigkeit: Länge der Mantisse Zahlbereich: Länge der Charakteristik Problem: Nur endlich viele reelle Zahlen darstellbar - Rundung notwendig; Rundungsfehler! Bei längeren numerischen Rechnungen können unsinnige Ergebnisse herauskommen! 1.2. Elementare Logik In der Informatik hat man es häufig mit Aussagen zu tun. Diese sind charakterisiert dadurch, daß sie entweder falsch oder wahr sein können (bzw. false oder true bzw. 0 oder 1).

4 Aussagen kann man verknüpfen zu neuen Aussagen; folgende Operationen sind die wichtigsten: Negation: p sei die Negation der Aussage p. Z.B. ist p = Alle Menschen sind sterblich, so hat p den (Wahrheits-) Wert 1 ; p = Nicht alle Menschen sind sterblich hat den Wert 0. Die Negation realisiert gerade eine Abbildung 0,1 0,1 (Boolesche Funktion), die 0 auf 1 und 1 auf 0 abbildet, was auch ausgedrückt wird durch eine Wahrheitswerttabelle: p p Konjunktion: Verknüpft zwei Aussagen p und q zu p q, d.h. ist eine Abbildung : 0,1 0,1 0,1 und zwar soll p q genau dann wahr sein, wenn sowohl p als auch q wahr sind (logisches UND), d.h. man hat folgende Tabelle: p q p q Disjunktion: : 0,1 0,1 0,1 ; p q soll wahr sein g.d.w. p oder q wahr sind (logisches ODER); Tabelle: p q p q Es gibt weitere zweistellige Operationen, insgesamt 2 4 = 16, z.b. das ausschließende (exklusive) oder, bezeichnet mit : p q ist genau dann wahr, wenn entweder p oder q wahr sind, d.h. die Tabelle ist: Man hat aber p q p q p q = (p q) ( (p q)), was man wie folgt durch eine Tabelle nachweisen kann:

5 p q p q p q p q (p q) (p q) ( (p q)) Ähnlich kann man andere Gesetze nachweisen: Kommutativgesetze: p q = q p; p q = q p Assoziativgesetze: (p q) r = p (q r) ;... Distributivgesetze: p (q r) = (p q) (p r);... Regeln von de Morgan: (p q) = ( p) ( q) (p q) = ( p) ( q) Gesetz von der doppelten Negation: ( p) = p Auf Grund dieser Gesetze kann man zeigen, daß sich jeder Boolesche Ausdruck, gebildet aus Booleschen Variablen p, q, r,... mittels der Operatoren,, in konjunktiver Normalform (KNF) schreiben läßt, d.h. als Konjunktion von Disjunktionen von Variablen oder negierten Variablen. Bsp.: p q = (p q) ( (p q)) = (p q) ( p q) Analog gibt es die disjunktive Normalform (DNF), die Darstellung als Disjunktion von Konjunktionen von Literalen (Variablen oder negierten Variablen) Bsp.: p q = (p q) ( p q) = [p ( p q)] [q ( p q)] = (p p) (p q) (q p) (q q) = (p q) (q p) Man kann aber etwa die DNF auch direkt aus der Tabelle ablesen: p q p q p q (p q) (q p) q p denn bei der DNF kommt genau dann 1 heraus, wenn mindestens eine der beteiligten Konjunktionen den Wert 1 hat.

6 Also etwa auch für die folgende 3-stellige Funktion Boolesche Funktion f: p q r f p q r p q r also ist die DNF von f: (p q r) ( p q r). (Übrigens läßt sich der Ausdruck für f vereinfachen: f = q r ) Dies kann man offenbar für jede Tabelle, d.h. für jede beliebige n-stellige Boolesche Funktion n f: 0,1 0,1 tun; insbesondere läßt sich also jede Boolesche Funktion in n Variablen p 1,..., p n durch diese Variablen mit Hilfe der Operationenmenge,, ausdrücken. Man nennt diese Menge daher auch funktional vollständig. Technische Realisierung einer Booleschen Funktion erfolgt durch ein Schaltnetz (Gatter), indem man (entsprechend dem obigen) Grundschaltungen benutzt, die sich durch 2 oder mehrere Transistoren realisieren lassen: NOT - Glied: x 1 ο x x OR - Glied: 1 x x AND - Glied: & x Gelegentlich benutzt man auch x NOR - Glied: 1 ο (x )

7 x NAND - Glied: & ο (x ) Hiermit kann man nun Schaltungen konstruieren, die beliebig vorgegebene Boolesche Funktionen realisieren, indem man: 1. Für die Boolesche Funktion die DNF ermittelt 2. Die DNF eventuell vereinfacht 3. Die Schaltung konstruiert Beispiel: Rechnerschaltung zur Addition von 2 Dualzahlen a) Halbaddierwerk: Addition zweier Dualziffern x und ; s: Summenziffer, ü: Übertrag x s ü s ü x x x Also s = (x ) ( x ) ; ü = x. Schreibt man noch s = (x ) (x ), so wird x 1 & s & ü wenn man noch ein Glied & für x benutzt Smbol: x s HA ü b) Volladdierwerk (Adder): Es fehlt noch die Berücksichtigung des Übertrages von der vorherigen Stelle ü k-1 x k k ü k-1 s k ü k

8 s k = (x k k ü k-1 ) (x k k ü k-1 ) ( x k k ü k-1 ) ( x k k ü k-1 ) ü k = (x k k ü k-1 ) (x k k ü k-1 ) (x k k ü k-1 ) ( x k k ü k-1 ) Man hat s k = {[(x k k ) ( x k k )] ü k-1 } {[ (x k k ) ( x k k ) ü k-1 } = ( ~ s k ü k-1 ) ( ~ s k ü k-1 ), wobei ~ sk die Summe von x k und k ist. ü k = {[(x k k ) ( x k k )] ü k-1 } {x k k (ü k-1 ü k-1 )} = ( ~ s k ü k-1 ) ~ ü k, wobei ~ ü k der Übertrag der Summe von x k und k ist. Hieraus resultiert die Schaltung: ü k-1 HA s k x ~ k sk k HA 1 ü k ~ ü k Smbol: VA c) Addition von n-stelligen Dualzahlen x = x n x n-1... x 1, = n n zu s = s n+1 s n... s 1 x n n x 2 2 x 1 1 ü n ü n-1 ü 2 ü 1 VA.... VA HA s n+1 s n s 2 s 1

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