Dipl.-Ing. Halit Ünver Datenbanken/Künstliche Intelligenz FAW/n. Zahlensysteme

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1 Dipl.-Ing. Halit Ünver 7.. Datenbanken/Künstliche Intelligenz FAW/n Zahlensysteme

2 Seite Zahlensysteme Dipl.-Ing. Halit Ünver 7.. Inhalt I. Informatik und Zahlen für Wirtschaftswissenschaftler? II. III. Zahlensysteme Zahlendarstellung im Rechner IV. Gleitkommazahlen

3 Seite 3 Zahlensysteme Dipl.-Ing. Halit Ünver 7.. Teil I: Informatik und Zahlen für WiWi s

4 Seite 4 Zahlensysteme Dipl.-Ing. Halit Ünver 7.. Teil II : Zahlensysteme Modell Wirklichkeit Die einfachste Form der Darstellung einer Zahl 7 5 Basis-Zahlendarstellung zahl Σ a i b i n i Die wird unbedingt benötigt! die Basis b ist aus den natürlichen Zahlen die Ziffer a i ist aus den natürlichen Zahlen a i b- die Darstellung ist eindeutig Schreibweise: zahl (a n... a ) b Beispiel: (4) 3 4

5 Seite 5 Zahlensysteme Dipl.-Ing. Halit Ünver 7.. Teil II : Zahlensysteme Operationen: Summe, Differenz, Produkt, Quotient, Potenz etc. Vorteil: Nachteil: Algorithmus trivial für Strichdarstellung Man hängt die einen Striche an die anderen Striche. (oder z.b. Wegstreichen) Hoher Aufwand, Ergebnis schwer nutzbar.

6 Seite 6 Zahlensysteme Dipl.-Ing. Halit Ünver 7.. Teil II : Zahlensysteme (Übung - Zählen) Zählen in verschiedenen Zahlensystemen -er System: 3-er System: 4-er System: 7-er System: -er System:

7 Seite 7 Zahlensysteme Dipl.-Ing. Halit Ünver 7.. Teil II: Zahlensysteme Addition a n b n a n- b n- a b a b a nb n a n-b n- a b a b ü s b s b ü, falls a a < b, falls a a b s a a, falls a a < b (a a )-b, falls a a b

8 Seite 8 Zahlensysteme Dipl.-Ing. Halit Ünver 7.. Teil II : Zahlensysteme Addition

9 Seite 9 Zahlensysteme Dipl.-Ing. Halit Ünver 7.. Teil II : Zahlensysteme Addition Übertrag ist immer oder Addieren von Zahlen 3-er Addition, von denen eine nur aus -en und -en besteht Additionstabelle 5-er System

10 Seite Zahlensysteme Dipl.-Ing. Halit Ünver 7.. Teil II : Zahlensysteme Additionstabelle -er System A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A A B B B A

11 Zahlensysteme Dipl.-Ing. Halit Ünver 7.. Seite Teil II : Zahlensysteme Multiplikation

12 Seite Zahlensysteme Dipl.-Ing. Halit Ünver 7.. Teil II : Zahlensysteme Multiplikationstabelle -er System

13 Seite 3 Zahlensysteme Dipl.-Ing. Halit Ünver 7.. Teil II: Zahlensysteme Multiplikationstabelle 5-er System Kleiner, einfacher als Tabelle im -er System

14 Seite 4 Zahlensysteme Dipl.-Ing. Halit Ünver 7.. Teil II: Zahlensysteme (Übung: Addieren) (34)7 (4)7 ()3 ()3 (3)6 (345)6 (3)4 (3)4 (A5A5)6 (FF)6

15 Seite 5 Zahlensysteme Dipl.-Ing. Halit Ünver 7.. Teil II : Zahlensysteme (Übung: Multiplikation) (3)4 x (3)4 ()3 x ()3 (3)6 x (345)6 (3)4 x (3)4 (555)7 x (666)7

16 Seite 6 Zahlensysteme Dipl.-Ing. Halit Ünver 7.. Teil III : Zahlendarstellung im Rechner Für Informatik besonders wichtig: -er System Vorteil: nur noch und ; gut identifizierbare und technisch realisierbare Zustände (Strom fließt vs. Strom fließt nicht, positive Frage: 3 (?) 3 3 5

17 Seite 7 Zahlensysteme Dipl.-Ing. Halit Ünver 7.. Teil III : Zahlendarstellung im Rechner Additionstabelle -er System Die grün gekennzeichneten Fälle erzeugen einen Übertrag ()

18 Seite 8 Zahlensysteme Dipl.-Ing. Halit Ünver 7.. Teil III : Zahlendarstellung im Rechner Konvertierung (377) (?) : : : : Rest Rest Rest Rest Ergebnis: Rückwärtsanordnung der Reste, d.h. ( ) (377) 3 : Rest 5 : : 5 Rest Rest Probe, d.h. Konvertierung vom -er System in -er System : : Rest Rest Stop bei

19 Seite 9 Zahlensysteme Dipl.-Ing. Halit Ünver 7.. Teil III : Zahlendarstellung im Rechner Digitalrechner sind endlich! Häufig werden 3 bit, d.h. 3 Dualstellen bereitgestellt Kleinste Zahl ( ) () Größte Zahl ( ) ( ) Größere Zahlenbereiche als der 3 bit sind möglich z.b. 48 bit oder 64 bit Summer, Produkt darstellbarer Zahlen ist u.u. nicht mehr darstellbar ( Overflow ) Bsp.: nur 4 bits? > Summe nicht ausführbar!

20 Seite Zahlensysteme Dipl.-Ing. Halit Ünver 7.. Teil I : Zahlensysteme (Übung: Konvertierung) (57) (?) (6) (?) (4) (?)8 () (?) (4F5B)6 (?) (4876) (?)6

21 Seite Zahlensysteme Dipl.-Ing. Halit Ünver 7.. Teil III : Zahlendarstellung im Rechner Negative Zahlen und Subtraktion. (signed integer) Ein Bit wird als Vorzeichen reserviert. Dann sind nun weniger Bits zur eigentlichen Zahlendarstellung (Betragsdarstellung) verfügbar. Typischerweise wird das Bit ganz links als Vorzeichen verwendet. Vorzeichenbit Vorzeichenbit Beispiel: ( ) 4 ( ) 4 Darstellbarkeit negativer Zahlen erscheint in Ordnung

22 Seite Zahlensysteme Dipl.-Ing. Halit Ünver 7.. Teil III : Zahlendarstellung im Rechner Negative Zahlen und Subtraktion a.) (Signed Integer) Problem: ( 9) ( 4) ( 3) Problem: ( ) ( ) > Die hat zwei Darstellungen

23 Seite 3 Zahlensysteme Dipl.-Ing. Halit Ünver 7.. Teil III : Zahlendarstellung im Rechner Negative Zahlen und Subtraktion -er Komplement (Bedeutet Ergänzung) Idee: Löse das Problem rückwärts! Finde zu irgendeiner Binärzahl, z.b. eine Binärzahl, so dass deren Summe ist. (Beschränkung auf 8 Bit)?

24 Seite 4 Zahlensysteme Dipl.-Ing. Halit Ünver 7.. Teil III : Zahlendarstellung im Rechner Negative Zahlen und Subtraktion b.) -er Komplement. Beobachtung:. Beobachtung: Die zu addierende Zahl ist das Komplement der ursprünglichen Zahl bis auf die letzte Stelle. Es entsteht eine neue Stelle. ignorieren Komplement:

25 Seite 5 Zahlensysteme Dipl.-Ing. Halit Ünver 7.. Teil III : Zahlendarstellung im Rechner Negative Zahlen und Subtraktion b.) -er Komplement Reine Komplementbildung Reine Komplementbildung Addition von Addition von

26 Zahlensysteme Dipl.-Ing. Halit Ünver 7.. Seite 6 Teil III : Zahlendarstellung im Rechner Negative Zahlen und Subtraktion b.) -er Komplement Beispiel: (3 9). Schritt: Bildung des -er Komplements von 9 -er Komplement von (9)

27 Seite 7 Zahlensysteme Dipl.-Ing. Halit Ünver 7.. Teil III : Zahlendarstellung im Rechner Negative Zahlen und Subtraktion b.) -er Komplement. Schritt: Addition von 3 und dem -er Komplement von 9 (3) -er Komplement von (9) (4) ignorieren des Übertrags!

28 Seite 8 Zahlensysteme Dipl.-Ing. Halit Ünver 7.. Teil III : Zahlendarstellung im Rechner Negative Zahlen und Subtraktion b.) -er Komplement von 8-bit Zahlen Subtraktion Addition mit -er Komplement -er Komplement entspricht Addition ohne Überträge Reines Komplement Ziffernweise/Bitweise Negation Überträge ignorieren Diese beiden Zahlen sind die reinen Komplemente voneinander. Es wird stets diese Zahl zum Binärmuster addiert.

29 Seite 9 Zahlensysteme Dipl.-Ing. Halit Ünver 7.. Teil III : Zahlendarstellung im Rechner Negative Zahlen und Subtraktion Multiplikationen beim -er Komplement werden in dieser Vorlesung (Übungen, Tutorien, Klausur) auch nicht behandelt.

30 Seite 3 Zahlensysteme Dipl.-Ing. Halit Ünver 7.. Teil III : Zahlendarstellung im Rechner (Übung) (-) (?) (9) (?) (-76) (?)

31 Seite 3 Zahlensysteme Dipl.-Ing. Halit Ünver 7.. Teil IV: Gleitkommazahlen Beispiel:,375 < 6 4,, , 3,375 < 4, 3,375,,375,,375 <,5 -,,375,5,5,5,5, Ergebnis: (, ),

32 Seite 3 Zahlensysteme Dipl.-Ing. Halit Ünver 7.. Teil IV: Gleitkommazahlen Bisher: 3 3 Jetzt: 7 : 4 Rest 3 3 : 4 7 Rest geliehen : 4 5 Rest geliehen.75 Man muss die Stelle markieren, an der man begonnen hat, sich Stellen auszuleihen. Einführung des Kommas Basiszahlendarstellung : { 7 5 { {

33 Seite 33 Zahlensysteme Dipl.-Ing. Halit Ünver 7.. Teil IV: Gleitkommazahlen Normierung: ,45, ,,3,3-3,3 - Ob auf x,xxx oder,xxxx normiert wird ist letztendlich eine willkürliche Festlegung standardmäßig auftretender Fall:,xxxxx oder,xxxxx

34 Seite 34 Zahlensysteme Dipl.-Ing. Halit Ünver 7.. Teil IV: Gleitkommazahlen Darstellung: Wieder basierend auf dem er System. Aufteilung eines Bereiches für die Nachkommazahlen (bestimmte Anzahl von Stellen / Bits als Genauigkeit) und eines Bereiches für den Exponenten. Mantisse Exponent Vorzeichen der Mantisse Vorzeichen des Exponenten

35 Seite 35 Zahlensysteme Dipl.-Ing. Halit Ünver 7.. Teil IV: Gleitkommazahlen Hidden Bit : Um Platz zu sparen, hat man sich daher entschieden, das erste Bit einzusparen und einfach anzunehmen, dass es auf gesetzt ist. (so genanntes hidden Bit ) Die restliche Mantisse hat daher Bit mehr zur Verfügung.

36 Seite 36 Zahlensysteme Dipl.-Ing. Halit Ünver 7.. Teil IV: Gleitkommazahlen Konsequenzen: negative overflow negative underflow Null ausdrückbare negative Zahlen positive underflow ausdrückbare positive Zahlen positive overflow jede Gleitkommazahl repräsentiert ein Intervall der reellen Zahlen; als Intervall wächst mit zunehmendem Betrag der Zahl, d.h. die Dichte der Repräsentation nimmt mit zunehmendem Betrag der Zahl ab Eine Abschätzung des Einflusses der Ungleichverteilung der Repräsentanten auf die Rechenoperationen ist nicht trivial Behandlung von overflow / underflow, Null, undefiniert?

37 Seite 37 Zahlensysteme Dipl.-Ing. Halit Ünver 7.. Teil III : Gleitkommazahlen (Übung) (.6) (?) π (?), mit π ( )

38 Seite 38 Zahlensysteme Dipl.-Ing. Halit Ünver 7.. Umrechnung von Zahlensystemen Link: