N Bit Darstellung von Gleitkommazahlen

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1 N Bit Darstellung von Gleitkommazahlen Normalisierte, wissenschaftliche Darstellung zur Basis 2. Beispiel: Allgemein: Sign and Magnitude Darstellung für beispielsweise 32 Bits: (s=0 für + und s=1 für ) s exponent fraction 1 Bit 8 Bits 23 Bits Tradeoff: Viele Fraction Bits: hohe Genauigkeit der Fraction Viele Exponent Bits: großer darstellbarer Zahlenbereich Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 97

2 Beispiel s exponent fraction 1 Bit 8 Bits 23 Bits Was ist der Dezimalwert x des folgenden Bit Strings? Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 98

3 Wertebereiche, Overflow und Underflow s exponent fraction 1 Bit 8 Bits 23 Bits Kleinste darstellbare Zahl annähernd 2,0 * Größte darstellbare Zahl annähernd 2,0 * Was, wenn die darzustellende Zahl außerhalb dieses Bereichs ist? Overflow: Zahl zu groß (Exponent ist zu groß um im Exponent Feld darstellbar zu sein) Underflow: Zahl zu klein (Negativer Exponent ist zu groß um im Exponent Feld darstellbar zu sein) Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 99

4 Beispiel: Single Precision Double Precision Double und Single Precision Insgesamt 32 Bits s exponent fraction 1 Bit 8 Bits 23 Bits Insgesamt 64 Bits s exponent fraction 1 Bit 11 Bits 52 Bits Double Precision hat höhere Genauigkeit der Fraction und mit größerem Exponent auch einen größeren darstellbaren Zahlenbereich. Double Precision in diesem Beispiel: Kleinste darstellbare Zahl annähernd 2,0 * Größte darstellbare Zahl annähernd 2,0 * Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 100

5 Der Zahlenformatstandard IEEE 754 Single Precision Double Precision Insgesamt 32 Bits s exponent fraction 1 Bit 8 Bits 23 Bits Insgesamt 64 Bits s exponent fraction 1 Bit 11 Bits 52 Bits Bit Aufteilungen in dieser Form sind in IEEE 754 spezifiziert. Betrachte die wissenschaftliche, normalisierte Darstellung: [+ oder ] 1,xxxxxxxx * 2 yyyy Beobachtung: die 1 vor dem Komma ist redundant. Somit: Bei IEEE 754 wird die 1 implizit angenommen und in fraction nicht codiert. fraction speichert nur Nachkommastellen. Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 101

6 Beispiel s exponent fraction 1 Bit 8 Bits 23 Bits Es sei die 1 vor dem Komma implizit angenommen. Fraction speichere damit nur die Nachkommastellen. Was ist der Dezimalwert x des folgenden Bit Strings? Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 102

7 Weitere Eigenschaften von IEEE 754 Unterscheidung von Fraction und 1+Fraction in der Darstellung ( 1) S * (1 + Fraction) * 2 Exponent 1+Fraction wird als Significant (deutsch: Mantisse) bezeichnet. Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 103

8 Motivation für eine geeignete Exponent Darstellung Annahme: Exponent wäre mit Zweierkomplement dargestellt. Wie macht man einen Größer Kleiner Vergleich der folgenden beiden Zahlen? Zahl 1: Zahl 2: Vergleiche erst mal die Vorzeichenbits. Bei unterschiedlichen Vorzeichenbits ist der Vergleich beendet. 2. Vergleiche die Exponenten. Ist einer größer als der andere, ist der Vergleich beendet. (Signed Vergleich) 3. Vergleiche die Fractions. (Unsigned Vergleich) Kann man Schritt 2 und 3 in einem durchführen? Kleinster Exponent müsste und größter Exponent müsste sein, dann könnte man Exponent und Fraction für einen Vergleich einfach konkatenieren. Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 104

9 Darstellung des Exponenten in Biased Notation Erinnerung: Biased Notation (hier mit 8 Bit und Bias 127): = -127 (0-Bias = -127) = -126 (1-Bias = -126) = -1 (126-Bias = -1) = 0 (127-Bias = 0) = 1 (128-Bias = 1) = 127 (254-Bias = 127) = 128 (255-Bias = 128) Zusammengefasst: Der Wert x einer Zahl in IEEE 754 Darstellung ist (Single Precision (8 Bit Exponent) Bias=127, Double Precision (11 Bit Exponen) Bias=1023) Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 105

10 IEEE 754 Encoding Wie stellt man im IEEE 754 Format eigentlich die 0 dar!? ( 1) S * (1 + Fraction) * 2 (Exponent Bias) Single Precision (Bias=127) Double Precision (Bias=1023) Dargestelltes Objekt Exponent Fraction Exponent Fraction Nicht Null 0 Nicht Null (+/ Denormalised Number) 1bis 254 Beliebig 1 bis 2046 Beliebig +/ Gleitkommazahl / Unendlich 255 Nicht Null 2047 Nicht Null NaN (Not a Number) Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 106

11 Quiz Betrachte IEEE 754 Single Precision, also Bias = 127. Was ist der Dezimalwert der folgenden Binärzahl? ( 1) S * (1 + Fraction) * 2 (Exponent Bias) Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 107

12 Quiiiiz Bestimme S, Fraction und Exponent der IEEE 754 Single Precision Repräsentation (also Bias = 127) der Dezimalzahl ( 1) S * (1 + Fraction) * 2 (Exponent Bias) Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 108

13 Gleitkommaarithmetik Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 109

14 Gleitkommaarithmetik Addition von binären n Bit Gleitkommazahlen Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 110

15 Vorüberlegung Addition mit gleichem Exponent (Nachkomma mit 4 Bits kodiert): Addition mit unterschiedlichen Exponenten (Nachkomma 4 Bits): Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 111

16 Vorüberlegung Ergebnis muss unter Umständen wieder normalisiert werden: Bei Einschränkung auf n Bit (z.b. Nachkomma auf 4 Bit eingeschränkt) kann dies anschließendes Auf bzw. Abrunden erfordern. Beispiel: Runden nach der Schulmethode Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 112

17 Vorüberlegung Das Runden kann ggf. neues Normalisieren erforderlich machen: Normalisierungen können Overflows und Underflows hervorrufen. Beispiel: IEEE 754 Single Precision erlaubt Exponenten von 126 bis 127. Somit ist zum Beispiel: Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 113

18 Additionsalgorithmus 2 Beispiele: 4 Bit für die Mantisse und 8 Bit für den Exponenten. Start (1) (2) Beispiel 1 Beispiel 2 1,000 * 2 1 1,001 * ,110 * ,101 * 2 11 (1) Vergleiche Exponenten der beiden Zahlen. Shifte die kleinere Zahl nach rechts, so dass der Exponent mit dem Exponent der größeren Zahl übereinstimmt. (Mantissen Alignment) (2) Addiere die Mantissen. Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 114

19 Additionsalgorithmus 2 Beispiele: 4 Bit für die Mantisse und 8 Bit für den Exponenten. Beispiel 1 Beispiel 2 (2) 0,001 * ,001 * 2 11 (3) (3) Normalisiere die Summe, entweder durch Rechts Shift und hoch setzen oder durch Links Shift und runter setzen des Exponenten. Im Beispiel 8 Bit für den Exponenten. Overflow oder Underflow? ja nein Exception Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 115

20 Additionsalgorithmus 2 Beispiele: 4 Bit für die Mantisse und 8 Bit für den Exponenten. zurück nach (3) Beispiel 1 Beispiel 2 (3) 1,000 * 2 4 1,0001 * 2 12 (4) (4) Runde die Mantisse auf die verfügbare Anzahl Bits. Immer noch normalisiert? nein ja Fertig Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 116

21 Noch eine Bemerkung Betrachte die folgende binäre Floats mit 8 Bit Mantisse: x = 1, * 2 100, y = 1, * 2 100, z = 1, Was ist x + (y + z)? Was ist (x + y) + z? Somit ist x + (y + z) (x + y) + z, d.h. die Gleitkommaaddition ist nicht assoziativ! Quiz: Was ist die Konsequenz, wenn man x 1 + x x n parallel berechnen möchte? Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 117

22 Gleitkommaarithmetik Multiplikation von binären n Bit Gleitkommazahlen Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 118

23 Vorüberlegung Multiplikation von zwei beliebigen binären Floats in normalisierter Darstellung. Was ist der Exponent des Ergebnisses? Multiplikation der Mantissen. Wo kommt das Komma hin? Was ist das Vorzeichen v von x y? Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 119

24 Algorithmus Beispiel: 4 Bit für die Mantisse und 8 Bit für den Exponenten. (1) 1,101 * 2 1 1,100 * 2 2 Start (1) Addiere die Exponenten. (Subtrahiere Bias im Falle von Biased Notation ) Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 120

25 Algorithmus Beispiel: 4 Bit für die Mantisse und 8 Bit für den Exponenten. (1) Der Exponent ist 3 Die Mantissen sind: 1,101 und 1,100 (2) (2) Multipliziere die Mantissen. Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 121

26 Algorithmus Beispiel: 4 Bit für die Mantisse und 8 Bit für den Exponenten. (2) 10, * 2 3 (3) (3) Normalisiere das Produkt Falls notwendig. Normalisierung erfolgt durch Rechts Shift und erhöhen des Exponenten. Im Beispiel 8 Bit für den Exponenten. Overflow oder Underflow? ja nein Exception Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 122

27 Beispiel: 4 Bit für die Mantisse und 8 Bit für den Exponenten. (Eingabe: 1,101 * 2 1 1,100 * 2 2 ) Algorithmus (4) Runde die Mantisse auf die verfügbare Anzahl Bits. zurück nach (3) (3) 1, * 2 2 (4) Immer noch normalisiert? nein (5) ja (5) Setze Vorzeichen auf + wenn die Vorzeichen der Eingaben gleich waren. Sonst setze Vorzeichen auf. Fertig Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 123