Control Beispiel. Control wird als kombinatorische Schaltung realisiert. Hierzu die Wahrheitstabelle: Control

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1 Control Beispiel Store R1 4 Bit Register R1 SUB 4 Bit Register R2 Store R2 R2 Bit 0 Control wird als kombinatorische Schaltung realisiert. Hierzu die Wahrheitstabelle: Eingabe R2 Bit 0 Zero 0 0 Ausgabe Store R1 Store R2 Zero Control Control soll folgenden Algorithmus implementieren: wenn R2 gerade und R1-R2=0, dann R1 = 0 wenn R2 ungerade und R1-R2!=0, dann R2 = R1-R2 sonst R1 = R1-R2 Anhand der Wahrheitstabelle wird dann die Schaltung gebaut. Rückgekoppelte Register haben immer einen wohldefinierten Zustand, da Register nur zur Clock Flanke aktualisiert werden. Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 69

2 Darstellung von Algorithmen Grundlagen der Rechnerarchitektur Einführung 70

3 Pseudo Code Darstellungen Elementaranweisungen Variablenzuweisungen, z.b.: x = 42 Arithmetik, z.b.: y = 10 x = (42 + y) * 20 Das Symbol = beinhaltet implizit eine zeitliche Abfolge, damit ist z.b. sinnvoll: x = x + 1 Abkürzende Schreibweise für voriges Konstrukt: x++ Allgemein: als Elementaranweisung betrachten wir jede Anweisung, die auf der betrachteten Abstraktionsebene nicht weiter sinnvoll in eine Folge von einfacheren Anweisungen unterteilbar ist. Grundlagen der Rechnerarchitektur Assembler 71

4 Felder Felder für den Zugriff auf den Speicher, z.b.: A[] Zugriff auf ite Speicherstelle: A[i] Beispiel: 0x0f00 : 14 A[0] 0x0f01 : 15 A[1] 0x0f02 : 42 A[2] 0x0f03 : 43 A[3] x0f0f : 255 A[15] Grundlagen der Rechnerarchitektur Assembler 72

5 Sequenz von Elementaranweisungen Jedes Programm beginnt an einer Stelle und terminiert (hoffentlich) irgendwann. Start Im Flussdiagramm ist Beginn und Ende des Programms mit den ovalen Symbolen dargestellt. Im Beispiel also Start und Ende. Das einfachste Programm arbeitet einfach eine Sequenz von elementaren Anweisungen ab. Setze i auf i+1 Setze j auf 2*i usw. Im Flussdiagramm wird so eine Sequenz durch ein Rechteck dargestellt. Die Abarbeitungsrichtung des Programms wird durch die Pfeile gekennzeichnet. Ende Grundlagen der Rechnerarchitektur Assembler 73

6 If then else if then else am Beispiel: if(i<10) then <Code-Block 1> else <Code-Block 2> Ist i<10? ja nein Code Block 1 Code Block 2 Grundlagen der Rechnerarchitektur Einführung 74

7 Switch Statement Switch Statement am Beispiel: i=1? ja Code Block 1 switch(i) case 1: <Code-Block 1> case 2: <Code-Block 2>... defaut: <Code-Block n> nein i=2? nein... ja Code Block 2 Code Block n Grundlagen der Rechnerarchitektur Einführung 75

8 For Schleife For Schleife am Beispiel: for(i=0; i<10; i++) { <das innere der Schleife> } Bedeutet: Initialisiere i mit 0 Führe das innere der Schleife aus Erhöhe i um eins Wiederhole wenn immer noch i<10 Start Setze i auf 0 Ist i<10? ja Innere der Schleife nein Erhöhe i um 1 Ende Grundlagen der Rechnerarchitektur Assembler 76

9 While Schleife While Schleife an Beispiel: Start i=0 while(i<10) { <das innere der Schleife> i++ } Bedeutet: Initialisiere i mit 0 Führe das innere der Schleife aus Erhöhe i um eins Wiederhole wenn immer noch i<10 Setze i auf 0 Ist i<10? ja Innere der Schleife Erhöhe i um 1 nein Ende Grundlagen der Rechnerarchitektur Assembler 77

10 Beispiel Gegeben seien die ganzzahligen Variablen n und m. Bestimme größtes k welches n k < m erfüllt: Grundlagen der Rechnerarchitektur Assembler 78

11 Multiplikation Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 79

12 Multiplikation nach der Schulmethode Gegeben seien die Binärzahlen A und B. Was ist a * b? Beispiel: Multiplikand A: Multiplikator B: * Produkt: Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 80

13 Maximale Länge des Ergebnisses Beobachtung: Multiplikand der Länge n Bits und Multiplikator der Länge m Bits ergibt Produkt einer Länge mit maximal n+m Bits. Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 81

14 Das Verfahren als Algorithmus 1 Addiere Multiplikand zum Produkt Beispiel für 4 Bit Zahlen Start Teste erstes Multiplikator Bit Shifte Multiplikand ein Bit nach Links Shifte Multiplikator ein Bit nach Rechts 5ter Durchlauf? ja Ende nein 0 Beispiel 1001*0101: * Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 82

15 Das Verfahren in Hardware Links Shift 8 Bit Multiplikand Demonstration mit 1001 * 0110 = Links Shift 8 Bit ALU Rechts Shift 4 Bit Multiplikator 3.Rechts Shift 8 Bit Produkt 1. Produkt = Produkt + Multiplikand, wenn Bit 0 des Multiplikators = 1 Control Test 4. Anzahl Durchläufe = 5 Ende Beispiel für 4 Bit Zahlen Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 83

16 Vorzeichenbehaftete Multiplikation Betrachte Multiplikand x und Multiplikator y. Sei x = x wenn x nicht negativ bzw. x = x sonst. Sei y = y wenn y nicht negativ bzw. y = y sonst. Berechne z = x * y. Ergebnis z = z wenn x und y nicht negativ oder x und y negativ, ansonsten ist z = z. Möglichkeit 2: Tausche im Verfahren der vorigen Folie das Produktregister mit einem vorzeichenbehafteten Rechts Shift Register aus. Bildquelle: David A. Patterson und John L. Hennessy, Computer Organization and Design, Fourth Edition, 2012 Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 84

17 Weitere Beschleunigungen Eine ALU für jede Summation x 3 *y x 2 *y 4 Bit ALU c s 3 s 2 s 1 s 0 x 1 *y 4 Bit ALU c s 3 s 2 s 1 s 0 x 0 *y 3 y 2 y 1 4 Bit ALU c s 3 s 2 s 1 s 0 x 0 *y 0 Beobachtung: (Y) * (X) = = = (Z) z 7 z 6 z 5 z 4 z 3 z 2 z 1 z 0 Beispiel für 4 Bit Zahlen Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 85

18 Weitere Beschleunigungen Parallele Organisation der ALUs in einen Binärbaum (keine weiteren Details hier) Jede ALU Operation verbrauche einen Taktzyklus. Wie viele Taktzyklen dauert die Multiplikation von 32 Bit Zahlen? Bildquelle: David A. Patterson und John L. Hennessy, Computer Organization and Design, Fourth Edition, 2012 Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 86

19 Division Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 87

20 Division nach der Schulmethode Gegeben seien die Binärzahlen A und B. Was ist a : b? Beispiel: Dividend Divisor Quotient : = Rest: Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 88

21 Shifte Quotient nach Links und setze dessen LSB=1. Beispiel für 4 Bit Zahlen Das Verfahren als Algorithmus 0 Start Subtrahiere Divisor vom Rest Teste Rest Shifte Divisor ein Bit nach Rechts 6ter Durchlauf? ja Ende <0 Restauriere den alten Rest. Shifte Quotient nach Links und setze dessen LSB=0. nein Beispiel 1001 : 10: Dvdt :Dvsr= Qtnt : 10 = Rest Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 89

22 Das Verfahren in Hardware Rechts Shift 8 Bit Divisor Demonstration mit 1001 : 0010 = 100 Rest 1 3. Rechts Shift Links Shift 4 Bit Quotient 8 Bit ALU 2. Links Shift; LSB=Rest wurde verändert 1. Rest=Rest Divisor, wenn Divisor < Rest 4. Anzahl Durchläufe = 6 Ende 8 Bit Rest Control Test Beispiel für 4 Bit Zahlen Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 90

23 Vorzeichenbehaftete Division Umgang mit dem Quotienten (analog wie für Multiplikation): Betrachte Divisor x und Dividend y (also: Quotient z von y:x). Sei x = x wenn x nicht negativ bzw. x = x sonst. Sei y = y wenn y nicht negativ bzw. y = y sonst. Berechne Quotient z von y : x. Ergebnis z = z wenn x und y nicht negativ oder x und y negativ, ansonsten ist z = z. Und was ist das Vorzeichen des Rests? Beispiel: Dividend : Divisor Quotient Rest Quotient * Divisor + Rest = Dividend 7 : * = 7-7 : * 2 1 = -7 7 : * = 7-7 : * -2 1 = -7 Also: Vorzeichen des Rests ist Vorzeichen des Dividend. Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 91

24 Gleitkommazahlen Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 92

25 Reelle Gleitkommazahlen Beispiel Kleine Zahl Große Zahl Wissenschaftliche Darstellung (eine Ziffer links des Kommas) Normalisierte Darstellung (keine führende Null) Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 93

26 Binäre Gleitkommazahlen Was ist der Dezimalwert der binären Gleitkommazahl 101,1001? Was bedeutet 11,011 * 2 2? Also: mit 2 i multiplizieren verschiebt das Komma um i Stellen nach rechts. Analog: mit 2 i multiplizieren verschiebt das Komma um i Stellen nach links. Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 94

27 Binäre Gleitkommazahlen Was ist die wissenschaftliche, normalisierte Darstellung der binären Gleitkommazahl zur dezimalen Gleitkommazahl 0,625? Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 95

28 Nebenbemerkung Betrachte die recht harmlose Dezimalzahl 0,8. Für die folgende unendliche Reihe rechnet man leicht nach: ( ) + ( ) + ( ) + ( ) +... = 4/5 = 0.8 Folglich ist die Binärdarstellung von 0.8 unendlich lang, nämlich: 0, Annahme wir speichern nur die ersten 32 Bits. Rechnet man in den Dezimalwert x zurück, dann ergibt sich: x = ( ) + ( ) + ( ) ( ) = / = 0, ,8 Oha, 0,8 ist scheinbar doch nicht so harmlos. Es gibt folglich Zahlen mit endlicher dezimaler Gleitkommadarstellung, die binär nicht mit endlicher Anzahl Bits darstellbar sind. Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 96

29 N Bit Darstellung von Gleitkommazahlen Normalisierte, wissenschaftliche Darstellung zur Basis 2. Beispiel: Allgemein: Sign and Magnitude Darstellung für beispielsweise 32 Bits: (s=0 für + und s=1 für ) s exponent fraction 1 Bit 8 Bits 23 Bits Tradeoff: Viele Fraction Bits: hohe Genauigkeit der Fraction Viele Exponent Bits: großer darstellbarer Zahlenbereich Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 97

30 Beispiel s exponent fraction 1 Bit 8 Bits 23 Bits Was ist der Dezimalwert x des folgenden Bit Strings? Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 98