Einführung in die Informatik I

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1 Einführung in die Informatik I Das Rechnen in Zahlensystemen zur Basis b=2, 8, 10 und 16 Prof. Dr. Nikolaus Wulff

2 Zahlensysteme Neben dem üblichen dezimalen Zahlensystem zur Basis 10 sind in der Informatik Systeme zur Basis 2, 8 und 16 gebräuchlich. Zahlen werden gebildet aus den einzelnen Ziffern (Symbolen) eines Alphabets. Die Anzahl der Elemente des Alphabets entspricht der jeweiligen Basis b. Die mit Hilfe dieser Symbole bildbaren Wörter w * werden mit dem Stellenwertverfahren des Zahlensystems auf die natürlichen Zahlen N abgebildet. Dasselbe Symbol a hat verschiedene Bedeutung. 2

3 Zahlendarstellung Zahlen sind Wörter (a n-1 a n-2...a 0 ) b * gebildet aus den b verschiedenen Zeichen des Alphabets. Zur Schreibweise gehört eine Interpretation innerhalb eines Stellenwertsystems zur Basis b: Darstellung einer vorzeichenlosen Ganzzahl zur Basis b a n 1 a n 2 a 1 a 0 b = j=0 n 1 a j b j und 0 a j b Achtung: Das Symbol wird auf der Folie in zwei Bedeutungen verwendet: 1) Der griechischer Buchstabe (Sigma) als Abkürzung für das Alphabet, bzw. * zur Kennzeichnung aller Wörter des Alphabets. 2) Als mathematisches Zeichen für die Summation. 3

4 Dezimalsystem Basis b=10 Benutze Symbole/Ziffern = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Interpretation: a n 1 a n 2 a 1 a 0 10 = j=0 n 1 a j 10 j Beispiel: (1011) 10 = = = eintausendelf 4

5 Binärsystem Basis b=2 Benutze Symbole/Ziffern = {0,1} Interpretation: a n 1 a n 2 a 1 a 0 2 = j=0 n 1 a j 2 j Beispiel: (1011) 2 = = = elf 5

6 Hexadezimalsystem Basis b=16 Symbole = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F} Interpretation: a n 1 a n 2 a 1 a 0 16 = j=0 n 1 a j 16 j Beispiel: (1011) 16 = = = viertausendeinhundertdreizehn 6

7 Oktalsystem Basis b=8 Symbole = {0,1,2,3,4,5,6,7} Interpretation: a n 1 a n 2 a 1 a 0 8 = j=0 n 1 a j 8 j Beispiel: (1011) 8 = = = fünfhunderteinundzwanzig 7

8 Rechnen im Stellenwertsystem Die Addition erfolgt ähnlich zum gewohnten Schulrechnen zur Basis 10: Der Überlauf passiert nicht bei der Zehn sondern der jeweilige Basis b: D6D B3A 16 8

9 Basiswechsel Offensichtlich sind neben der Basis 2, 8, 10 und 16 beliebig viele verschiedene Zahlensysteme möglich. Zahlen dürfen nicht einfach blind miteinander verglichen oder verarbeitet werden, wenn sie in unterschiedlichen Basen repräsentiert werden. Es ist daher wichtig geeignete Vorschriften zur Umrechnung von einer Basis p zur Basis q zu haben. Eine solche eindeutige Rechenvorschrift wird auch Algorithmus genannt. Algorithmen können von Hand oder besser noch vom Computer abgearbeitet/ausgeführt werden. 9

10 Basiswechsel bei b=2 k Soll zwischen den Basen 2, 8, 16 umgerechnet werden, so bietet die Darstellung b=2 k ein einfaches Verfahren mit Hilfe der Gruppierung nach 3 und 4 Bitfeldern an: 3 Bit bilden eine Oktalzahl = Ein Nibbel bildet eine Hexzahl ( ) (5 B 5 ) 16 5B5 16 = = =

11 Modulo-Division Dividiert man eine natürliche Zahl z N durch eine andere natürliche Zahl d 0 so ergibt sich ein Quotient q und ein Rest r. z=q d r z /d=q Rest r Diese Art der Modulo-Division mit Rest wird in der Informatik mit mod bezeichnet, um sie von der gewöhnlichen Division div zu unterscheiden. Die Menge N wird bei der Division nicht verlassen. Es gilt z. B. 9 div 3 = 3 jedoch 7 div 3 = 2, da keine natürliche Zahl ist. ( Q R N ) Es gilt die Beziehung: z = (z div d)*d + (z mod d) 11

12 Hornerschema Basiswechsel lassen sich effizient bestimmen mit der Darstellung nach dem Hornerschema zur Basis b: z= j=0 n 1 a j b j = a n 1 b a n 2 b a 2 b a 1 b a 0 Obige Zahl z geteilt durch b ergibt a n 1 b a n 2 b a 2 b a 1 Rest a 0 z weitere Division von z mit b ergibt a n 1 b a n 2 b b a 2 Rest a 1 d.h. jede weitere Division liefert eine weitere Ziffer der Darstellung zur Basis b, bis der Quotient Null ist. 12

13 Divisionsalgorithmus 1. Teile die Zahl z durch die Basis b und ermittele den Quotienten q und den Rest r. 2. Ist der Quotient q 0 setze z=q und fahre fort mit Die einzelnen Reste r k von rückwärts gelesen sind die Repräsentation von z= (r n r n-1...r 0 ) b in der Basis b :8=545 + Rest :8= 68 + Rest :8= 8 + Rest :8= 1 + Rest :8= 0 + Rest :16=272 + Rest :16= 17 + Rest :16= 1 + Rest :16= 0 + Rest = =

14 Umrechnung von b=10 nach b=2 k Zur Umrechnung einer Zahl z im Zehnersystem zur Basis 2 empfiehlt es sich diese zunächst in das Oktalsystem zu überführen (8 liegt dicht an 10) und dann jedes Oktalsymbol als 3-Bitzahl zu schreiben: z = = siehe vorhergehende Folie z = in 16 Bit Darstellung 14

15 Vorzeichenbehaftete Ganzzahlen z N Bis lang wurden nur natürliche Zahlen betrachtet, um auch negative Zahlen z Z darzustellen wird das höchste Bit v als Vorzeichenbit interpretiert: Darstellung einer Ganzzahl zur Basis 2 (v a n 2 a n 3 a 1 a 0 ) 2 Da ein Bit für das Vorzeichen verwendet wird gibt es bei gleicher Bitlänge, nur noch halb so viele positive Zahlen, im Vergleich zur Repräsentation ohne Vorzeichen. 15

16 Zweierkomplement Die Darstellung negativer Zahlen sind allerdings nicht im Stellenwertsystem codiert! Die naive Verallgemeinerung der Codierung ist falsch: (v a n 2 a n 3 a 1 a 0 ) 2 ( 1) v n 2 Es gäbe zwar gleich viele positive wie j=0 a j 2 j negative möglich darstellbare Zahlen, hätte aber zur Folge, dass es eine positive und eine negative Null gibt. Es wird daher eine unsymmetrische Codierung gewählt, das Zweierkomplement, es entsteht durch Invertierung aller Bit und Addition von Eins. 16

17 17 Darstellung im Zweierkomplement Bitfolge unsigned mögliche Interpretationen positiv negativ

18 Invertierung einer Binärzahl Eine Binärzahl wird invertiert, indem alle Nullen durch Einsen und alle Einsen durch Nullen ersetzt werden. x= j=0 n 1 a j 2 j x= j=0 n 1 1 a j 2 j Diese Invertierungsoperation lässt sich einfach in der Hardware einer CPU realisieren. x=0000 x =1111 x=0100 x =1011 x=0101 x=

19 Negative Binärzahlen Der Vorteil der Zweierkomplementdarstellung ist die einfache Berechenbarkeit durch Invertierung der Bitfolge und anschließende Addition von 1. x=x 1 Die Subtraktion zweier Zahlen lässt sich somit im Binärsystem auf einfache Addition zurückführen. x y = x y = x y 1 = x y 1 x=0100 x=1011 x 1=1100 x 19

20 Beispiel: Binäre Subtraktion 4 6=4 6 = = = = = Rechnung: oder Ergebnis: = 2 10 =

21 Gleitkommazahlen Mit Hilfe der Zweierkomplementdarstellung ist es möglich negative und positive Ganzzahlen x Z darzustellen. Gebrochene oder irrationale Zahlen lassen sich jedoch so nicht darstellen. Insbesondere gehen bei der Division zweier Ganzzahlen die Nachkommastellen verloren! Gleitkommaarithmetik: 19/10 = 1.9 ganzahlige Arithmetik: 19/10 = 1.(9) = 1 19/10 liefert 1 Rest 9 und die 9 wird nicht berücksichtigt! Um den Zahlenbereich von auf auszudehnen sind Nachkommastellen erforderlich. Z R 21

22 Idee der Gleitkommazahlen Darstellung von Gleitkommazahlen im Zehnersystem: v a n 1 a 0, a 1 a m 10 = 1 v n 1 j= m a j 10 j = Die Kommastelle lässt sich Durchschieben : = = = lässt sich zur Basis 10 darstellen als die Ganzzahl mit dem negativen Exponenten -3 oder als mit Exponent 2 ( Normalform ). v e a 1 a m 10 = 1 v 10 e j=1 (Vorzeichen, Exponent, Mantisse) m a j 10 j 22

23 Gleitpunktzahlen Gleitpunkzahlen werden zur Basis 2 dargestellt als: (v e a 1 a m ) 2 =( 1) v 2 e j=1 Gleitpunktzahlen werden als 4-Byte (einfache) oder 8-Byte Zahlen (doppelte Genauigkeit) codiert. Format nach Standard IEEE :... (Vorzeichen, Exponent, Mantisse) 4 Byte: 1-Bit, 8-Bit, 23-Bit 8 Byte: 1-Bit, 11-Bit, 52-Bit m a j 2 j -127 e e 1024 Bereich f d Beim Exponent e bias wird fest als bias 127 bzw zu e hinzugerechnet, so dass e bias intern als vorzeichenlose Ganzzahl verarbeitet wird und es gibt ein Hidden Bit. 23

24 Prinzip der Gleitpunktzahl Die Koeffizienten a j ergeben sich ähnlich den Ganzzahlen mit sukzessiver Multiplikation mit 2 j = = = = = = Probe: = = Durchschieben des Binärpunkts = = Achtung: Dies ist nicht das IEEE Format! 24

25 IEEE754-Gleitpunktzahl Im IEEE Format wird das erste signifikante Bit der Mantisse eingespart, um einen Faktor 2 im möglichen Zahlenbereich zu gewinnen das Hidden Bit = = Die erste 1 der Mantisse vor dem Komma wird nicht abgespeichert und der Exponent um den Bias 127 verschoben (=> vorzeichenloser Exponent): = = =2 ( ) = IEEE754 25

26 Darstellungsfehler Nicht alle Zahlen lassen sich exakt zu beliebiger Basis b darstellen und es kommt daher zu Fehlern. 1/3 = /3 = /10 = /5 = Probe: Fehler = = Achtung 3-Bit gehören in den Exponenten Bit Bit =

27 Fehlerabschätzung Mit der Darstellung x= 1 v 2 e m j=1 lässt sich der Quantisierungsfehler abschätzen zu: δ x =2 e j=m+1 x= 1 v 2 e j=1 δ x =( 1) v 2 e j=m+1 x= x+δ x a j 2 j a j 2 j a j 2 j 2 e j=m+1 Für e=0 ergibt sich für m=8, 12 und 16 die Abschätzung x , und und für m=23 und 52 x und a j 2 j j=m 1 a j 2 j 2 j = 2 e m 27

28 Zusammenfassung Darstellung natürliche Zahlen zu beliebiger Basis b. Übliche Zahlensysteme sind Binär-, Oktal- und Hexadezimal- sowie die bekannten Dezimalzahlen. Negative Zahlen erfordern ein Vorzeichenbit und werden durch die Zweikomplementdarstellung repräsentiert. Gleitpunktzahlen werden zur Basis 2 dargestellt mit Angabe von Vorzeichen, Exponent und Mantisse. Nicht alle Gleitpunktzahlen lassen sich zur Basis 2 exakt genau darstellen. Z.B. alle Zahlen 1/p mit p Primzahl>2. 28

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