Zahlensysteme Dezimal-System

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1 Zahlensysteme Dezimal-System Zahlenvorrat: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Mögliche unterschiedliche Zeichen pro Stelle:10 Basis: 10 Kennzeichnung: Index 10 oder D (dezimal) Wertigkeit Wert Beispiel Rechnung 5x x x x x x10 0 = (D) Dual-System Zahlenvorrat: 0,1, Mögliche unterschiedliche Zeichen pro Stelle:2 Basis: 2 Kennzeichnung: Index 2 oder B (binär) Wertigkeit Wert Beispiel Rechnung 1x x x x x x2 0 = 50 (D) 4er-System Zahlenvorrat: 0,1,2,3 Mögliche unterschiedliche Zeichen pro Stelle:4 Basis: 4 Kennzeichnung: Index 4 Wertigkeit Wert Beispiel Rechnung 0x x x x x x4 0 = 621 (D) 5er-System Zahlenvorrat: 0,1,2,3,4 Mögliche unterschiedliche Zeichen pro Stelle:5 Basis: 5 Kennzeichnung: Index 5 Wertigkeit Wert Beispiel Rechnung 0x x x x x x5 0 = 2371 (D) S e i t e 1 8

2 8er-Oktal-System Zahlenvorrat: 0,1,2,3,4,5,6,7 Mögliche unterschiedliche Zeichen pro Stelle:8 Basis: 8 Kennzeichnung: Index 8 oder o (Oktal) Wertigkeit Wert Beispiel Rechnung 0x x x x x x8 0 = 943 (D) 16er- Hexadezimalimal-System Zahlenvorrat: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F Mögliche unterschiedliche Zeichen pro Stelle:16 Basis: 16 Kennzeichnung: Index 16 oder H (hexadezimal) Wertigkeit Wert Beispiel 0 1 A 0 9 B Rechnung 0x x x x x x16 0 = Hilfezeile (D) S e i t e 2 8

3 Divisionsverfahren: Anwendung: 10er System in jedes andere Zahlensystem Beispiel: Umwandlung in Binärsystem 1. Teile die Zahl mit Rest durch Der Divisionsrest ist die nächste Ziffer (von rechts nach links). 3. Falls der (ganzzahlige) Quotient = 0 ist, bist du fertig, 4. andernfalls nimm den (ganzzahligen) Quotienten als neue Zahl und wiederhole ab (1) 1234 : 2 = 617 Rest : 2 = 308 Rest : 2 = 154 Rest : 2 = 77 Rest 0 77 : 2 = 38 Rest 1 38 : 2 = 19 Rest 0 19 : 2 = 9 Rest 1 9 : 2 = 4 Rest 1 4 : 2 = 2 Rest 0 2 : 2 = 1 Rest 0 1 : 2 = 0 Rest (10)= (2) Beispiel: Umwandlung in Hexadezimalsystem 1. Teile die Zahl mit Rest durch Der Divisionsrest ist die nächste Ziffer (von rechts nach links). 3. Falls der (ganzzahlige) Quotient = 0 ist, bist du fertig, 4. andernfalls nimm den (ganzzahligen) Quotienten als neue Zahl und wiederhole ab (1) 5116 : 16 = 319 Rest 12 =C 319 : 16 = 19 Rest 15 =F 19 : 16 = 1 Rest 3 1 : 16 = 0 Rest (10)=13FC(16) S e i t e 3 8

4 Potenzwertverfahren: Anwendung: Jedes andere Zahlensystem ins 10er System Beispiel:2-er System in 10er System 1. Wir schreiben eine Tabelle mit den 2er Potenzen und ihrem entsprechenden Wert. 2. Nun tragen wir die Binärzahl in die entsprechende Tabelle. 3. Wir Multiplizieren den Binärwert mit dem Dezimalwert. z.b. 2048x1= Wir Summieren die erhaltenen Werte Stelle Wertigkeit Dezimal Wert Binärwert (b) Rechnung = 3189 (D) Beispiel: 16-er System in 10er System 1. Wir schreiben eine Tabelle mit den 16er Potenzen und ihrem entsprechenden Wert. 2. Nun tragen wir die Binärzahl in die entsprechende Tabelle. 3. Wir Multiplizieren den Hexadezimalwert mit dem Dezimalwert. z.b. 9x16= Wir Summieren die erhaltenen Werte Wertigkeit Wert Beispiel 0 1 A 0 9 B 01A09B (h) Rechnung 0x x x x x x16 0 = Hilfezeile (D) S e i t e 4 8

5 Direkte Umwandlungen: 2-er System in 16er System Jeweils 4 Binärstellen entsprechen einer Hexadezimalstelle, denn 16 = 2 4. Daher lässt sich dieses System ohne Umweg direkt und stellenweise umwandeln: Unterteile die Binärzahl von rechts nach links in 4er- Päckchen, und wandle jedes Päckchen nach nebenstehender Tabelle in die entsprechende Hexadezimalziffer um ( 2)= 49A02( 16) A er System in 2er System Wandle die Hexadezimalziffern der Reihe nach gemäss nebenstehender Tabelle in die entsprechenden vierstelligen Binärzahlen um. 4 9 A er System in 8 er System Jeweils 3 Binärstellen entsprechen einer Oktal Stelle, denn 8 = 2 3. Daher lässt sich dieses System ohne Umweg direkt und stellenweise umwandeln: Unterteile die Binärzahl von rechts nach links in 3er-Päckchen, und wandle jedes Päckchen nach nebenstehender Tabelle in die entsprechende Hexadezimalziffer um. (Das ganz links stehende Packet kann allenfalls mit Nullen aufgefüllt werden) ( 2)= ( 8) er System in 2er System Wandle die Oktal Ziffern der Reihe nach gemäss nebenstehender Tabelle in die entsprechenden vierstelligen Binärzahlen um Binär Oktal S e i t e 5 8

6 2er System in 4 er System Jeweils 2 Binärstellen entsprechen einer Oktal Stelle, denn 4 = 2 2. Daher lässt sich dieses System ohne Umweg direkt und stellenweise umwandeln: Unterteile die Binärzahl von rechts nach links in 2er-Päckchen, und wandle jedes Päckchen nach nebenstehender Tabelle in die entsprechende Hexadezimalziffer um. (Das ganz links stehende Packet kann allenfalls mit Nullen aufgefüllt werden) ( 2)= ( 4) Binär 4er er System in 2er System Wandle die Oktal Ziffern der Reihe nach gemäss nebenstehender Tabelle in die entsprechenden vierstelligen Binärzahlen um S e i t e 6 8

7 Zahlensystem Umwandlungsmöglichkeiten Wertigkeit im 2er Zahlensystem X X^16 X^15 X^14 X^13 X^12 X^11 X^10 X^9 X^8 X^7 X^6 X^5 X^4 X^3 X^2 X^1 X^ Wertigkeiten anderer Zahlensysteme Wertigkeit Stelle X X^9 X^8 X^7 X^6 X^5 X^4 X^3 X^2 X^1 X^ S e i t e 7 8

8 Rechnen mit Anderen Zahlensystemen Addition von Dualzahlen Bei der Addition von Dualzahlen gelten im Prinzip die gleichen Regeln, wie bei der Addition von Dezimalzahlen. Übersteigt die Addition an einem Stellenwert den höchstmöglichen Stellenwert, dann erfolgt ein Übertrag in der nächsten Stelle. Rechenregeln = = = = Übertrag = Übertrag Beispiel = = 154 Ü = = 598 Addition von Hexadezimalzahlen Am besten nimmt man eine Tabelle mit dem Hexadezimalsystem daneben. z.b. Haben viel ASCI- Tabellen auch eine Hex-Tabelle integriert. 1 2 A B C C B A Ü B Schritt: C + A => C=12+A=10 =>22(d)=16(h) 2. Schritt: B+B+1 => =23(d)=17(h) 3. Schritt: A+C+1 => =23(d)=17(h) 4. Schritt: 2+8+1=>11(d)=B 5. Schritt: 1+3=>4 S e i t e 8 8

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