Über Zahlensysteme und das Rechnen mit Hexadezimalzahlen

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1 Über Zahlensysteme und das Rechnen mit Hexadezimalzahlen Zu Risiken und Nebenwirkungen fragen Sie Zahlen und das Dezimalsystem Es gibt verschiedene Arten, Zahlen aufzuschreiben. Es gibt zunächst einmal verschiedene Zahlzeichen wie chinesische (die ich natürlich alle auswendig kenne und nur wegen WORD- Problemen hier nicht aufschreibe), römische oder arabische. Wir benutzen üblicherweise die arabischen Zahlzeichen (oder Ziffern) 0, 1, 2,..., 8, 9. Stellenschreibweise im Zehnersystem (Dezimalsystem) Dazu gibt es verschiedene Zahlensysteme, das sind sozusagen Verabredungen, was die Ziffern einer Zahl bedeuten, auf welche Größen sie sich beziehen. Im dezimalen Zahlensystem werden die zehn verschiedenen Ziffern 0, 1, 2,..., 8, 9 in der sogenannten Stellenschreibweise eingesetzt. Was heißt das? Das ist sozusagen eine abkürzende Schreibweise, bei der man eigentlich wissen muß, auf welches Zahlensystem man sich bezieht. Steht nichts dabei, geht man stillschweigend davon aus, dass das Zehnersystem gemeint ist. Man beschreibt den Wert einer Zahl dadurch, dass man Stelle für Stelle aufschreibt, aus wievielen Einern (10 hoch 0 = 10^0), Zehnern (10^1), Hundertern (10^2), Tausendern (10^3) usw. sie besteht. Weil alle diese Basiszahlen 1, 10, 100, 1000, usw. Potenzen von 10 sind, nennt man diese ganze Art, Zahlen aufzuschreiben, das Zehner- oder Dezimalsystem (lat. decem = zehn). Natürlich muß man festlegen und streng befolgen, welche Stelle für welche Zehnerpotenz steht. Das gilt auch für das Dual- und Hexadezimalsystem. Ganz rechts steht immer die Basiszahl 10( oder 2 oder 16) hoch Null, eins weiter links die Basiszahl hoch eins usw. Man könnte demnach verbal zu 5423 auch sagen: 5 Tausender und 4 Hunderter und 2 Zehner und 3 Einer. Weiß man etwa von der Zahl 5423, dass sie bezüglich des Dezimal- oder Zehnersystems aufgschrieben ist, so kann man sie also ausführlicher aufschreiben; 5423 bedeutet eigentlich 5*10^3 + 4*10^2 + 2*10^1 + 3*10^0 = 5* * *10 + 3*1 = =

2 Eindeutigkeit Damit die Schreibweise einer Zahl im Zehnersystem eindeutig ist, beschränkt man sich auf die Ziffern 0 bis 9. Würde man etwa eine Ziffer A mit dem Wert 10 hinzunehmen, so könnte man z.b. die Zahl mit dem Wert 20 auf zwei verschiedene Arten aufschreiben, nämlich: 2*10^1 + 0*10^0 = 2*10 + 0*1, in Stellenschreibweise also 20 (2 Zehner und 0 Einer), oder: 1*10^1 + A*10^0 = 1*10 + A*1, in Stellenschreibweise also 1A (1 Zehner und A Einer = 10 Einer). Die Zahl 20 hätte also denselben Wert wie die Zahl 1A ; das liegt daran, dass 10 (oder A) Einer genausoviel sind wie ein Zehner. Man will einfach nicht, dass so etwas passiert; es wäre ja auch völlig überflüssig! Und deshalb wählt man nur die Ziffern, die kleiner als die Basiszahl hier also 10 - sind, und sobald man beim Addieren solcher Ziffern die Basiszahl (hier 10) erreicht oder überschreitet, springt man eine Stelle weiter: statt 17 Einern schreibt man eben 7 Einer und 1 Zehner; 10 Zehner sind wieder 1 Hunderter und so weiter; das nennt man Übertrag. Andererseits sind die Ziffern 0 bis 9 schon nötig, denn sonst könnte man nicht alle Zahlen auf die verabredete Art darstellen. 2. Dual- und Hexadezimalsystem Zahlen im Zweiersystem (Dualsystem) und ihre Umwandlung in Dezimalzahlen Mit dem Zweiersystem (Dualsystem, lat. duo = zwei) und dem Sechzehnersystem (Hexadezimalsystem, griech. Hex... = sechs) geht das im Prinzip genauso, nur wählt man als Basis für die Stellenschreibweise von Zahlen nicht die Vielfachen von 10, sondern die Vielfachen von 2 (dual), also 2^0 = 1, 2^1 = 2, 2^2 = 4, 2^3 = 8, 2^4 = 16, 2^5 = 32,..., 2^12 = 4096 usw. oder eben die Vielfachen von 16 (hexadezimal), also 2

3 16^0 = 1, 16^1 = 16, 16^2 = 256, 16^3 = 4096 usw... Schreibt man eine Zahl also in der Stellenschreibweise bezüglich des Zweiersystems (Dualsystems) und nicht bezüglich des Zehnersystems (Dezimalsystems) auf, dann gibt man eben nicht an, aus wievielen Einern, Zehnern, Hundertern usw. sie besteht, sondern aus wievielen Einern, Zweiern, Vierern, Achtern, Sechzehnern, Zweiunddreißigern usw. diese Zahl besteht; und im Sechzehnersystem (Hexadezimalsystem) eben, aus wievielen Einern, Sechzehnern, 256ern usw. Die Einer müssen natürlich immer dabei sein, und man bekommt sie auch immer (Basiszahl hoch Null). Ein Beispiel: Nimmt man die Zahl, die aus 7 Einern und 4 Zehnern besteht, dezimal also 47, kann man sie auch beschreiben, indem man sagt, aus wievielen Einern, Zweiern, Vierern, Achtern usw. sie besteht und schreibt sie so als Dualzahl, also im Zweiersystem auf: = 1*2^5 + 0*2^4 + 1*2^3 + 1*2^2 + 0*2^1 + 1*2^0 (Dualschreibweise) = 1*32 + 0*16 + 1*8 + 1*4 + 0*2 + 1*1 = = 47 ( = 4*10^1 + 7*10^0 ) (Dezimalschreibweise) Und schon haben wir eine Zahl in Dualschreibweise (Dualzahl) übergeführt in ihre Dezimalschreibweise (Dezimalzahl); der Wert der Zahl ist derselbe, nur die Schreibweise ist anders. Das kann man offensichtlich mit jeder dual aufgeschriebenen Zahl so machen. Man schreibt die Zahl ausführlich und rechnet einfach zusammen. Wegen der Eindeutigkeit (s.o.) braucht man im Dualsystem also genau zwei Ziffern, nämlich 0 und 1. Zahlen im Sechzehnersystem (Hexadezimalsystem) und ihre Umwandlung in Dezimalzahlen Im Hexadezimalsystem dagegen braucht man genau 16 verschiedene Ziffern, man nennt sie 0, 1, 2,..., 8, 9, A, B, C, D, E, F. Dabei ist A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15. 3

4 Man hat also eigentlich 0 bis 15, aber man nimmt lieber Buchstaben als neue Ziffern, um in der Stellenschreibweise keine zweistelligen Ziffern zu haben; sonst wüßte man etwa bei 131 nicht, ob die Zahl zwei Stellen mit den Ziffern 13 und 1 oder ob sie drei Stellen mit den Ziffern 1, 3 und 1 hat. Hätte sie die beiden Stellen 13 und 1, d.h. meint man die Zahl, die aus 13 Sechzehnern und 1 Einer besteht, schreibt man lieber und eindeutig C1; denn mit 131 könnte ja auch gemeint sein: 1 256er, 3 16er und 1 Einer. Wenn man die Buchstaben benutzt, meint man im Hexadezimalsystem also folgendes: 131 = 1*16^2 + 3*16^1 + 1*16^0 = 1* *16 + 1*1 = 305 (im Dezimalsystem), und eben nicht 13*16^1 + 1*16^0, aber: C1 = C*16^1 + 1*16^0 = 12*16 + 1*1 = 193 (dezimal) Das Umwandeln vom Hexadezimalsystem ins Dezimalsystem geht genauso wie beim Dualsystem. Es wird aufgeschrieben, aus wievielen Einern, 16nern, 256ern, 4096ern usw. eine Zahl besteht, und das rechnet man aus und addiert zusammen. (Im folgenden verwende ich die Abkürzungen dez für die dezimale und hex für die hexadezimale Stellenschreibweise.) 1A7D (hex) = 1*16^3 + A*16^2 + 7*16^1 + D*16^0 = 1* A* * 16 + D*1 = 1* * * *1 = = 6781 (dez) Man sieht, dass die Umrechnung von einem anderen Zahlensystem in das Dezimalsystem immer recht einfach ist: ausführlich mit den Potenzen der Basiszahl hinschreiben, ausmultiplizieren, addieren. Was aber nun, wenn man eine Dezimalzahl, z.b. 5423, in eine Dualzahl oder in eine Hexadezimalzahl umwandeln will? 4

5 3. Umwandeln von der Dezimalschreibweise in die Dual- und die Hexadezimalschreibweise Es gibt zwei übliche Möglichkeiten, eine Zahl aus der Dezimalschreibweise in die Dualschreibweise zu überführen. Erstes Verfahren ( Zweierpotenzen abziehen ) Man untersucht, aus wievielen 1ern, 2ern, 4ern, 8ern, 16ern usw. die Dezimalzahl besteht, denn so werden Dualzahlen ja aufgeschrieben. Die Dezimalzahl 71 (= 7*10^1 + 1*10^0) soll als Dualzahl dargestellt werden 1) Welche ist die höchste Potenz der Zahl 2 (Zweierpotenz), die noch in die 71 reinpaßt?...2^5=32, 2^6=64, 2^7= Offensichtlich ist 64 = 2^6 die höchste Potenz von 2, die in 71 enthalten ist. Also wird die Dualzahl 7 Stellen haben, nämlich je eine Ziffer für 2^0 bis 2^6. Sie sieht also so aus:???????, wobei jedes? gleich 0 oder 1 ist. 2) Die 64 kommt einmal vor, also hat die Dualzahl an der Stelle ganz links eine 1 für die 2^6. Die Zahl lautet also 1??????. Wieviele 32er, 16er, 8er, 4er, 2er, 1er sind noch zusätzlich zu der 64 in 71 enthalten? 3) Um das herauszufinden, zieht man nun die höchste gefundene Potenz von der 71 ab: 71 2^6 = = 7. Und man untersucht nun den Rest der Zahl, also 7, weiter : 4) In der 7 sind 0 32er enthalten (32 = 2^5), also hat die Dualzahl an der Stelle für 2^5 eine 0 und sieht so aus: 10????? Wäre eine 32 im Ergebnis der Subtraktion enthalten gewesen, hätten wir die 32 jetzt von diesem Ergebnis abgezogen. 5) In der 7 sind leider auch 0 16er enthalten, ebenso 0 8er, deshalb hat die Dualzahl bei den Stellen für 16 = 2^4 und für 8 = 2^3 auch eine 0, sie sieht also so aus: 1000??? 6) In der 7 ist einmal die 4 enthalten, also hat die Dualzahl an der Stelle für 2^2 =4 eine 1! Die Zahl sieht nun so aus: 10001?? Die 4 ziehen wir nun von der 7 ab: 7 4 = 3. 5

6 7) Welche Zweierpotenzen stecken noch im Rest, also in der 3? Nun, die nächst kleinere, also die 2^1 =2, steckt einmal drin, also hat die Dualzahl an der Stelle für 2^1 eine ? Die 2 ziehen wir von der 3 ab: 3 2 = 1. 8) In diesem Rest 1 steckt die nächst kleinere Zweierpotenz, nämlich 2^0 = 1, noch einmal drin, also hat die Dualzahl an der Stelle für 2^0 eine 1 und sieht damit so aus: Die 71 ist nun vollständig aufgebraucht, d.h. in Zweierpotenzen aufgeteilt, denn 1 1 = 0, und in der 0 steckt garantiert keine Zweierpotenz mehr. Zur Probe rechnen wir diese Dualzahl wieder in eine Dezimalzahl um: = 1 * 2^6 + 0 * 2^5 + 0 * 2^4 + 0 * 2^3 + 1 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0 = 1 * * * * * * * 1 = = 71 (dezimal) Stimmte also! So, jetzt fasse ich die Schritte für die Umrechnung von 71 in nochmal kurz zusammen, das geht im Prinzip bei jeder Dezimalzahl so: Die höchste Zweierpotenz in 71 ist 64 = 2^6, also hat die Zahl die Stellen von 2^0 bis 2^6. 2^6 = 64 ist 1mal enthalten, also ist die Stelle für 2^6 gleich 1; übrig ist = 7. 2^5 = 32 ist 0mal enthalten, also ist die Stelle für 2^5 gleich 0; übrig ist immer noch 7. 2^4 = 16 ist 0mal enthalten, also ist die Stelle für 2^4 gleich 0; übrig ist immer noch 7. 2^3 = 8 ist 0mal enthalten, also ist die Stelle für 2^3 gleich 0; übrig ist immer noch 7. 2^2 = 4 ist 1mal enthalten, also ist die Stelle für 2^2 gleich 1; übrig ist 7 4 = 3. 2^1 = 2 ist 1mal enthalten, also ist die Stelle für 2^1 gleich 1; übrig ist 3 2 = 1. 2^0 = 1 ist 1mal enthalten, also ist die Stelle für 2^0 gleich 1; übrig ist 1 1 = 0, also gar nichts mehr, die 71 ist vollständig in Zweierpotenzen aufgeteilt. Dieses Verfahren ist ganz gut, wenn man mit Stift, Papier und Taschenrechner rechnet. Wenn man etwa mit PASCAL so ein Verfahren programmieren will, ist vielleicht folgendes Verfahren etwas günstiger: Zweites Verfahren ( Euklidischer Algorithmus ) Man teilt die Zahl durch 2 und dann die ganzzahligen Ergebnisse beim Teilen (also das was rauskommt ohne den Rest) immer weiter durch 2, die jeweiligen Reste beim Teilen sind die Stellen der Dualzahl. Als Reste können bei Division durch 2 natürlich nur 0 und 1 6

7 vorkommen. ( Auf die Frage, warum das so klappt, möchte ich hier nicht weiter eingehen.) 71 : 2 = 35 Rest 1 => Die Stelle für 2^0 ist eine : 2 = 17 Rest 1 => Die Stelle für 2^1 ist eine : 2 = 8 Rest 1 => Die Stelle für 2^2 ist eine 1. 8 : 2 = 4 Rest 0 => Die Stelle für 2^3 ist eine 0. 4 : 2 = 2 Rest 0 => Die Stelle für 2^4 ist eine 0. 2 : 2 = 1 Rest 0 => Die Stelle für 2^5 ist eine 0. 1 : 2 = 0 Rest 1 => Die Stelle für 2^6 ist eine 1. In dualer Stellenschreibweise ergibt sich also Beide Verfahren lassen sich so ungefähr auch für die Umrechnung einer Dezimalzahl in eine Hexadezimalzahl benutzen. Beim ersten Verfahren zerlegt man die Dezimalzahl halt statt in Zweipotenzen in 16er- Potenzen. Die können natürlich nicht nur 0mal oder 1mal, sondern bis zu 15mal (= F-mal) in den jeweiligen Rest hineinpassen. Man muß sich also nicht nur fragen, ob eine Zweierpotenz im Rest enthalten ist, sondern auch, wie oft! Beim zweiten Verfahren teilt man statt durch 2 eben immer durch 16. Dabei können natürlich nicht nur die Reste 0 und 1, sondern die Reste 1 bis 15 auftreten, wobei die Reste 10 bis 15 dann als Ziffern ja A bis F heißen. Beispiel: Die Zahl 5423(dez) soll als hex-zahl dargestellt werden. Erstes Verfahren ( 16er-Potenzen abziehen ) Die höchste 16er-Potenz, die in 5423 steckt, ist 16^3 = 4096, denn 16^4 ist schon Also hat die Zahl die 4 Stellen von 16^0 bis 16^3. Gesucht ist also????, wobei ein? für 0,1,..., 9, A, B,...oder F steht. 16^3 = 4096 ist 1-mal in 5423 enthalten, also ist die Stelle für 16^3 gleich 1; übrig ist *16^3 = ??? 1327 enthält 5-mal die 16^2 (= 256), also ist die Stelle für 16^2 gleich 5; übrig ist *256 = ?? 47 enthält 2-mal die 16^1 (= 16), also ist die Stelle für 16^1 gleich 2; übrig ist 47 2*16 ^1 = ? 7

8 15 enthält 15-mal die 16^0 (=1), also ist die Stelle für 16^0 gleich 15 bzw. F; Ergebnis ist 152F übrig ist = 0, also gar nichts mehr: die 5423 ist vollständig in 16er-Potenzen aufgeteilt! D.h.: 5423 besteht aus einem 4096er, 5 256ern, 2 16ern und 15 Einern, mathematisch: 5423 (dez) = 1*16^3 + 5* 16^2 + 2* 16^1 + 15*16^0 ; die Stellenschreibweise 15215(hex) wäre mißverständlich (s.o.), also schreibt man statt der letzten 15 ein F, und damit ist 5423 (dez) = 152F (hex). Zweites Verfahren ( Euklidischer Algorithmus ) 5423 : 16 = 338 Rest 15 => Die Stelle für 16^0 ist eine 15 oder eben F. 338 : 16 = 21 Rest 2 => Die Stelle für 16^1 ist eine : 16 = 1 Rest 5 => Die Stelle für 16^2 ist eine 5. 1 : 16 = 0 Rest 1 => Die Stelle für 16^3 ist eine 1. Wieder erhält man 5423 (dez) = 152F (hex). Und wie rechnet man nun mit Dual- oder Hex-Zahlen? Wie addiert man sie zum Beispiel? 4. Zum Addieren von Dual- und Hexadezimalzahlen Nun, eine Möglichkeit gibt s natürlich immer: Man rechnet die Dualzahlen, die man addieren will, oder die Hex-Zahlen, die addiert werden sollen, erstmal in Dezimalzahlen um (s.o.), addiert die Dezimalzahlen und wandelt das Ergebnis wieder in die Dual- oder Hex-Schreibweise zurück. Klappt auf jeden Fall. Man kann aber auch direkt addieren. Das geht im Zweier- und 16er-System im Prinzip genauso stellenweise wie im Zehnersystem, nur dass der Übertrag nicht entsteht, wenn man 10 oder mehr erreicht, sondern wenn man 2 oder mehr bzw. 16 oder mehr erreicht. D. h. man addiert immer zwei Ziffern und geht dabei immer von rechts nach links vor. Dazu macht man sich vorher klar, dass im Dualsystem bei Addition zweier Ziffern immer folgendes herauskommt: = 0 Übertrag 0, = = 1 Übertrag 0, = 0 Übertrag 1. 8

9 Beispiel für die Addition zweier Dualzahlen (1. Summand) (2. Summand) (Übertrag von der Addition der vorigen Stelle (rechts), wie üblich) (Ergebnis) Probe: = 73(dez) = 29(dez) = 102(dez) Wer s nicht glaubt, kann das jetzt ja nachrechnen gute Übung! Im Hexadezimalsystem geht das ganz ähnlich, nur dass man sich beim Rechnen an die Buchstaben gewönen muß; am besten macht man sich eine Tabelle, wo die einzelnen Ergebnisse der Addition zweier Ziffern drinstehen. Die 16 spielt hier die Rolle, die im Dezimalsystem die 10 hat, dort ist = 13 = = 3 Übertrag 1 Genauso ist im 16er-System z. B. A + D = = 23 = = = 8 Übertrag 1; Liste für A: A+1 = B Ü0, A+2 = C Ü0, A+3 = D Ü0, A+4 = E Ü0, A+5 = F Ü0, A+6 = 0 Ü1, A+7 = 1 Ü1, A+8 = 2 Ü1, A+9 = 3 Ü1, A+A = 4 Ü1, A+B = 5 Ü1, A+C = 6 Ü1, A+D = 7 Ü1, A+E = 8 Ü1, A+F = 9 Ü1 Damit ist für A alles aufgeschrieben, das müßte man noch für 1, 2,..., 9, B, C, D, E unf F machen, wobei wegen der Vertauschbarkeit der Addition alles doppelt vorkommt. 9

10 Ein Beispiel für die stellenweise Addition zweier 4-stelliger Hex-Zahlen: F F (Übertrag) A 5 E (Ergebnis) Sehen wir uns das mal Stelle für Stelle an. 1.Stelle von rechts: F+F = = 30 = = 14 Ü1 = E Ü1 2.Stelle von rechts: = 5 Ü0 3.Stelle von rechts: = 10 = A Ü0 4.Stelle von rechts: = 2 Ü0 Probe durch Umrechnen ins Dezimalsystem: 152F = 5423 und = A5E(hex) = 2*16^3 + A*16^2 + 5*16^1 +E*16^0 = 2* * *16 +14*1 = 10846(dez) ok! Damit ist auch schon klar, dass man die Multiplikation (hier 2*152F) auf die Addition zurückführen kann; für Maschinen ist das kein Problem. Auch die Subtraktion und die Division kann man letztlich elementar machen, das würde jetzt aber wirklich zuviel! Nachbemerkung: Ich habe mich hier auf natürliche Zahlen beschränkt, also auf Zahlen, die positiv sind und keine Nachkomma-Stellen haben, denn in der Praxis sind im Wesentlichen solche Zahlen interessant. Bei gebrochenen Zahlen geht man zu kleineren Maßstäben über. So läßt sich z. B. die Angabe 50,47 m als 5047 cm ausdrücken. Alle Klarheiten beseitigt??? 10