Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 7 1. Semester ARBEITSBLATT 7 ADDIEREN UND SUBTRAHIEREN VON TERMEN UND DIE POTENZSCHREIBWEISE

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1 Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 7. Semester ARBEITSBLATT 7 ADDIEREN UND SUBTRAHIEREN VON TERMEN UND DIE POTENZSCHREIBWEISE ) VARIABLE Beispiel: Ein Rechteck habe einen Umfang von 0 cm. Gib Länge und Breite des Rechtecks in einer Formel an. Es ist natürlich leicht erkennbar, dass es hier nicht nur eine Lösung gibt, sondern theoretisch unendlich viele. Wir können die Lösung deshalb nicht eindeutig (eplizit) angeben, sondern können den Zusammenhang lediglich beschreiben. Wie berechnen wir nun den Umfang: Wäre die Länge 7cm und die Breite cm, so würden wir den Umfang folgendermaßen berechnen: U = 7+ = 0 Denselben Umfang würden wir natürlich auch mit den Zahlenpaaren (8;), (9;) usw. erhalten. Allgemein erhalten wir den Umfang eines Rechtecks aus der Summe der doppelten Länge und der doppelten Breite. Um dies allgemein ausdrücken zu können, führen wir für die Länge und die Breite sogenannte Variable oder Platzhalter ein. Wir nennen die Länge a und die Breite b. b a Nun können wir den Zusammenhang durch folgende Formel beschreiben: U = a + b Mit Hilfe von Variablen kann man Beziehungen zwischen verschiedenen Zahlen und Größen kurz und übersichtlich als Formel anschreiben. Wenn man Variable durch Zahlen ersetzt, hat man zu beachten: Dieselbe Variable darf in einer nur durch dieselbe Zahl ersetzt werden. Verschiedene Variable können sowohl durch verschiedene als auch durch dieselben Zahlen ersetzt werden (In unserem Beispiel könnte a=7 und b= sein; Es könnte aber auch a=5 und b=5 sein).

2 Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 7. Semester Beispiel: REICHEL ; Seite 76; Nr. 08 a) + 5 = = 8 Die gesuchte Zahl ist 8. ÜBUNGEN: Übungsblatt 7; Aufgaben 9-9 Beispiel: REICHEL ; Seite 76; Nr. Wir stellen uns die gegebenen Daten zunächst an einer Tabelle dar: Alter Jüngerer Bruder Älterer Bruder +6 Die Variable ist hier also das Alter des Jüngeren. Man könnte dies natürlich auch ändern (Versuchen Sie dies). Nun müssen wir eine Gleichung finden. Verbal finden wir diese so: Alter des Älteren + Alter des Jüngeren = Jahre Nun setzen wir unsere mathematischen Ausdrücke ein = Intuitiv versuchen wir diese Gleichung zu lösen(genaueres lernen Sie später. Sollte Ihnen das Auflösen der Gleichungen noch nicht gelingen, so ist dies kein Beinbruch) = + = + 6 = Wenn um 6 vermehrt sind, so müssen gleich - 6 sein. = 8 Wenn gleich 8 sind, so muß gleich 8 : sein. X = 9 Nachdem das Alter des Jüngeren ist, ist dieser also 9 Jahre alt. Der Ältere ist + 6 Jahre alt, also = 5 Jahre. ÜBUNGEN: Übungsblatt 7; Aufgaben 9-96 Variable tauchen natürlich in der Mathematik ständig auf. Für uns bedeutet dies, dass wir lernen müssen; mit diesen zu rechnen.

3 Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 7. Semester ) Terme Definition: Einen sinnvollen Rechenausdruck nennt man Term. Solch ein sinnvoller Rechenausdruck kann aus Zahlen aber auch aus Variablen bestehen. Einige Beispiele: 0; 5 ; 8 5 ; ; + ; y Als sinnloser Rechenausdruck ist für uns vorerst folgendes Beispiel interessant: 0. Eine Division durch 0 ist unlogisch (Warum?), es gibt folglich kein Ergebnis. Man sagt: Die Division durch 0 ist nicht definiert. Merke: Division durch 0 ist nicht möglich. Übungen: Übungsblatt 7; Aufgaben Mit Termen, die nur aus Zahlen bestehen, können wir inzwischen ja schon ganz gut umgehen. Uns interessiert nun also, wie rechnet man, wenn Variable vorkommen? ) Addieren und Subtrahieren einfacher Terme Grundsätzlich kann man mit Variablen genauso rechnen wie mit Zahlen. Beispiele: 5+ 5= 5 also muß + = sein = 5 7 also muß a+ a+ a+ a+ a = 5 a sein. Anmerkung: Statt 5 schreibt man normalerweise gerne 5. Den Malpunkt lässt man also einfach ungeschrieben. Beachte insbesondere: bedeutet. Beispiel: + y y = + y y = Die addieren und subtrahieren: --= +y-5y= Die y subtrahieren: +y-5y=-y = - y Mit Brüchen lässt sich natürlich genauso arbeiten:

4 Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 7. Semester Beispiel: 7 = 5 7 = = 5 5 = 9 5 Auf gemeinsamen Nenner bringen. Zähler subtrahieren. Nenner bleibt gleich. Ebenfalls gilt natürlich: Punkt- vor Strichrechnung Klammern werden zuerst gerechnet. Beispiel: : = 6 : = : = Klammer wird zuerst gerechnet. In der Klammer muss die Multiplikation zuerst ausgeführt werden. Brüche in der Klammer auf gemeinsamen Nenner bringen. Klammer ausrechnen. : = 6 6 Ersten Bruch kürzen durch. : = 6 Division in eine Multiplikation : = umwandeln. Vorzeichen bestimmen, kürzen = und ausmultiplizieren. = = Übungen: Übungsblatt 7; Aufgaben 99-0 Was tut man aber, wenn sich die Klammern nicht direkt ausrechnen lassen? + + ) = Beispiel:

5 Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 7. Semester Zur grundsätzlichen Überlegung suchen wir uns einfach ein Beispiel mit Zahlen: + ( - )= Wie kommen wir zu diesem Ergebnis: Einerseits können wir die Klammer zuerst ausrechnen und das Resultat zu dazu addieren, andererseits könnten wir aber auch einfach die Klammer ignorieren: + - = Merke: Steht vor einer Klammer ein Pluszeichen, so kann diese Klammer einfach weggelassen werden. a+ b+ c = a+ b+ c Nun also die Lösung für unser Beispiel: + ( + ) ) = Klammer weglassen, da ein Plus davor steht. + + = zusammenfassen = 5 + Was müssen wir aber tun, wenn ein Minus vor der Klammer steht? + 5 = Beispiel: Auch dieses Problem überlegen wir uns wieder anhand von Zahlen: - (6 - ) = - Wir können die Klammer zuerst ausrechnen und das Ergebnis von subtrahieren. Dasselbe Resultat erhalten wir aber auch, wenn wir in der Klammer alle Vorzeichen ändern und die Klammer weglassen: = = - Merke: Steht vor einer Klammer ein Minus, so müssen beim Auflösen der Klammer alle Vor- und Rechenzeichen in der Klammer geändert werden. a b+ c = a b c a b c = a b+ c Für unser Beispiel erhalten wir folgende ( + 5) = Klammer auflösen und alle Vor- und Rechenzeichen in der Klammer ändern. 5= subtrahieren = 5 Zur Überprüfung, ob ein Resultat richtig ist, kann man eine Probe durchführen: Beispiel: Ich verwende für die Probe unser obiges Beispiel. Da wir bei der ja nur umgeformt haben, muss die Angabe gleich dem Ergebnis sein: + 5 = 5 5

6 Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 7. Semester Nun setzen wir für einen beliebigen Wert ein, ich wähle =, und berechnen die linke und rechte Seite der Gleichung. + 5= = 7 = 7 7= 7 Dies stimmt offensichtlich, man nennt dies eine wahre Aussage. Kommt bei der Probe eine falsche Aussage, wie = 5 raus, so hat man sich entweder in der oder aber bei der Probe verrechnet. Auch mit Brüchen lassen sich diese Gesetze natürlich anwenden: Beispiel: REICHEL ; Seite 87; 69 a y y + Klammer auflösen. Vorzeichen = ändern. y y = 6y y = = 0y Übungen: Übungsblatt 7; Aufgaben Alles auf gemeinsamen Nenner bringen. und y jeweils addieren bzw. subtrahieren. Auch mehrere ineinander verschachtelte Klammern können auftreten: Beispiel: REICHEL ; Seite 88; Nr. 7 h 7 { y [ z 5 ( y z) ]} = Die Klammern werden am besten von innen nach außen abgearbeitet. Wir lösen also zunächst die runde Klammer auf. 7 { y [ z 5 y+ z] } = Nun können wir die z in der eckigen Klammer zusammenfassen. 7 { y [ z 5 y] } = Nun lösen wir die eckige Klammer auf. 7 { y z+ 5+ y} = In der geschwungenen Klammer können wir die y zusammenfassen. 7 { 5y z+ 5} = Nun lösen wir die geschwungene Klammer auf. 7 5y+ z 5= Wir fassen noch die 6

7 Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 7. Semester = 5y+ z zusammen. Merke: Arbeite ineinander verschachtelte Klammern am besten von innen nach außen ab. Übungen: Übungsblatt 7; Aufgaben 09-0 ) Die Potenzschreibweise Bei der Multiplikation ergeben sich von der Schreibweise her bald Probleme. Man möchte zum Beispiel kürzer schreiben. Es werden hier Dreier miteinander multipliziert. Man schreibt dafür kurz (Sprich: hoch ). Man nennt diese vereinfachte Schreibweise die Potenzschreibweise: Weitere Beispiele: Beispiel Sprechweise 77 = 7 7 hoch 7 zum Quadrat = hoch zur dritten,,,, =,, hoch, zur vierten = hoch Quadrat z z z z z = z 5 z hoch 5 z zur fünften Definition:... = n. n bezeichnet man als Potenz. n-mal Definition: Jede Potenz besteht aus: n Hochzahl (Eponent) Grundzahl (Basis) Das bilden einer Potenz heißt Potenzieren. Übungen: Übungsblatt 7; Aufgabe 7