Bruchrechnen ohne Variablen Anwendungen 11 - Lösungen

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1 Bruchrechnen ohne Variablen Anwendungen - Addieren/Subtrahieren gleichnamiger Brüche Addition gleichnamiger Brüche: Nenner übernehmen; Zähler addieren: Subtraktion gleichnamiger Brüche: Nenner übernehmen; Zähler subtrahieren + + = = = =. Fülle die Tabellen aus: a) Notiere hier die Brüche aus den Tabellen, die sich noch kürzen lassen: = ; = ; = Notiere hier den Bruch als gemischte Zahl, der größer als ist: 6 =. Ergänze die Tabelle Achtung, alles durcheinander: a) Minuend = 9 Subtrahend = 9 Differenz = 8 9 Differenz = 9 Subtrahend = 9 Minuend = 9 Differenz = 9 Subtrahend = 8 9 Minuend = 9 A0- B. Willimann Seite / Bruchrechnen ohne Variablen Anwendungen

2 Bruchrechnen ohne Variablen Anwendungen - Addieren/Subtrahieren ungleichnamiger Brüche Addition/Subtraktion ungleichnamiger Brüche: mache die Brüche gleichnamig: addiere nun die gleichnamigen Brüche: subtrahiere nun die gleichnamigen Brüche: = = = 9 8 =. Ergänze die Tabellen; notiere die Brüche in gekürzter Form: Berechne die Summe der folgenden Stammbrüche: a) + + = = + + = = 6 8. Berechne die folgenden Terme: a) + = + = 60 + = 6 8. Berechne auf schlaue Weise oder geht's sogar im Kopf? a) = = = = A0- B. Willimann Seite / Bruchrechnen ohne Variablen Anwendungen

3 Bruchrechnen ohne Variablen Anwendungen - Rechengesetze zur Addition In einer Summe darf man beliebig klammern: Assoziativgesetz: Beispiel: a c e a c + + = + + e = a + c + e b d f b d f b d f In einer Summe darf man Summanden beliebig tauschen: Kommutativgesetz: Beispiel: a + c = c + a b d d b. Fasse geschickt zusammen; rechne im Kopf: a) = 8 = = = d) =. Löse die Klammern auf und rechne geschickt: a) = = = 6 d) = A0- B. Willimann Seite / Bruchrechnen ohne Variablen Anwendungen

4 Bruchrechnen ohne Variablen Anwendungen -. Ohne die Summen in den Klammern auszurechnen welches ist die grössere? Füge das < oder > oder = Zeichen ein: a) + + > + + > + + < d) >. Die beiden Summen in den Klammern haben den gleichen Wert. Was muss deshalb der Wert für x sein? a) x + = + x= + = + x 6 + = + x 9 8 d) + = + x 8 x= x= 9 x= 0 A0- B. Willimann Seite / Bruchrechnen ohne Variablen Anwendungen

5 Bruchrechnen ohne Variablen Anwendungen - Addieren/Subtrahieren bei gemischter Schreibweise Man kann beim Addieren von Brüchen zuerst die ganzen und dann die Brüche zusammenzählen, oder die gemischten Zahlen zuerst in Brüche umwandeln: Beispiel: + = oder + = +. Rechne im Kopf; gib als Bruchzahl und als gemischte Zahl an: a) + = = + = 6 = 9 + = 0 = d) = 8. Gib als Bruchzahl an: a) + = 9 + = = 9 9 d) + = Nun kommt auch noch die Subtraktion: Gib wiederum als Bruchzahl und als gemischte Zahl an: a) = = 9 9. Wie oft kann man die kleinere von der größeren Zahl subtrahieren? a) ; 9 Mal ; 6 90 Mal ; 0 0 Mal A0- B. Willimann Seite / Bruchrechnen ohne Variablen Anwendungen

6 Bruchrechnen ohne Variablen Anwendungen - Multiplizieren mit einer natürlichen Zahl Ein Bruch wird mit einer natürlichen Zahl multipliziert in dem man den Zähler mit dieser Zahl multipliziert und den Nenner beibehält: b a b 6 Beispiel: a = Beispiel mit Zahlen: = c c Ist diese Zahl ein Teiler des Nenners, darf der Nenner durch diese Zahl geteilt und der Zähler beibehalten werden: Beispiel: = 8 Dies kommt auf dasselbe heraus wie nach obiger Regel, man kommt allerdings schneller zum gekürzten Bruch. Dasselbe nach obiger Regel: 6 = = 8 8. Rechne im Kopf; gib als Bruchzahl an: 8 a) = 6 = 9 9 = 8 9 d) = = 60 = = e) = f) Beachte in diesem Beispiel, dass es einfacher ist zu kürzen bevor man den Zählerausmultipliziert. 6 = g) = h) = Gib das Resultat als vollständig gekürzten Bruch an: a) m= m dm= 9 dm = 6. Gib das Resultat als gemischte Zahl an: a) ha= 6 ha dm= 9 dm = 6. Eine Box enthält a) sechs 0 l-flaschen Wein wie viele Liter sind das? l, l 0 = zwölf l-flaschen Wein wie viele Liter sind das? 9 l A0- B. Willimann Seite 6 / Bruchrechnen ohne Variablen Anwendungen

7 Bruchrechnen ohne Variablen Anwendungen - Dividieren durch eine natürliche Zahl Ein Bruch wird durch eine natürliche Zahl dividiert in dem man den Nenner mit dieser Zahl multipliziert und den Zähler beibehält: Beispiel: a : c a = Beispiel mit Zahlen: : = = b b c Ist diese Zahl ein Teiler des Zählers, darf auch der Nenner beibehalten und der Zähler durch diese Zahl geteilt werden: Beispiel: : = Dies kommt auf dasselbe heraus wie nach obiger Regel, man kommt allerdings schneller zum gekürzten Bruch.. Rechne im Kopf; gib als Bruchzahl an: a) : = 8 8 : = : = 8 d) : = = = = 0 e) := Beachte in diesem Beispiel, dass es einfacher ist zu kürzen bevor man den Nenner ausmultipliziert. f) 8 : = 6 = g) 08 := h) 000 :6=. Gib das Resultat als vollständig gekürzten Bruch an: a) m : = m 0 6 dm := dm : 6=. Gib das Resultat als gemischte Zahl an: a) 6 ha : = ha dm : = 6 dm 9 8 : 8=. Bestimme den Wert von x: a) x := x= 96 x : = x= 9 8 : x= x= d) : x= x= A0- B. Willimann Seite / Bruchrechnen ohne Variablen Anwendungen

8 Bruchrechnen ohne Variablen Anwendungen - Multiplizieren zweier Brüche Zwei Brüche werden miteinander multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert: Beispiel: a c a c 6 = Beispiel mit Zahlen: = = b d b d (Gemischte Zahlen werden zuerst in Brüche umgewandelt).. Produkte von Bruchzahlen: Rechne im Kopf; gib als vollständig gekürzte Bruchzahl an: a) = 6 = 8 = 8. Bruchteile von Bruchteilen sind Produkte von Bruchzahlen: Gib als Bruchteil der angegebenen Einheit an: a) von km= 8 von ha= km= km von dm= dm= dm ha= ha 0 0. Beachte, dass es viel einfacher ist zu kürzen, bevor man ausmultipliziert: a) von = = = = = Verfahre nun analog: (Bei größeren Zahlen hilft die Primfaktorzerlegung!) 0 98 von 0 = = = 6 8 von = 6 = = = 0 d) von = = = = = A0- B. Willimann Seite 8 / Bruchrechnen ohne Variablen Anwendungen

9 Bruchrechnen ohne Variablen Anwendungen - Dividieren zweier Brüche Ein Bruch wird durch einen Bruch dividiert indem man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert: Beispiel: a c a d a : = = d Beispiel in Zahlen: : = = = b d b c b c (Gemischte Zahlen werden zuerst in Brüche umgewandelt).. Quotienten von Bruchzahlen: Gib als vollständig gekürzte Bruchzahl an: a) : = 6 6 : = 8 6 : = 0. Gemischte Zahlen zuerst in einen Bruch umwandeln: a) : 8 = 00 9 durch = Kettenrechnung zuerst den Term in der Klammer ausrechnen: (Das Resultat ist als Bruch anzugeben) a) : : = 68 6 : : = 0 6. Berechne als Bruchteil der nächst höheren Einheit: a) cm= cm= m= m= m g : = g : = g : = kg= kg Ergänze die fehlende Einheit: a) 00 m 0 km = m = a 00 h : = s d) 600 h= s : A0- B. Willimann Seite 9 / Bruchrechnen ohne Variablen Anwendungen

10 Bruchrechnen ohne Variablen Anwendungen - Terme/Rechengesetze zur Multiplikation. Rechne schlau mit den Kommutativgesetzen: a) = = =. Berechne mit dem Distributivgesetz: a) = = 6 =. Berechne: a) = = 0. Berechne: a) = = 8 : 6 + = =. Berechne Doppelbrüche, Kettenbrüche: a) + = + + = = 8 6. Berechne Vater Bernhards Alter: Sohnemann Köbi ist Jahre alt, seine Schwester ist anderthalb mal so alt und Vater Bernhard ist mal so alt wie seine Kinder zusammen. Vater Bernhard ist + = Jahre alt. A0- B. Willimann Seite 0 / Bruchrechnen ohne Variablen Anwendungen

11 Bruchrechnen ohne Variablen Anwendungen - Eigenschaften von Bruchzahlen. Ein kleines Quiz: a) Jede natürliche Zahl hat einen Vorgänger und einen Nachfolger ja/nein: nein Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger ja/nein: ja Jede natürliche Zahl größer 0 hat einen Vorgänger und einen Nachfolger ja/nein: nein d) Jede natürliche Zahl hat einen Vorgänger ja/nein: nein e) Jede Bruchzahl hat einen Nachfolger ja/nein: nein f) Jede Bruchzahl hat einen Vorgänger und einen Nachfolger ja/nein: nein g) Man findet immer zwischen zwei natürlichen Zahlen eine andere natürliche Zahl ja/nein: nein h) Man findet immer zwischen zwei Bruchzahlen eine andere Bruchzahl ja/nein: ja. Bestimme die Bruchzahl, die zwischen den beiden Bruchzahlen liegt: a) und : und 8 : = 6 6. Bestimme die Bruchzahl, die mit 8 die Mitte hat: 8. Nenne Bruchzahlen, die zwischen 8 und liegen: : : 0 : : : 00. Peter hat zwei Klausuren geschrieben mit Notenschnitt ; nenne Paare von möglichen Noten:. Paar: und. Paar: und. Paar: und A0- B. Willimann Seite / Bruchrechnen ohne Variablen Anwendungen

12 Bruchrechnen ohne Variablen Anwendungen - Vermischte Aufgaben. Berechne: a) Welche der beiden Summen ist größer? (Setze < oder > ein) + < < 0 0 Welche der beiden Summen ist größer? (Setze < oder > ein) + + < <. Bring das Mobile ins Gleichgewicht - fülle die leeren Felder: 6. Berechne denk aber zuerst etwas nach geht es im Kopf? = = 0 (Bis auf die im Zähler und die 0 im Nenner kürzen sich alle Zähler und Nenner weg) A0- B. Willimann Seite / Bruchrechnen ohne Variablen Anwendungen