1. Erste und letzte Gesucht ist die erste und die letzte Ziffer, sowie die totale Anzahl Ziffern der Zahl

Transkript

1 Algebra. Erste und letzte Gesucht ist die erste und die letzte Ziffer, sowie die totale Anzahl Ziffern der Zahl Tabelle 3. Beträge a b b a a b (a + b) a + b 2 3???? 2 3 4???? a b a b a + b a b a b a b 0-6?????? 4. Bruchrechnen ( 4 ) [ { ( ) ( )} ] =? kgv und ggt Wie lautet das kgv der Zahlen 444, 753, 280? (b) Wie lautet der ggt der Zahlen 23, 456, 789? 6. Multiplikation langer Zahlen In einer Anwendung müssen häufig 2-stellige mit 8-stelligen Zahlen exakt multipliziert werden. Die Geschwindigkeit spielt dabei keine besondere Rolle. Der zur Verfügung stehende Rechner kann aber nur maximal 5-stellige Zahlen exakt miteinander multiplizieren. Gefragt ist eine schematische Skizze eines Verfahren, mit dem die Multiplikationen ausgeführt werden können! Wieviele einstellige Multiplikationen ( Aufrufen des Einmaleins ) benötigt das Verfahren? 7. Riesige Zahl Wie lautet die letzte Ziffer der Zahl p = Wissenschaftliche Darstellung von Zahlen Wie lautet die wissenschaftliche Darstellung der folgenden Zahlen? (b) Zweimilliardensiebenhundertfünfzigmillionenzweihundertvierundneunzigtausendfünfhundertdreiundfünfzig (c) ( ) (d) Eine gewisse Menge des radioaktiven Materials Uran 235 zerfällt in Jahren auf die Hälfte der ursprünglich vorhandenen Menge. Wie viele Sekunden verstreichen, bis von 00 Mikrogramm Uran 235 nur noch 25 Mikrogramm übrig sind? 9. Kürzen! Die folgenden Brüche sind soweit als möglich zu kürzen. 0. Vereinfachen a + b a b =? b a. Vereinfachen c c 2 8c c 2 6c + 8 =? =? 6f 4 (gh) 5 (2fg) 3 h 2 =?

2 2. Vereinfachen b c a 2 + ac a b ac + c 2 + a2 + c 2 a 2 c + ac 2 =? 3. Vereinfachen 0u 2 u 6 25u 2 =? 4 4. Vereinfachen c 2 + c 20 c 2 + c + 30 =? 5. Vereinfachen 7r 2 s (2s 2r)2 2(r s) 2rs 2 =? 6. Erweitern! Die folgenden Brüche sind entsprechend zu erweitern. 4ab 5 37a 2 d 4 = 779a3 b 9? 7. Gleichnennrig Die folgenden 3 Brüche sind gleichnennrig zu machen. 8. Multiplizieren 3fg 2 2h 5 48f 2 g 4 2f gh 3(a + b) 2 5abcd 8 =? 255a 2 b 2 c 2 d 2 7r4 s 3 54t 5 (b) 7m2 2n 3 9. Dividieren 24st2 85r 2 =? ( ) 3n 2 2 =? 7m 9c 0ab : 6ac 25b =? (b) (2uv2 ) 3 8w 4 : 4uv 4 (3uw) 2 =? 20. addieren und subtrahieren u 2v v 2u =? (b) 3 6h h =? 2. Vereinfachen ( ) 3 ( 5 4x 6 a2 : y 2 ) 2 : (2a 2 b) 3 (3x 2 y 3 ) 3 2a 3 b vereinfachen ( ) 2 2 3b 3 b b2 ( ) 3 : 4 3 a2 b =? ( 2a 3 5a 3 b 2 ) 2 =?

3 23. Der Grösse nach Die 3 Bruchzahlen sind der Grösse nach aufsteigend zu ordnen Einfache Gleichungen Gesucht ist die Lösung der Gleichung(en). Die Lösungsmenge ist jeweils anzugeben. x + 2 = 9 x (b) 2x + 4 = 8x Gleichungen Gesucht ist die Lösung der Gleichung(en). Die Lösungsmenge ist jeweils anzugeben. 2 9 x = (b) 5 x 2 2 = Kanarienvögel 4 Kanarienvogel frisst 25 Körner in Umrechnung 5 8 kg einer Obstsorte kosten Fr. Wieviel kosten 3 2 Tagen. Wie viele Körner fressen 4 Kanarienvögel in 6 Tagen? kg der gleichen Sorte? 28. Von Hälften und anderen Teilen Addiert man zu einem Drittel von einem Viertel die Hälfte von einem Fünftel und subtrahiert dann den zehnten Teil von zwei Dritteln, so ist dieser Bruchteil einer gesuchten Zahl gleich 24. Wie lautet die Zahl? 29. Brüche einfügen Zwischen 8 und 9 sind 4 verschiedene Brüche einzufügen. 30. Kürzen von rationalen Ausdrücken Wie lautet die gekürzte Darstellung des Bruches x 4 2x 3 5x x 6 x 3 3x 2 + 3x 3. Kettenbrüche Von den beiden untenstehenden unendlich langen Kettenbrüchen sind einige Näherungswerte zu berechnen und eine Vermutung aufzustellen für den Wert des Kettenbruches. Die Vermutung soll anschliessend überprüft werden, indem eine Gleichung für den Kettenbruch aufgestellt wird Unterhaltsame Potenzgesetze Im Unterricht wurden die folgenden 5 Potenzgesetze behandelt:. Gesetz: 2. Gesetz: a n a m = a n+m a n a m = an m

4 3. Gesetz: 4. Gesetz: 5. Gesetz: (a n ) m = a n m a n b n = (a b) n a n ( a ) n b n = b In der darauffolgenden Prüfung zu diesem Thema mussten die Schülerinnen und Schüler die Aufgabe lösen: Formuliere alle 5 Potenzgesetze vollständig und korrekt in Worten. Nicht immer gelang es den Schülerinnen und Schülern die richtigen Worte zu finden. Welches Gesetz wollte der Autor/die Autorin der folgenden Stilblüten wohl jeweils beschreiben? (Rechtschreibfehler und kurlige Formulierungen sind kein Zufall!) Die Potenzen werden exponentiert, indem man den ersten Exponenten mit dem zweiten multipliziert. (b) Potenzen werden voneinander dividiert, indem man die beiden Exponenten subtrahiert. (c) Wenn eine Klammer vorherrscht werden die Exponenten miteinander multipliziert. (d) Wenn man eine Zahl hoch rechnet, so kann man die beiden Exponenten multiplizieren. (e) Wenn man zwei Variablen multipliziert, so kann man die Potenzen addieren. (f) Potenziert man die Basis x mit n und nachher noch mit m, so behält man die Basis x und multipliziert die Potenzen m & n miteinander. (g) Wird eine Zahl mit der Basis x und der Potenz m mit einer Zahl der selben Basis und dem Potenz n multipliziert, so behält man die Basis ich mit der Potenz m+n. (h) Potenzen mit gleicher Basis und gleichem Exponent werden die Basis addiert und der Exponent bleibt der gleiche. (i) Bei Potenzen mit vers. Basen und gleichem Exponent wird die Basis addiert und der Exponent bleibt. (a b ) (c b ) = a + c b (j) Die zwei Basen einer Multiplikation zwischen zwei Potenzen können unter dem Exponent addiert werden wenn die zwei Exponentialzahlen gleich sind. (k) Die Exponenten werden bei einer Multiplikation addiert indem man die Basis beibehält & die Exponenten miteinander addiert. (l) Bei einer Division die in einer Klammer steht wird die Hochzahl mit jedem Exponenten multipliziert. (m) Wenn die Basis bei der Multiplikation der beiden Summanden gleich sind, aber die Potenzen verschieden, so addiert man die Potenzen unter beihaltung der Basis. 33. Vereinfachen von Ausdrücken mit Potenzen Die folgenden Ausdrücke sind soweit als möglich zu vereinfachen: ( z 2k 5 : z 3) : z k (b) 90 3 n 2 3 n ( ( (c) x ) ) 3 5 ( 4 : x 2 ) Vereinfachen von Ausdrücken mit Potenzen Die folgenden Ausdrücke sind soweit als möglich zu vereinfachen: (b) (c) (3a )2k ( 3a) 2k+ ( 6a 2 b 2 ) 3 c n+ d 2n : [ 2(cd) n (ab) cn d 2n ] 2 3ab 2 x 2a+5 ( y 3 ) 2b+5 [( z) 4 ] 3b+3 : x 2a (yz) 6b+0 [( z) 3 ] 2b

5 35. Es geht auch einfacher Gesucht ist die einfachste Form der folgenden Terme: ( 2a b 2 ) 3 3ac 2 =? ( u ) n ( v ) ( ) 3n+4 2n+ v (b) : =? v u u (c) x5 + x m+2 2x2 2 x m + 2 x x m 2 =? ( ) 2p+ ( ) p+ ( ) 4p z z z 3 (d) : =? z + 5 z 3 z + 5 ( (e) + 2 ) [ 2 ( ) ] 2 t t t 2 =? 36. Pascalsches Dreieck Die folgenden Terme sind mit Hilfe des Pascalschen Dreiecks auszumultiplizieren. (a 2 b 2ab 2 ) 4 (b) (2x 2 + 4x 4 ) Potenzterme vereinfachen Die Lösung ist so anzugeben, dass sie keine negativen Exponenten enthält. 4a z 2 (x 2 y) 3 : (2a) 3 (xy 2 z) 2 (b) 3r 6 r 5 3 : (2r 3 4 ) Wurzelterme vereinfachen Die Lösung ist jeweils in Wurzelschreibweise anzugeben. 3 a a 4 (b) 4 a 3 3 a 2 a (c) Radiziere teilweise und vereinfache: 3 80x4 2x 6 00x Vereinfachen von Ausdrücken mit Potenzen Die folgenden Ausdrücke sind von Hand soweit als möglich zu vereinfachen: 3 a 2 : ( a) 3 (b) t t t (c) [ 8 ( ) 2 7 ( 4 2 ) 3 ] Quadratwurzeln Die folgenden Ausdrücke sind soweit als möglich zu vereinfachen: (3rs s + 2r? ) s 3 : s (b) ( u + v + u v ) ( u + v u v ) (c) (x 2 ) (x ) : x + 4. Vereinfachen Die folgenden Ausdrücke sind soweit als möglich zu vereinfachen:

6 (b) (x ) 2n+ ( x ) 2n+2 m 3 m 3 m m 6 m =? 42. Basis gesucht Gesucht ist bei jeder Aufgabe die Basis b. log b ( 25) = 2 (b) log b 5 = 0.5 (c) log b 2 = Ein einziger Logarithmus Die folgenden Terme sollen durch einen einzigen Logarithmus ersetzt werden. log(ab) + log ( ) a b log(ab) 2 (b) (n + ) log x 3 log ( x 6n) (c) 2 log u + 2 (log(u + v) + log(u v)) 44. Addition und Subtraktion 2a ( 3a) =? (b) 3c 9c + ( 3c) + 4c + 5c =? (c) 6k + 5k 3k =? (d) ( 3Φ) + 5Φ 4Φ + ( Φ) =? (e) ( 2d + e) (5d + 4e) 2d + 3e =? (f) 2x (2x + 3y) + ( 3y) (3x y) =? (g) 6m (4 6m) + 3m + (4 3m) =? (h) a b c d (a b c d) + (a b c d) =? (i) 7m 5n [5m (3n m) (2m + n) 5n] =? (j) [7a + 5b (3a + b)] {[3b (2a b)] 5a} =? 45. Terme vereinfachen Die folgenden Terme sind soweit wie möglich zu vereinfachen. (2 (3 (4 (5 a)))) =? (b) 2q 2 [25q 2 (7q 20) 3q 2 ] (0q 5) =? (c) 7n(9n + 28) (7n )(9n + 28) =? (d) (60a 3 b 2 72a 4 b 48a 2 b 3 ) : 2a 2 b =? 46. Ausklammern Bei den folgenden Termen ist soviel wie möglich auszuklammern. x 5 x 4 x 3 x 2 =? (b) 36g 3 h 4 k 2 2g 4 h 3 k + 66g 3 h 3 =? 47. Treppensteigen Eine Person steigt eine Treppe mit 50 Stufen empor. Jede Stufe ist 6cm hoch und 35cm tief. Wieviel Prozent Steigung überwindet die Person? 48. Fettgehalt Butter hat einen Fettgehalt von 82%, Creme Fraiche enthält 30% Fett. enthalten die gleiche Menge Fett wie ein Becher mit 25 g Creme Fraiche? Wie viel Gramm Butter

7 49. Abschlagen Aufschlagen Der Preis von Äpfeln wird um 20% des bisherigen Preises gesenkt. Da die Äpfel zu dem abgesenkten Preis reissenden Absatz finden, beschliesst der Händler, diese Äpfel wieder zu dem höheren alten Preis zu verkaufen. Um wie viele Prozent schlagen aus Sicht des Konsumenten die Äpfel nun auf? 50. Wahlen An einer Wahl nahmen Wahlberechtigte teil und stimmten je für eine der 3 Parteien A, B, oder C. Die Partei B erhielt 70% der Stimmen von A, die Partei C 80% der Stimmen von B. Wie viele Stimmen erhielt jede der Parteien? 5. Ankauf/Verkauf Ein Händler kauft ein Gerät ein und verkauft es an den Kunden mit 5% Rabatt. Der Kunde bezahlt schlussendlich 250 Euro. Für welchen Betrag hat der Händler das Gerät im Laden zum Verkauf angeboten? Zu welchem Preis hat er das Gerät gekauft, wenn er schlussendlich 2% Gewinn gemacht hat? 52. Drittel-Neuntel-Rest Ein Drittel eines Kapitals wird zu 5% angelegt. Ein weiterer Neuntel zu 4% und der Rest zu 4.5%. Der gesamte Zinsertrag beläuft sich auf Euro. Wie gross ist das Anfangskapital? 53. Max und Moritz Max und Moritz legen beide ihr Spargeld am. Januar auf einem Sparkonto an. Max zahlt 332 Euro ein und erhält einen Zinssatz von 4%. Moritz zahlt 3276 Euro auf ein Konto mit 8% Zins ein. An welchem Tag haben sie exakt gleich viel auf dem Konto? 54. Mofa Der Preis für ein Mofa stieg zuerst um 5%, sank dann wieder um 0% und beträgt nun Fr. Um wieviel % hat sich der Preis total verändert? 55. Ratenzahlung Ein Kleinwagen kostet Euro, wenn er bar bezahlt wird. Das Auto kann auch in zwei Raten zu Euro bezahlt werden, wobei die erste Rate sofort und die zweite nach einem halben Jahr fällig ist. Wieviel beträgt der Zinssatz, den der Verkäufer bei diesem Abzahlungsgeschäft verlangt? 56. Sparen Ein Betrag von 000 Euro wird am..06 auf ein Bankkonto mit 4% Zins angelegt. Wieviel Geld wäre auf dem Konto, wenn man es am Mai 06 auflösen würde? (b).... September 06 auflösen würde? (c) Dezember 06 auflösen würde? 57. Verzinsung Welche Summe muss man heute zu 6% Zins anlegen, um in einem Jahr an Kapital und Zins Fr. zu besitzen? 58. Zinssenkung Euro werden am. Februar auf ein Konto zu 5.5% Zins einbezahlt. Im Verlaufe des Jahres wurde der Zinssatz um 0.5% gesenkt. Am Ende des Jahres konnten Euro an Zinsen kassiert werden. Nach wie vielen Monaten fand die Zinssenkung statt? 59. Zwei Banken Zwei Banken liefern sich einen Wettbewerb um die Gunst der Kunden. A-Bank sagt: Bei uns bekommen sie 8% Zins auf ihre Spareinlage. B-Bank bietet: Bei uns bekommen sie zweimal im Jahr, nämlich einmal Ende Juni und einmal Ende Dezember 4% Zins auf ihrem Konto gutgeschrieben. Bei welcher Bank fährt man als Kunde besser? Die Begründung ist rechnerisch zu geben.

8 60. Amortisation Von einer Hypothek von Euro muss jedes Jahr 3% der (verbleibenden) Schuld zurückbezahlt werden (Amortisation). Wieviele Prozent der ursprünglichen Schuld sind nach 3 Jahren noch vorhanden? 6. Pascal sches Dreieck (2a 3b) 4 (b) ( + x) 4 (x ) Faktorzerlegung Wie lautet die Faktorzerlegung des Polynoms x 4 4x 3 x 2 + 6x 2?

9 Lösung zu: Algebra. Erste und letzte erste Ziffer: letzte Ziffer: Anzahl Ziffern: 600 Die Berechnung kann zu (3 57 ) 8 aufgeteilt werden, um einen Overflow im Taschenrechner zu umgehen. Für die letzte Ziffer ist die Periodizität der Dreierpotenzen (3;9;7;) zu berücksichtigen. Mit 256 mod 4 = 0 folgt, dass die letzte Ziffer eine sein muss. 2. Tabelle -2; -3; -; ; 5; - 2 ; 3 4 ; 5 4 ; 5 4 ; 4 ; Beträge 0; -6; 0; 6; 6; 26; -6; Bruchrechnen kgv und ggt kgv = (b) ggt = 3 6. Multiplikation langer Zahlen Eine Lösung besteht darin, die Zahlen in einzelne Stücke aufzuteilen - zum Beispiel = und anschliessend die Teilprodukte zu addieren. 7. Riesige Zahl Endzahl 7. Die Endzahlen der Potenzen von 9 sind bei ungeraden Exponenten 9 und bei geraden Exponenten. Da der Exponent ungerade ist, ist die Endzahl 9. Rechnet man noch 28 dazu, so entsteht die Endzahl Wissenschaftliche Darstellung von Zahlen (b) (c) (d) (mit 365 Tage pro Jahr gerechnet) 9. Kürzen! Vereinfachen a 2 + b 2 ab. Vereinfachen c 2 4c + 8 (c 2)(c 4) 2 2. Vereinfachen b ac 3fg 2 h 3 4

10 3. Vereinfachen 2u 3 5u 2 4. Vereinfachen c 4 c 6 5. Vereinfachen r(r s) 9s 6. Erweitern! 779a 3 b 9 703a 4 b 4 d 7. Gleichnennrig 2fg 2 h 336f 2 g 4 h 8. Multiplizieren 53(a + b) 2 abcd 255a 2 b 2 c 2 d 2 6fg 3 h 5 336f 2 g 4 h 2688f 2 g 4 h 336f 2 g 4 h 4r2 s 4 45t 3 (b) 3n Dividieren 5 4a 2 (b) u4 v 2 w addieren und subtrahieren u2 v 2 2uv (b) 42h2 8h h 2 2. Vereinfachen a3 b 2 x 4 y vereinfachen a 5 b Der Grösse nach 0 3 < 7 9 < Einfache Gleichungen x = 4 (b) x = Gleichungen

11 x = (b) x = Kanarienvögel 3000 Körner 27. Umrechnung Franken. Kg kostet Fr. 28. Von Hälften und anderen Teilen Brüche einfügen mögliche Lösung: 90 ; ; 7 60 ; Kürzen von rationalen Ausdrücken Durch Bestimmen der Nullstellen des Zähler- und Nennerpolynoms und Abspalten der entpechenden Linearfaktoren erhält man (x + 4)(x 4)(x ) 3 (x ) 3 = x2 6 x. 3. Kettenbrüche Der Wert des ersten Kettenbruches lässt sich einfach berechnen, indem man setzt. Man erhält die Gleichung x = und damit für den Kettenbruch den Wert x = 4 + x Der zweite Kettenbruch lässt dieses Vorgehen nicht zu und kann nicht einfach berechnet werden. 32. Unterhaltsame Potenzgesetze 3. Gesetz (b) 2. Gesetz (c) 3. Gesetz (d) 3. Gesetz (e). Gesetz (f) 3. Gesetz (g). Gesetz (h) ziemlicher Quatsch! (i) wohl 4. Gesetz - mit viel Phantasie! (j) nochmals ein völlig falsch interpretiertes 4. Gesetz? (k). Gesetz (l) 5. Gesetz (m). Gesetz

12 33. Vereinfachen von Ausdrücken mit Potenzen z k 8 (b) 3 n+2 (c) x Vereinfachen von Ausdrücken mit Potenzen Die folgenden Ausdrücke sind soweit als möglich zu vereinfachen: (3a ) 2 (b) 2 5 3a 6 c n 3 (c) x 5 y 5 z Es geht auch einfacher 27a6 8b 6 c 6 ( v 3 (b) u) (c) 2x2 + (d) x m+2 ) 3p ( z + 5 z 3 (e) (t 2) Pascalsches Dreieck a 8 b 4 8a 7 b a 6 b 6 32a 5 b 7 + 6a 4 b 8 (b) 64x x x 8 + 8x Potenzterme vereinfachen 32a2 x 8 y 7 (b) Wurzelterme vereinfachen 2 3 a 2 (b) 24 a 23 (c) 0; Der Term lässt sich teilweise radizieren auf: 2x 3 0x 2x 3 0x 39. Vereinfachen von Ausdrücken mit Potenzen a 5/6 (b) t 7/8

13 (c) Quadratwurzeln 5rs (b) 2v (c) x 4. Vereinfachen ( x) n (b) 3 m Basis gesucht b 2 = 25 b = 5 (b) b = 5 b = 25 (c) b 0 = 2 nicht lösbar! 43. Ein einziger Logarithmus log ( ) a b a b 2 log(ab) = log a 2 log(a 2 b 2 ) = log a2 a 2 b = log 2 b 2 (b) log x n+ log x 2n = log xn+ x 2n = logx n (c) logu log(u2 v 2 ) = log(u 2 u 2 v 2 ) 44. Addition und Subtraktion 5a (b) 0 (c) 4k (d) 3Φ (e) 9d (f) 3x 5y (g) 0 (h) a b c d (i) 3m + 4n (j) a 45. Terme vereinfachen 3 a (b) 7q 5 (c) 9u + 28 (d) 5ab 6a 2 4b 2

14 46. Ausklammern x 2 (x 3 x 2 x ) (b) 6g 3 h 3 (6hk 2 2gk + ) 47. Treppensteigen 45.7% Horizontaldifferenz: 7.5m; Höhendifferenz: 8m 48. Fettgehalt 45.73g 25g Creme Fraiche enthalten 37.5g Fett. 49. Abschlagen Aufschlagen 25% 50. Wahlen A B C A erhält 00 Teile, B 70 und C 56. Das sind total 226 Teile. Ein Teil entspricht somit 888 Wählerstimmen. 5. Ankauf/Verkauf angeschriebener Verkauspreis: Euro 250 Euro entsprechen 85% Ankaufspreis: 6.05 Euro 250 Euro entsprechen 2%. 52. Drittel-Neuntel-Rest Euro Kaptial x Euro 3 x x x = Max und Moritz 00 Tage Ansatz: Zins Max + 36 = Zins Moritz 54. Mofa Der Preis ist um 3.5% gestiegen 55. Ratenzahlung 0.526% Jahreszins Der Verkäufer leiht dem Käufer 7600 Euro für ein halbes Jahr und verlangt dafür eine Gebühr von 400 Euro. 56. Sparen Euro (5 Monate) (b) Euro (25 Tage) (c) 40 Euro (ein Jahr) 57. Verzinsung Fr.

15 58. Zinssenkung 7.5 Monate x: Anzahl Monate zu 5.5%; (-x): Anzahl Monate zu 5% x ( x) = Zwei Banken B-Bank ist besser. A-Bank: 000*0.08 = 80 Euro Zins B-Bank: Zinseszins! Total 8.6 Euro Zins. 60. Amortisation % 6. Pascal sches Dreieck 6a 4 96a 3 b + 26a 2 b 2 26ab 3 + 8b 4 (b) 8x 3 + 8x 62. Faktorzerlegung Zugehörige Polynomfunktion hat Nullstellen x =, x 2 = 2, x 3 = 2, x 4 = 3, also (x )(x 2)(x + 2)(x 3)