Wie lässt sich die Multiplikation von Bruchzahlen im Operatorenmodell und wie im Größenmodell einführen?

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Berthold Baumhauer
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1 Modulabschlussprüfung ALGEBRA / GEOMETRIE Lösungsvorschläge zu den Klausuraufgaben Aufgabe 1: Wie lässt sich die Multiplikation von Bruchzahlen im Operatorenmodell und wie im Größenmodell einführen? Im Operatorenmodell werden die Brüche mit den Operatoren identifiziert. Die Multiplikation ist dann die Verkettung zweier hintereinander auszuführender Operatoren:... [ p ]->,,, -[ r q s ]->,,, Der verkettete Operator ist... [. p ]-> -[ :q ]-> -[. r ]-> -[ :s ]->... und wegen der Kommutativität und Assoziativität der Verkettung von Operatoren... [. p ]-> -[. r ]-> -[ :q ]-> -[ :s ]-> [. p. r ]-> -[ :(q. s ]-> [ p r p ]->..., also ist q s q r s = p r q s Im Größenmodell werden die Brüche mit (gebrochenen) Größen (sogenannten konkreten Brüchen: 1 kg, 1 h, 1 l, 1 cm) identifiziert. Größen werden im 6. Schuljahr (und generell meist in der Mathematik) nicht miteinander multipliziert (was sollte 1 kg 2 oder 1 h 2 bedeuten?), ausgenommen Längen. Hier kann man 1 cm 2 oder 1 m 2 bilden, allerdings führt das Produkt zweier Längen aus dem Größenbereich der Längen heraus in den Größenbereich der Flächeninhalte. Zur Veranschaulichung lässt sich das Produkt zweier gebrochener Maßzahlen von Längen verwenden. Ansonsten bleibt aber nur die Methode der Permanenzreihen. Ein Beispiel könnte so aussehen:

.. [ p ]->,,, -[ r q s ]->,,, Der verkettete Operator ist... [. p ]-> -[ :q ]-> -[. r ]-> -[ :s ]->... und wegen der Kommutativität und Assoziativität der Verkettung von Operatoren... [. p ]-> -[. r ]-> -[ :q ]-> -[ :s ]->.

2 Aufgabe 2: Welche Modelle kann man zur Einführung der negativen Zahlen verwenden? Was stellen diese Modelle mathematisch dar? Als Modelle lassen sich verwenden: Brettspiel (mit Feldern vor und hinter dem Nullfeld) Kontostand Thermometer geographische Höhe (über und unter NN) Pegelstand historische Zeitpunkte Diese Modelle stellen diskrete oder kontinuierliche symmetrische Skalenbereiche dar. Diskrete Skalenbereiche sind Brettspiel und Kontostand. Sie lassen sich zur Einführung der negativen ganzen Zahlen verwenden. Als kontinuierliche Skalenbereiche kann man das Thermometer, die geographische Höhe, das Pegelstandmodell und die historische Zeitleiste ansehen. Hiermit lässt sich die Menge der Bruchzahlen zur Menge der (positiven und negativen) rationalen Zahlen einschließlich der Null erweitern (symmetrische Erweiterung eines Skalenbereichs). Die rationalen Zahlen werden dann mit den Skalenwerte identifiziert. Allerdings ist ein Rechnen mit Skalenwerten nicht möglich. Daher führt man auf den Skalenbereichen Plus- und Minus-Operatoren ein. Auch diese Operatoren lassen sich mit den rationalen Zahlen identifizieren.

stellen diskrete oder kontinuierliche symmetrische Skalenbereiche dar. Diskrete Skalenbereiche sind Brettspiel und Kontostand. Sie lassen sich zur Einführung der negativen ganzen Zahlen verwenden.

3 Aufgabe 3: Welche Hinführungen zur Gleichungslehre lassen sich in der Grundschule, welche in der Sekundarstufe I vornehmen? Hinführung zur Gleichungslehre in der Grundschule: Einfache Gleichungen mit Bilder oder dem eingeführten Material wie Cuisenaire-Stäbe, Plättchen, Perlenschnüre usw., Rechenbäume, Operatorschemata, Einsetzaufgaben mit Variablen, einfache Zahlenrätsel. Beispiele: Gleichungen Rechenbäume Operatorschemata Zahlenrätsel Ich denke mir eine Zahl, addiere 5, dividiere das Ergebnis durch 2 und erhalte 4. Welche Zahl habe ich mir gedacht? Einsetzen für Variable

Plättchen, Perlenschnüre usw., Rechenbäume, Operatorschemata, Einsetzaufgaben mit Variablen, einfache Zahlenrätsel.

4 Hinführung zur Gleichungslehre im 5. und 6. Schuljahr: Bewusstmachen der Gültigkeit der Rechengesetze Kommutativgesetz, z. B. am Flächeninhalt eines Rechtecks a. b b. a a. b = b. a mit mathematischen Gegenbeispielen, z. B. mit dem Sechser-Kreisspiel: Man würfelt zweimal, der erste Wurf gibt an, auf welches Feld der Spielstein gesetzt wird; der zweite Wurf gibt an, wie viel Felder man gegen den Uhrzeigersinn weiterrücken soll. Es handelt sich um eine nicht kommutative Verknüpfung. Assoziativgesetz, z. B. am Volumen eines Quaders Distributivgesetz C (a + b) c a b Rechenbäume mit unbekannter Ausgangszahl

mit dem Sechser-Kreisspiel: Man würfelt zweimal, der erste Wurf gibt an, auf welches Feld der Spielstein gesetzt wird; der zweite Wurf gibt an, wie

5 Modulabschlussprüfung Aufgaben zur ALGEBRA Äquivalente Terme, z. B. Aussagen und Aussageformen, z. B. Gleichungen und ihre Erfüllungsmenge, z. B.

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