9x x + 7 = 10a 6 a b 14,5 = ordnen 9x 5x = 10a 12a 6 14,5 + 7b = zusammenfassen 4x a 20,5 + 7b

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1 D Gleichungen 1 Terme umformen Terme sind Rechenausdrücke mit verschiedenen/mehreren Rechenzeichen, Zahlen und Variablen (Platzhaltern), z. B x 6 4 0,8x. Erst wenn Zahlen für die Variablen eingesetzt werden, hat der Term einen bestimmten Wert. Terme kann man ordnen, wenn man Zahlen oder Variable mit gleichem Namen sortiert. Terme zusammenfassen heißt, sie auszurechnen (z. B. addieren und subtrahieren). Für die Berechnung von Termen müssen die Rechenregeln ( Punkt vor Strich, Klammer zuerst ) beachtet werden. Tipp Das Malzeichen zwischen Zahl und Variable darf man auch weglassen. 5 x = x 5 = 5x Rechne untereinander (wie im Beispiel), damit du nichts vergisst: Was noch nicht zu rechnen dran, schreibe unverändert an. 9x x + 7 = 10a 6 a b 14,5 = ordnen 9x 5x = 10a 12a 6 14,5 + 7b = zusammenfassen 4x a 20,5 + 7b 1. Ordne die Terme und fasse sie zusammen. a) 8b b + 9 2b 17 b) 21 y + 7y 13 c) x 7y 8x + 15 d) z ,5 7z 3,8 + 2,2z e) 1 2 x + 2,3v 1 x + 5,9v 8 f) 7a 3 a 17,2 a Beachte Punkt vor Strich und vereinfache die Terme. a) x 7,8 + x + 3,5x 3 b) 5 7y + 0,2 + 3,2y c) 6x : x 2,8 4x d) 2 7x + 63 : 9 39x : 3 9 e) 5 28x + 7 6x ,8 f) 5 3,5z z

2 1 Terme umformen Klammern auflösen: Steht ein + vor der Klammer, darfst du die Klammer einfach weglassen, die Rechenzeichen bleiben unverändert. Steht ein vor der Klammer, werden beim Auflösen der Klammer die Rechenzeichen in der Klammer umgedreht: Aus + wird, aus wird +. Treffen zwei Rechenzeichen aufeinander, gilt: und a + (9 4 3,5a) = Klammern 18u (5,8 2u 13) = 12a a = auflösen 12a 14a + 9 = ordnen 18u 11,6u + 13 = 2a + 9 (oder: 9 2a) zusammenfassen 6,4u Vereinfache die Terme soweit wie möglich. a) 5x (3x + 8 2,3) 7,3 b) 37 + (6 7x) + 23x 6 c) 3b (16 2,5 8b) 7,9 d) (2 + 5,3a 3) (7 12a 0,5) e) 34 ( 8z ) + 17,3z 4 f) y (7 + 2y) (+ 3 5,3y) Aufgabe Steht ein Mal vor oder hinter einer Klammer, muss jedes Glied in der Klammer mit dem Faktor multipliziert werden. Beachte den Vorzeichenwechsel, wenn ein Minus vor der Klammer steht. Das Mal vor oder nach der Klammer sieht man meistens nicht! Wenn also eine Zahl und eine Klammer aufeinander treffen, musst du dir das denken: 4 (x 2) = 4 (x 2) Tipp 4 (2x + 5) 3 = 15 (3x + 7) 2 = (4 2x + 4 5) 3 = 15 (2 3x + 2 7) = in die Klammer multiplizieren 8x = 15 6x 14 = Klammer weglassen 8x x = ordnen und zusammenfassen 1 6x 4. Multipliziere den Term in der Klammer. a) 5 (4x + 7) b) 4 (9 3y) c) (6x 8) 3 d) 3 (4,5 + 2d) e) ( 2a + 4) 12 f) 6,2 (3b 2) 5. Schreibe ohne Klammern, ordne und fasse zusammen. a) 8 (y + 2) 3 b) 9 (7 x) + 13 (x + 7) c) 3 + (x + 5) 5 d) 2 (b 4) + 8,5b e) 3 (2v 3) v f) (11 y) (y + 1,8) 78 4 g) 4 ( 8x 4) 3 (5x + 1) h) 0,8 (6a + 3b) ( 5b 3) 4 65

3 D Gleichungen 2 Rechnen mit Gleichungen Gleichungen umformen Wenn zwei Terme den gleichen Wert haben und durch ein Gleichheitszeichen verbunden sind spricht man von einer Gleichung. Um eine Gleichung zu lösen, müssen auf jeder Seite der Gleichung dieselben Rechenschritte (addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren) durchgeführt werden. Um sich besser vorstellen zu können, was beim Lösen von Gleichungen geschieht, benutzt man das Modell der Waage. Daran siehst du, dass die Waage (die Gleichung) im Gleichgewicht bleibt, wenn auf jeder Seite gleich viel hinzugefügt oder weggenommen wird. Eine blaue Kugel steht für eine Eins, eine graue für ein x. Waagemodell Gleichung Rechenschritte 12 3x + 2 = x + 12 x auf jeder Seite wird 1 x weggenommen 12 3x + 2 x = x + 12 x 2x + 2 = 12 2 auf jeder Seite werden 2 Kugeln weggenommen 10 2x = x = 10 : 2 auf jeder Seite wird die Hälfte weggenommen 2x : 2 = 10 : 2 x = 5 Tipps Das Rechnen geht oft leichter, wenn du die x auf die Seite bringst, auf der sie positiv sind. Schreibe sorgfältig untereinander, damit du nichts vergisst (auch die Gleichheitszeichen!). 66

4 2 Rechnen mit Gleichungen 7x 3 = 5x + 5 5x auf beiden Seiten werden 5x abgezogen 7x 5x 3 = 5x 5x + 5 2x 3 = 5 +3 auf beiden Seiten werden 3 addiert 2x = x = 8 : 2 auf beiden Seiten wird durch 2 geteilt x = 4 Oft werden die Zwischenschritte auch weggelassen. 8x + 22 = 20x x + 50 ordnen 8x + 22 = 20x 13x zusammenfassen 8x + 22 = 7x x x +22 = x = Bestimme die Unbekannte. a) 17x = 153 b) 64 c = 15 c) 46 = 18 + y d) 704 = x 4 e) 14 b = b f) 99 = x Löse die Gleichungen. a) x + 2 = 3x b) 4x = 20 6x c) 12x = 8 4x d) x = 6x e) 7x 5 = 6x + 3 f) 4x 24 = 2x Ordne und fasse zusammen, löse dann die Gleichungen. a) x = 6x x b) 20x x 108 = 6x 168 c) 15x 12 11x = 12 3x 17 d) 6x x + 30 = 80x 64 e) 17x = 31x x f) 6x x + 3x 38 = 7x x 5 Gleichungen mit Klammern Wenn in einer Gleichung Klammern stehen, musst du diese zuerst auflösen. Denke dabei an den Vorzeichenwechsel bei einem Minus vor der Klammer. plus vor der Klammer minus vor der Klammer 3x + (9 x) = 4x + 8 Klammer weglassen 128 (18 5x) = 220 3x + 9 x = 4x + 8 ordnen, x = 220 2x + 9 = 4x + 8 2x zusammenfassen x = = 2x x = 110 : 5 1 = 2x : 2 x = 22 0,5 = x mal vor oder hinter der Klammer 8 (6x 25) = 88 Klammer ausmultiplizieren 8 6x 8 25 = 88 48x 200 = x = 288 : 48 x = 6 67

5 D Gleichungen 9. Löse die Gleichungen. a) 7x + (2x 5) = 4 b) 5 + (2 + 4x) = 17 c) 9x 3x + (4 x) = 4x + 8 d) 5 + (8 + 6x) = 3 + (4 + 9x) e) 3x (x 3) = 7 f) 7 (4x 1) = 34 (2 + 8x) 10. Multipliziere die Klammern aus und löse. a) 6x ( 6x 18) = 12 (6x 6) b) 10 (2x 16) + (8 2x) 6 = 28 c) (6x 8) = 5 (9x 6) d) 28x + 5 (x + 12) = 497 e) 11x (x 7) 8 = 94 f) 5 (5x 8) = 4 (15x + 20) 300 Gleichungen mit Brüchen Manche Gleichungen enthalten auch Brüche das sieht oft schwieriger aus als es ist. Gehe so vor: Um die Brüche zu entfernen, bestimmst du zunächst den Hauptnenner und multiplizierst damit beide Seiten. Vereinfache dann durch Kürzen und Zusammenfassen, bis du x bestimmen kannst. Kommt eine Klammer in einem Term vor, multipliziere zuerst aus, bevor du weiterrechnest. (HN: 12, also alles 12) (HN: 10) x 3 x 4 15 = (x + 2) = x x 12 x = x = 1 +3x x 4 x = 36 x = x x 3x 180 = x + 16 = x 8x 5 x = = 22x : 22 x = = 1 2 = 0,5 11. Multipliziere zuerst mit dem Hauptnenner. a) x 2 x 4 = x 20 b) x + x 3 = 10 c) x = 4 + x 5 d) x 5 8 = 2x 12. Multipliziere zuerst die Klammer aus. a) 6 ( x 3 + 2) = 16 b) 15 ( x 5 3) = ,5x c) (2x 7) 4 3 = x 1 2 : 3 d) 3 (4x + 5) = 13x 4 68

6 2 Rechnen mit Gleichungen Schwieriger wird es, wenn im Zähler des Bruchs ein Term steht. Du musst eine Klammer um den Term setzen und erst dann den Faktor kürzen. x + 5 2x 4 = x + 2 = x (x + 5) 6 (x + 3) 2 6 (2x 4) = x = x + 5 = x x + 12 = 3x + 9 x = 23 28x + 4 = 3x + 9 3x 4 25x = 5 : 25 x = 0,2 = Löse die Gleichung. Beachte die. x 8 a) = 6 b) x + 15 = 3x c) 3x = 6 + 6x d) 3 3x x 2 (x + 4) 4 (x 6) = 2 e) = 2 ( x ) 14. Wenn du eine gedachte Zahl mit 5 multiplizierst, erhältst du das Gleiche, wie wenn du zu der gedachten Zahl 44 addierst. Wie heißt die Zahl? 15. Subtrahiere vom Dreifachen einer Zahl 36, du erhältst das Doppelte der Zahl. 16. Wenn du das Produkt aus 12 und dem Vierfachen einer Zahl bildest, erhältst du die Differenz aus 100 und dem Zweifachen der Zahl. 17. Subtrahiert man von 90 den Quotienten aus dem Sechsfachen einer Zahl und 4, so erhält man das Produkt aus 12 und der Hälfte der Zahl. Zahlenrätsel und Sachaufgaben Nimm dein Körpergewicht (in ganzen kg) und verdoppele diese Zahl, addiere dann 5. Multipliziere das Ergebnis mit 50 und addiere dazu dein Alter. Wenn du nun 250 subtrahierst, geben die ersten zwei Ziffern der erhaltenen Zahl dein Gewicht an, die beiden letzten Ziffern dein Alter. Um Zahlenrätsel oder Sachaufgaben zu lösen, musst du oft Gleichungen aufstellen. Geh dabei schrittweise vor: 1. Situation klären und verstehen (Lies den Text sorgfältig durch!) 2. Variable richtig festlegen (Überlege genau!) 3. Gleichung aufstellen und lösen (Kontrolliere mit der Gegenprobe!) 4. Antworten (Schreibe einen Antwortsatz!) 69

7 D Gleichungen Beispiel 1 Von zwei Brüdern fehlen dem älteren nur noch vier Jahre, um genau doppelt so alt zu sein wie sein jüngerer Bruder. Ihr Altersunterschied beträgt 7 Jahre. Wie alt sind beide? Situation: Altersunterschied der Brüder ist 7 Jahre, in 4 Jahren wäre der Ältere doppelt so alt wie der Jüngere jetzt ist Variable festlegen: heute : jüngerer Bruder: x älterer Bruder: x + 7 (er ist 7 Jahre älter) Überlegen: in vier Jahren bedeutet plus 4 (beide sind dann 4 Jahre älter) Gleichung: x = 2 x (diese Gleichung betrifft älterer Bruder (in 4 Jahren) doppelt so alt nur den älteren Bruder!) x + 11 = 2 x 11 = x Antwort: Der jüngere Bruder ist 11 Jahre alt, der ältere 18 Jahre (er wäre in 4 Jahren 22, also doppelt so alt wie sein kleiner Bruder jetzt.) Tipp Nimm die Variable für die kleinere Zahl, dann geht es oft leichter zu rechnen. 18. Drei Kinder sind zusammen 24 Jahre alt. Luis ist doppelt so alt wie Helena, Daniel ist drei Mal so alt wie Helena. Wie alt sind die Kinder? 19. Rainer ist drei Jahre älter als seine Frau Katrin. Ihr Sohn Johannes ist 28 Jahre jünger als seine Mutter. Zusammen mit ihrer einjährigen Tochter Sophia sind sie 93 Jahre alt. 20. Franz gibt ein Rätsel auf: Meine ältere Schwester Petra war zwei Jahre alt, als ich geboren wurde. Als ich 7 Jahre alt war, kam meine Schwester Ulli zur Welt. Vor fünf Jahren waren wir zusammen 100. Wie alt sind wir heute? 21. Die Mutter von Sarah ist heute 3-mal so alt wie ihre Tochter. In 8 Jahren wird die Mutter nur noch doppelt so alt sein wie Sarah. Wie alt sind beide heute? Löse mit einer Gleichung. Beispiel 2 Eine 9. Klasse war 4 Tage auf ihrer Abschlussfahrt unterwegs. Für Unterkunft und Verpflegung zahlten sie in der Jugendherberge 18,50 1 am Tag. An Fahrtkosten entfielen auf die Gruppe insgesamt 425 1, für Eintritte mussten aufgebracht werden. Die Reisekosten betrugen für die Schüler insgesamt a) Wie viele Schüler waren bei der Klassenfahrt dabei? Löse mit einer Gleichung. b) Wie hoch waren die Fahrtkosten und Eintrittsgebühren pro Schüler? 70

8 2 Rechnen mit Gleichungen Situation: 4 Tage unterwegs, Tagessatz 18,50 1, Fahrtkosten insgesamt 425 1, Eintrittsgebühren 120 1, gesamte Reisekosten a) Variable festlegen: Die Anzahl der Schüler: x Gleichung aufstellen: 4 18,50 x = x = x = : 74 x = 25 Antwort: Es waren 25 Schüler dabei. b) Fahrtkosten pro Schüler: : 25 = 17 1 Eintrittsgebühren pro Schüler: : 25 = 4, Gerhard, Theo und Hans sind auf dem Wanderweg E 5 durch die Alpen unterwegs. Am ersten Tag ihrer Tour wandern sie 12 km mehr als am zweiten Tag. Am dritten Tag legen sie 3 km weniger zurück als am zweiten Tag. Insgesamt wandern sie eine Strecke von 60 km. Wie viel Kilometer schaffen sie an jedem Tag? 23. Max-Leopold, Johanna und Viktoria erhalten von ihren Eltern monatlich 36 1 Taschengeld. Der Junge erhält 6 1 mehr als seine Schwestern. Wie viel Taschengeld erhält jedes Kind? 24. In einem Tischtennis-Verein sind zu Beginn der Spielzeit doppelt so viele Jungen wie Mädchen Mitglieder. Während der Saison kommen noch fünf Jungen dazu und zwei Mädchen verlassen den Verein. Am Ende der Spielzeit sind es 105 Mitglieder. Wie viele Jungen bzw. wie viele Mädchen waren es zu Beginn der Saison? 25. Ein Fernfahrer ist mit seinem LKW 5 Tage unterwegs. Seine Tour umfasst insgesamt km. Am ersten und am vierten Tag legt er die gleiche Strecke zurück, am zweiten und am fünften Tag fährt er jeweils 150 km weniger. Am dritten Tag schafft er 50 km mehr als am ersten Tag. Wie viele km fährt er jeden Tag? 26. Saskia möchte mit ihrer Familie in den Sommerferien für 10 Tage nach Mallorca fliegen. Im Reisekatalog entdeckt sie ein interessantes Angebot. Die ersten 3 Tage fallen in die Preiskategorie D, die restlichen 7 Tage in die Kategorie E. In Kategorie E zahlt die ganze Familie pro Tag 60 1 mehr als in Kategorie D. Insgesamt berechnet das Reisebüro für die Familie a) Wie viel kostet ein Tag für die gesamte Familie in den einzelnen Preiskategorien? b) Was kostet ein Erwachsener pro Tag, wenn er in Kategorie D 17 1 teurer und in Kategorie E 18 1 teurer ist als ein Kind? Berechne beide Preise. 71

9 D Gleichungen Rechnen mit Formeln Formeln begegnen dir in vielen Bereichen, z. B. in der Geometrie und Physik, aber auch bei der Prozent- und Zinsrechnung. Es sind Gleichungen mit mehreren Variablen. Wenn du zwei der Größen kennst, kannst du die dritte berechnen. Dazu musst du die Formel wie eine Gleichung umformen. Beispiel 1 Ein Parallelogramm hat die Fläche A = 21 cm², die Länge der Seite a beträgt 7 cm, gesucht ist die Höhe h. Der Flächeninhalt eines Parallelogramms ist: A = a h Du hast zwei Möglichkeiten, du kannst zuerst einsetzen und dann umformen oder umgekehrt. a h Setze zuerst ein Forme zuerst um Formel: A = a h A = a h : a Einsetzen und umformen A : a = h 21 cm 2 = 7 cm h : 7 cm Setze dann ein 21 cm 2 : 7 cm = h 21 cm 2 : 7 cm = 3 cm 3 cm = h Antwort: Die Höhe beträgt 3 cm. Beispiel 2 Ein Kanister hat die Form einer quadratischen Säule. Er ist 22,5 cm hoch und fasst 3,5 Liter. Wie lang ist seine Grundkante? Gegeben: h = 22,5 cm und V = 3,5 l = cm³ Gesucht: a Formel: V = a 2 h cm 3 = a 2 22,5 cm : 22,5 cm 155,56 cm 2 = a 2 12,47 cm = a Antwort: Die Länge der Grundkante beträgt 12,5 cm. Beispiel 3 Es soll eine runde Tischplatte aus Marmor mit einem Durchmesser von 80 cm gefertigt werden. Die Dichte ρ von Marmor ist 2,8 g cm 3 und die Platte wiegt 112,54 kg. Wie hoch ist die Tischplatte? (Sie hat die Form eines flachen Zylinders.) Gegeben: d = 80 cm; ρ = 2,8 g cm 3 ; r = 40 cm; m (Masse) = 112,54 kg = g Gesucht: Höhe der Platte 1. Schritt: Berechne das Volumen (V) Formel: m = V ρ g = V 2,8 g cm 3 : 2,8 g cm ,86 cm 3 = V 72

10 2 Rechnen mit Gleichungen 2. Schritt: Berechne die Höhe Formel: V = r² π h 40192,86 cm 3 = (40 cm) 2 3,14 h 40192,86 cm 3 = cm 2 3,14 h 40192,86 cm 3 = cm 2 h : cm 2 8,00017 cm = h Antwort: Die Höhe der Marmorplatte beträgt 8 cm. 27. Stelle die Formel um und berechne die fehlende Größe. a) Parallelogramm: A = a h gegeben: A = 36 cm², h = 8 cm gesucht: a =? b) Rechteck: u = 2 a + 2 b gegeben: u = 38 m, a = 7 m gesucht: b =? c) Dreieck: A = g h 2 gegeben: A = 14,4 cm², g = 7,2 cm gesucht: h =? d) Quader: V = a b c gegeben: V = 686 cm³, a = 14 cm, b = 7 cm gesucht: c =? e) Pyramide: V = 1 3 a² h gegeben: V = 20 l = 20 dm³, a = 4 dm gesucht: h =? f) Pyramide: O = a² + M gegeben: O = 85 cm², M = 60 cm² gesucht: a =? 28. Ein Kanister hat die Form einer quadratischen Säule. Er ist 12,5 cm breit und fasst 2,6 Liter. Wie hoch ist er? Formel: V = a² h 29. Der Landwirt Herr Simon hat seine rechteckige Wiese eingezäunt; diese ist 108 m lang. Dafür hat Herr Simon insgesamt 325 m Zaun gebraucht. Wie breit ist die Wiese? Formel: u = 2 a + 2 b 30. Ein Rad hat einen Umfang von 219,8 cm. Welchen Durchmesser hat es? Formel: u = d π 31. Herr Peter fährt mit dem Zug eine Strecke von 110 km. Wie lang ist er unterwegs, wenn die Durchschnittsgeschwindigkeit des Zuges 80 km beträgt? h Gib das Ergebnis in Stunden und Minuten an. Formel: v = s t. 32. Ein kegelförmiger Briefbeschwerer soll aus Glas hergestellt werden. Folgende Zahlen sind angegeben: Dichte von Glas: 2,5 g cm 3, m = 162 g und r = 3 cm. Welches Volumen hat der Briefbeschwerer und wie hoch ist er? Formeln: m = V ρ und V = 1 3 r² π h 73

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