Grundwissen. 6. Jahrgangsstufe. Mathematik
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- Helene Schulze
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1 Grundwissen 6. Jahrgangsstufe Mathematik
2 Brüche Grundwissen Mathematik 6. Jahrgangsstufe Seite. Bruchteil 3 4 von 00kg =75 kg NR: 00kg :4 3=25 kg 3=75 kg 3 4 heißt Anteil ; 75kg heißt Bruchteil.2 Erweitern und Kürzen Erweitern: Zähler und Nenner mit der selben Zahl multiplizieren 3 mit 2 erweitern: 4 = =6 5 mit 3 erweitern: 8 7 = =5 2 Kürzen: Zähler und Nenner durch die selbe Zahl dividieren 5 mit 5 kürzen: 0 = 2 ; mit 3 kürzen: 2 2 = 4 7 Brüche ändern ihren Wert beim Erweitern und Kürzen nicht!.3 Vergleichen von Brüchen Um Brüche vergleichen zu können, muss man sie gleichnamig (d.h. gleicher Nenner) machen oder man muss sie auf den gleichen Zähler bringen. 4 7 = = 49 9 also ist 4 7 größer 4 7 = = also ist 4 7 größer 5 2 = = 2 48 also ist 7 6 größer.4 Rationale Zahlen Die Bruchzahlen und ihre Gegenzahlen bilden zusammen die Menge der rationalen Zahlen: Q Q= { 2 ; 2 ; 3 ; 3 ; 2 2 ; 2 2 ; 2 3 ; 2 3 ; 3 2 ; 3 2 ; 4 3 ; 4 3 ;2 ; 6,7 ;7 ; 0 ;... }
3 Grundwissen Mathematik 6. Jahrgangsstufe Seite 2.5 Dezimalbrüche Bei der Dezimalschreibweise bedeutet die.,(2., 3. ) Stelle hinter dem Komma Zehntel, (Hundertstel, Tausendstel,...) 2,3065 bedeutet 2 Ganze und 3 0 und und Umwandeln von Brüchen in Dezimalbrüche Man bringt den Nenner auf eine Zehnerpotenz oder man dividiert den Zähler durch den Nenner. a Ein Bruchstrich bedeutet dasselbe wie geteilt: b =a : b Wenn sich beim Divisionsverfahren ein Rest wiederholt, dann hat das Ergebnis eine Periode. 3 5 = 6 0 =0,6 3 4 = =0, = =6 8 : 2 5 = 2, = =5 : 6 = 0, =0, (selber Rest) 4,82 :0,99=482: 99=4,86...=4, selber Rest
4 Grundwissen Mathematik 6. Jahrgangsstufe Seite 3.7 Runden von Dezimalbrüchen Hat man die gewünschte Zahl der Nachkommastellen festgelegt, so betrachtet man die Ziffer auf der nächsten Nachkommastelle und rundet nach den üblichen Regeln. Auf Tausendstel Auf Hundertstel Auf Zehntel 4, ,873 0, ,029,98536,985 4, ,87 0, ,03,98536,99 4, ,9 0, ,0, ,0 2 Relative Häufigkeit 2. Absolute Häufigkeit Die absolute Häufigkeit eines Ergebnisses gibt an, wie oft dieses Ergebnis bei mehrfacher Ausführung des Zufallsexperimentes auftritt. Bei 00 mal Würfeln kam folgende Tabelle Absolute Häufigkeit von 5 war 24 Absolute Häufigkeit von "gerade" war = 43 Absolute Häufigkeit von "ungerade" war 57
5 Grundwissen Mathematik 6. Jahrgangsstufe Seite Relative Häufigkeit Die relative Häufigkeit gibt den Anteil eines bestimmten Ergebnisses an der Gesamtzahl der Durchführungen des Zufallsexperimentes an. absolute Häufigkeit Relative Häufigkeit= Gesamtzahl Bei 00 mal Würfeln kam folgende Tabelle Relative Häufigkeit von 2 war 2 00 =0,2 Relative Häufigkeit von "gerade" war =0,43 3 Addition und Subtraktion von Brüchen Zum Addieren und Subtrahieren müssen Brüche den gleichen Nenner haben. Formeln: a c b c = a b c a c b c = a b c Der kleinstmögliche gemeinsame Nenner (Hauptnenner) ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgv) dieser Nenner = =7 6 = = = = = = =4 30 = 7 5 am Ende Kürzen nicht vergessen = = 3 24 = 8
6 Grundwissen Mathematik 6. Jahrgangsstufe Seite 5 Addieren und Subtrahieren von Dezimalbrüchen Wie bei den ganzen Zahlen wird stellenweise addiert bzw. subtrahiert. 3, 5 2, 8 3 0, 6 8 5, 6 9 8, 4 2 4, 8, , , Addieren und Subtrahieren von gemischten Zahlen Man kann die Ganzen und die Brüche getrennt voneinander zusammenfassen = = =5 6 von den 3 Ganzen muss man ein Ganzes zerlegen! = =9 0 0 = = = = = = =9 2 5 am Ende Kürzen nicht vergessen!!!
7 Grundwissen Mathematik 6. Jahrgangsstufe Seite 6 4 Multiplikation und Division von Bruchzahlen 4. Multiplizieren eines Bruches mit einer natürlichen Zahl Multipliziere den Zähler des Bruches mit der natürlichen Zahl und behalte den Nenner bei. Formel: a z n =a z n Beispiele : =3 5 7 = 5 7 = =5 6 2 =30 2 =2 6 2 =2 2 am Ende Kürzen nicht vergessen 4.2 Dividieren eines Bruches durch eine natürliche Zahl Multipliziere den Nenner des Bruches mit der natürlichen Zahl und behalte den Zähler bei. Formel: z n :a= z n a 2 3 :4= = 3 2 = :3= = 2 7 =2 7 Beliebte Mathelehrerfrage: Was ist die Hälfte von einem Fünftel? 5 :2= Multiplikation zweier Brüche Multipliziere Nenner mit Nenner und Zähler mit Zähler. Formel: a b c d = a c b d = =3 2 5 = =0 3 5 = =2 3 =22 3 =7 3 Die Ganzen muss man zuerst umwandeln
8 Grundwissen Mathematik 6. Jahrgangsstufe Seite Division zweier Brüche Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert. Formel: a b : c d = a b d c 4.5 Multiplikation von Dezimalbrüchen 5 2 : 3 4 = = = = : 3 4 = 7 3 : 7 4 = = = 4 3 = 3 Die Ganzen muss man zuerst umwandeln. Multipliziere zunächst ohne Berücksichtigung der Kommas. 2. Das Ergebnis hat so viele Nachkommastellen, wie die beiden Faktoren zusammen.,5 0,2=0,30 0,05 0,02=0,000 2,5 0,04=0,00 3, 4 5 2, , Division von Dezimalbrüchen Verschiebe das Komma bei beiden Zahlen so weit nach rechts, bis der Divisor eine natürliche Zahl ist, und führe dann die Division durch. Setze beim Überschreiten des Kommas auch im Ergebnis ein Komma. 8,: 2,7=8: 27=3,8:,5=8:5=, ,08: 3,8=60,8: 38=,
9 Grundwissen Mathematik 6. Jahrgangsstufe Seite 8 5 Flächeninhalt von Dreiecken und Vierecken 5. Flächeninhalt von Parallelogrammen Beim Parallelogramm bezeichnet man den Abstand zweier paralleler Seiten als Höhe. Für den Flächeninhalt des Parallelogramms gilt: A=a h a =b h b Parallelogramme, die in einer Seite und der dazugehörigen Höhe übereinstimmen, haben den gleichen Flächeninhalt. 5.2 Flächeninhalt von Dreiecken Die Länge der senkrechten Verbindungsstrecke zwischen einer Ecke und der gegenüberliegenden Seite bezeichnet man als Höhe im Dreieck. In jeden Dreieck gibt es drei Höhen. Für den Flächeninhalt des Dreiecks gilt: A= 2 a h a= 2 b h b= 2 c h c Dreiecke, die in einer Seite und der zugehörigen Höhe übereinstimmen, haben den gleichen Flächeninhalt.
10 Grundwissen Mathematik 6. Jahrgangsstufe Seite Flächeninhalt von Trapezen Ein Viereck mit zwei zueinander parallelen Seiten nennt man Trapez. Den Abstand der zueinander parallelen Seiten bezeichnet man als Höhe des Trapezes. Die beiden anderen Seiten bezeichnet man als Schenkel des Trapezes. Für den Flächeninhalt des Trapezes gilt: A= a c h 2 Berechne möglichst einfach die Flächeninhalte der beiden Figuren. Dreieck: Die 4cm-Seite ist die Höhe auf der 2cm-Seite. F = 2 2 cm 4cm= 2 8cm2 =4 cm 2 Trapez: Die 4cm-Seite ist die Höhe im Trapez. F = 2 (2 cm+5 cm ) 4 cm= 7 cm 4 cm=4cm2 2
11 5.4 Netze Grundwissen Mathematik 6. Jahrgangsstufe Seite 0 Wird die Oberfläche eines Körpers längs geeigneter Kanten aufgeschnitten und in der Zeichenebene ausgebreitet, so erhält man ein Netz des Körpers. Zeichne ein Netz des geraden Prismas rechts.
12 Grundwissen Mathematik 6. Jahrgangsstufe Seite 5.5 Oberflächeninhalt Der Oberflächeninhalt O eines Körpers ist gleich dem Flächeninhalt seines Netzes. Berechne den Oberflächeninhalt der quadratischen Pyramide rechts. O=4 cm 4 cm+4 4 cm 3,5cm= 2 =6 cm cm 2 = =6 cm 2 +28cm 2 =44cm 2 Berechne den Oberflächeninhalt des geraden Prismas rechts. O=2 4 cm 3cm+4 cm 2 cm+2 3,6cm 2cm= 2 =2cm 2 +8cm 2 +4,4 cm 2 = =34,4cm 2
13 Grundwissen Mathematik 6. Jahrgangsstufe Seite 2 6 Volumen und Volumenmessung 6. Volumen Das Volumen gibt an, welchen Raum ein Körper einnimmt. V = 5cm³ bedeutet: Der Körper hat das fünffache Volumen eines Zentimeterwürfels. 6.2 Volumeneinheiten Zur Volumenmessung verwendet man Würfel mit den... Kantenlängen mm cm dm m Volumen mm³ cm³ dm³ m³ 6.3 Umrechnungstabelle m 3 = 000 dm 3 dm 3 = 000 cm 3 cm 3 = 000mm 3 spezielle Einheiten l=dm 3 00 l= hl l=000ml ml=cm Das Volumen eines Quaders Für den Quader mit den Kantenlängen a, b und c gilt : V = a b c Für den Würfel mit der Kantenlänge a gilt: V = a³
14 Grundwissen Mathematik 6. Jahrgangsstufe Seite 3 Bestimme das Volumen des Körpers rechts. V =4 cm 5 cm 2 cm 3cm 2cm 2cm= =40 cm 3 2 cm 3 = =28cm 3 7 Rationale Zahlen 7. Anordnung Was auf der Zahlengerade weiter rechts ist, das ist größer. z.b. : 3, , Addition und Subtraktion Subtrahieren einer Zahl ist dasselbe wie Addieren der Gegenzahl. 3,4 5,5= 2, 4,6+( 2,9)= 4,6 2,9= 7,5 6,5 ( 4,6)=6,5+ 4,6=, 3,8+8,4=4, = = = ( 52 3 )= =34 5
15 Grundwissen Mathematik 6. Jahrgangsstufe Seite Multiplikation und Division Plus mal Minus gibt Minus. Minus mal Minus gibt Plus. Plus mal Plus gibt Plus. 2,4:(,2)= 2 ( 0,6) ( 3,2)=+,92 (,8) (+0,5)= 0,9 ( 5,4): 0,09= ( 3 7 ) = 2 35 ( 2 3 ) : ( +2 2 ) = ( 5 3 ) : ( 5 2 ) = ( 5 3 ) ( 2 5 ) = Verbindung der Grundrechenarten 0,4 ( 3:0,5 2: 3 ) = 0,4 ( ) = 0,4 (6 6 ) = 0,4 0=0 4 : ( 2 ) +0,5 0,4 4 = 4 ( 2 ) +0,5 0,4 5 4 = 2 +0,5 0,5 = 2 = 0,5 [0,75 0,4 : ( 2 3 ) ] = [0,75 0,4:( 8 ) ] = [0,75+0,05 ] = 0,8 =0,2 7.5 Rechengesetze Vorrangregeln Klammern zuerst Potenz vor Punkt vor Strich Bei nur Strich (oder nur Punkt) gilt "von links nach rechts" Klammern ohne Punkt Bei Plus vor der Klammer und kein Punkt hinter der Klammer einfach weglassen Bei Minus vor der Klammer und kein Punkt hinter der Klammer Vorzeichen umdrehen 37+(20 37)= =20 93 (93 50)= =50 Vertauschen Bei nur Plus (oder nur Mal) darf beliebig vertauscht werden. Vertauschen bei Plus und Minus: Rechenzeichen vor der Zahl mitnehmen = =
16 Grundwissen Mathematik 6. Jahrgangsstufe Seite 5 8 Prozentrechnung 8. Prozentbegriff Prozent ist eine andere Bezeichnung für Hundertstel 60%= =0,6 25%= =0,25 3 %=0,3 30 %=, Grundgleichung der Prozentrechnung Prozentsatz Grundwert = Prozentwert PS GW = PW 20% von 50= von 50= =0,2 50=0,0 30 % von 25= von 25= =0,3 25=7,5 8.3 Berechnung des Prozentwertes Wie viel sind 9% von 240m? 9% 240m=0,9 240 m=45,6 m 8.4 Berechnung des Prozentsatzes Wie viel Prozent von 50 sind 30? NR: 0, , :50= = 5 = =20 %
17 Grundwissen Mathematik 6. Jahrgangsstufe Seite Berechnung des Grundwertes 30% von wie viel kg sind 45kg? 30% von 50kg sind 45kg. 8.6 Dreisatz In 80s werden 66 Liter Öl abgefüllt. Wie lange dauert es für 55 Liter? Die Bahnfracht für eine Sendung mit einem Gewicht von 260kg kostet 40. Wie hoch ist die Gebühr für 52kg? Das Abfüllen von 50 Litern dauert 50s. 52kg kosten ungefähr 8.
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= (Kürzen mit 4) Gleichnamige Brüche werden addiert (subtrahiert), indem man die Zähler addiert (subtrahiert) und den Nenner beibehält.
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