1. Rationale Zahlen. Brüche Brüche haben die Form nz. Beispiele: 3. mit z I

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1 . Rationale Zahlen Brüche Brüche haben die Form nz mit z I N 0, n I N. z heißt der Zähler, n der Nenner des Bruches. Unechte Brüche kann man in gemischte Zahlen umwandeln. Bruchzahlen: Zu jeder Bruchzahl gehören unendlich viele verschiedene Brüche. I = Menge der Bruchzahlen. B 0 Es gilt: IN 0 I B 0 Der Wert des Quotienten zweier natürlicher Zahlen a und b ist die Bruchzahl ba. Formänderung von Brüchen: a) Erweitern eines Bruches bedeutet: Zähler und Nenner werden mit derselben natürlichen Zahl multipliziert. b) Kürzen eines Bruches bedeutet: Zähler und Nenner werden durch einen gemeinsamen Teiler dividiert. Anordnung der Bruchzahlen: Von zwei Brüchen mit gleichem Nenner ist derjenige der kleinere, der den kleineren Zähler hat. Von zwei Brüchen mit gleichem Zähler ist derjenige der kleinere, der den größeren Nenner hat. Brüche mit verschiedenen Nennern bringt man vor dem Vergleichen auf den Hauptnenner (= kgv aller Nenner). Addieren und Subtrahieren: Brüche mit gleichem Nenner werden addiert (subtrahiert), indem man die Zähler addiert (subtrahiert) und den Nenner beibehält. Brüche mit verschiedenen Nennern erweitert man zuerst auf den Hauptnenner. Multiplizieren: Brüche werden multipliziert, indem man zuerst soweit wie möglich kürzt, und dann Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert. Gemischte Zahlen müssen vor dem Multiplizieren in unechte Brüche verwandelt werden. Dividieren: Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert. Bruchteil eines Bruches: Bruchteil von ist Bruchteil mal Beispiele: (echter Bruch: Zähler < Nenner) (unechter Bruch: Zähler > Nenner) (Stammbruch: Zähler = ) = = = =... 6 : = = = : = = : < < + =, = + = + = 6 = = = = = 0 6 = : = = 6 von kg = kg = kg kg 0 =

2 Rationale Zahlen: Die Bruchzahlen und ihre Gegenzahlen bilden zusammen die Menge der rationalen Zahlen. Q = Menge der rationalen Zahlen Es gilt: Æ Q Der Wert des Quotienten zweier ganzer Zahlen a und b ist die Bruchzahl ba ( b Der Betrag einer rationalen Zahl ist ihr Abstand von der Zahl 0. Rechnen mit rationalen Zahlen Für das Rechnen mit rationalen Zahlen gelten die gleichen Regeln wie für das Rechnen mit ganzen Zahlen åq, 6 = å Q, = = =, = 0 = = ( ) ( ) = = ( ) = = Dezimalbrüche Zahlen wie,6 heißen Dezimalbrüche. Dabei bedeutet die. (.,.,...) Stelle hinter dem Komma Zehntel (Hundertstel, Tausendstel,...).Die Ziffern hinter dem Komma heißen Dezimalen. Runden von Dezimalbrüchen: Ist die erste wegzulassende Ziffer 0,,,,, so wird abgerundet, ist sie, 6,,,, so wird aufgerundet. Addieren und Subtrahieren von Dezimalbrüchen: Es werden die Stellen gleichen Wertes addiert (subtrahiert). Multiplikation und Division mit Stufenzahlen: Verschiebe des Kommas um so viele Stellen nach rechts (links), wie die Stufenzahl Nullen hat. Multiplikation von Dezimalbrüchen: Die Kommas bleiben beim Multiplizieren zunächst unberücksichtigt. Das Ergebnis erhält so viele Dezimalen, wie die Faktoren zusammen haben. Division durch eine natürliche Zahl: Vor dem Herabholen der. Ziffer hinter dem Komma wird im Ergebnis das Komma gesetzt. Division durch einen Dezimalbruch: Der Quotient zweier Zahlen ändert sich nicht, wenn man bei beiden Zahlen das Komma um gleich viele Stellen in gleicher Richtung verschiebt (=gleichsinnige Kommaverschiebung). Das Komma wird beim Dividend und Divisor so weit verschoben, bis der Dividend eine natürliche Zahl ist. 0,0 = = 00,= = Runden auf: Dez. Dez. Dez.,6,,6,6,6 +, =,0 (, 6) + (, ) =, 0 (, 6) (, ) = (, 6) +, =,, 6 = 0, 6,0 000 = 00, : 00 = 0,,6 0, 0, : =,,00,6 :,6 =,6: 6 =,6 ( 6, ) 0, = 00, ( 6, ) ( 0, ) = 00,

3 Umformen gewöhnlicher Brüche in Dezimalbrüche: = 0 6, 0 = 0,... = 0, z = z:n = ergibt einen n endlichen Dezimalbruch, wenn der Nenner des vollständig gekürzten Bruchs nur die Primfaktoren oder enthält. unendlichen periodischen Dezimalbruch sonst. Die sich wiederholende Ziffernfolge heißt Periode. Prozentrechnung Prozent = Hundertstel 00 Bsp.: % = = 0, = % = 0, Prozentsatz, Grundwert, Prozentwert: Anteile werden häufig in Prozent angegeben. p p% = 00 Es gilt: p% von G = P p% = Prozentsatz, G = Grundwert, P = Prozentwert Dem Grundwert werden immer 00% Zinsrechnung: Zins Z = Leihgebühr in Kapital K = ausgeliehener Geldbetrag Zinssatz p% = Leihgebühr in % t p Zinsformel: Z = K Zinsjahr = 60 Tage, Zinsmonat = 0 Tage Beispiele: Eine Ware kostet 0,00 und wird um 6% verteuert. 6 % von 0, = 6% 0, = 6, 0, =, Eine Ware kostet,00 und wird um 6% verbilligt. % von, = %, = 0,, =, Eine Ware wir von 0 auf verteuert. 0 Prozentuale Erhöhung = 00% = 6% 0 Ein Kapital von 000 wird 60 Tage zu einem Zinssatz von,% verzinst. 60, Zins Z= 0 =, Rauminhalte Volumeneinheiten: l = cm h =, cm Hat ein Würfel die Kantenlänge so ist sein Volumen mm mm cm dm cm = ml dm = l m m Umrechnungen: mm cm dm m Umrechnungszahl mm = cm 000 cm = dm 000 dm = m, m = 00 dm = cm

4 b = cm Volumen des Quaders: Das Volumen eines Quaders der Länge l, der Breite b und der Höhe h beträgt: V Q = l b h V Q = cm cm, cm = cm s = 0, cm Volumen des Würfels: Das Volumen des Würfels der Kantenlänge s beträgt: V W = s V W = (0, cm) = 0, cm = mm. Der Winkel Dreht man eine Halbgerade um ihren Anfangspunkt S entgegen dem Uhrzeigersinn bis zur Halbgeraden h, so wird ein Gebiet überstrichen, das wir den Winkel zwischen g und h nennen. Bezeichnungen: (g, h) oder ASB Winkeleinheiten: = 60 (Winkelminuten) = 60 Winkelsekunden) Winkelarten: Gradzahl α = 0 0 <α <0 α=0 0 <α <0 α = 0 0 <α <60 Bezeichnung Nullwinkel spitzer Winkel rechter Winkel stumpfer Winkel gestreckter Winkel überstumpfer Winkel α= 60 Vollwinkel

5 . Zuordnungen Bei einer Zuordnung wird jeder Zahl (aus einer Menge von Zahlen) eine weitere Zahl Beschreibungsmöglichkeiten: Tabelle, Graph, Vorschrift Direkte Proportionalität: Bei einer direkten Proportionalität wird dem doppelten, dreifachen,...wert der einen Größe, das doppelte, dreifache,... der anderen Größe Graph: Eine vom Nullpunkt ausgehende Halbgerade. Besondere Eigenschaft: Zusammengehörende Wertepaare sind quotientengleich. Der gemeinsame Quotientenwert y : x heißt Proportionalitätsfaktor. Indirekte Proportionalität: Bei einer indirekten Proportionalität wird dem doppelten, dreifachen,... Wert der einen Größe die Hälfte, der dritte Teil,... der anderen Größe Graph: Hyperbel Besondere Eigenschaft: Zusammengehörende Wertepaare sind produktgleich.