Mathematik für Gymnasien Grundwissen - Jahrgangsstufe 6

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1 Mathematik für Gymnasien Grundwissen - Jahrgangsstufe 6 I. Brüche 1. Allgemeines 2. Erweitern und Kürzen 3. Dezimalbrüche 4. Vergleichen von Brüchen 5. Addition und Subtraktion i. von Brüchen ii. von gemischten Zahlen iii. von Dezimalbrüchen 6. Multiplikation und Division i. von Brüchen ii. von gemischten Zahlen iii. von Dezimalbrüchen 7. Rationale Zahlen II. Relative Häufigkeit III. Geometrie 1. Flächeninhalt von Dreiecken und Vierecken 2. Oberflächeninhalt von Körpern 3. Volumen und Volumenmessung IV. Prozentrechnung und Diagramme P-Seminar Mathe Schüler helfen Schülern, Johanna Obermaier 1

2 I. Brüche 1. Allgemeines Mit Hilfe von Bruchzahlen lässt sich ein Bruchteil vom Ganzen darstellen. = 1 3 Brüche haben die Form z n mit z IN 0 und n IN; z heißt Zähler, n heißt Nenner des Bruches. Ein Anteil von einer Größe kann durch einen Bruchteil angegeben werden. 3 von 32 kg = 4 (1 von 32 kg) 3 = (32 kg : 4) 3 = 8 kg 3 = 24 kg 4 Es gilt: z n = z : n 3 von 5 = 3 5 = 3 5 verschiedene Arten der Brüche: Stammbrüche: z = echte Brüche: z < n 5 9 unechte Brüche: z > n 8 3 Scheinbrüche: z = 0 oder z ist ein Vielfaches von n 24 6 = 4 Unechte Brüche lassen sich in gemischte Zahlen verwandeln. 8 3 =

3 2. Erweitern und Kürzen Jeder Bruch hat einen Platz auf der Zahlengerade. Brüche mit dem gleichen Platz haben den gleichen Wert. Sie sind Namen für eine Bruchzahl. z.b. 3 7 = 6 14 Durch Erweitern und Kürzen ändert sich der Wert eines Bruchs nicht! Abb.1 Erweitern: Zähler und Nenner werden mit der gleichen Zahl ( 0) multipliziert. (feinere Unterteilung des Ganzen) 3 = 3 4 = (hier wurde mit 4 erweitert) Kürzen: Zähler und Nenner werden durch die gleiche Zahl ( 0) dividiert. (gröbere Unterteilung des Ganzen) Abb.2 12 = 12 4 = (hier wurde mit 4 gekürzt) Einen Bruch, den man nicht mehr kürzen kann, nennt man vollständig gekürzt (Grundform). 3. Dezimalbrüche Zahlen wie z.b. 5,841 werden Dezimalzahlen genannt. Dabei heißt die 1. (2., 3.,...) Stelle hinter dem Komma Zehntel (Hundertstel, Tausendstel,...). Alle Ziffern hinter dem Komma heißen Dezimalen. 0,07 = ,857 = =

4 Umwandeln von Brüchen in Dezimalbrüche: Die Division z = n z : n ergibt o einen endlichen Dezimalbruch, wenn der Nenner des vollständig gekürzten Bruches nur die Primfaktoren 2 oder 5 (oder beide) enthält. 17 = 1 = 0,5 (da der Nenner der Primfaktor 2 ist) = 0,28 (da man den Nenner in den Primfaktor 5 zerlegen kann: 25 = 5 5 = 52 ) 6 = = 0,30 (Primfaktoren des Nenners sind 2 und 5: 20 = = 22 5 ) o sonst einen unendlichen periodischen Dezimalbruch. 5 = 1 = 1 : 6 = 0, = 0,16 (da der Nenner neben der 2 noch weitere 30 6 Primfaktoren enthält: 6 = 2 3 ) Runden von Dezimalbrüchen: Vor dem Runden muss man die Anzahl der Nachkommastellen kennen, die die gerundete Zahl haben soll. Ist die erste wegzulassende Stelle 0, 1, 2, 3 oder 4, so wird abgerundet. Ist die erste wegzulassende Stelle 5, 6, 7, 8, oder 9, so wird aufgerundet Runde auf drei Nachkommastellen (also auf Tausendstel)! 6,5324 6,532 8,3958 8, Vergleichen von Brüchen Bruchzahlen: Um Bruchzahlen vergleichen zu können, gibt es zwei Möglichkeiten. Entweder man bringt die Brüche durch Erweitern oder Kürzen auf den gleichen Nenner (also macht sie gleichnamig). Dann gilt: Der Bruch mit dem größeren Zähler ist somit auch die größere Bruchzahl. 3 < Oder man bringt die Brüche auf den gleichen Zähler. Dann gilt: Der Bruch mit dem kleineren Nenner ist die größere Bruchzahl > 6 23 Dezimalbrüche: Haben zwei Dezimalbrüche unterschiedliche Vorzeichen, so ist stets die Zahl mit dem positiven Vorzeichen (+) größer, als die mit dem negativen (-). 7,1 < 2,34 Wenn beide Zahlen negativ sind, ist die Zahl größer, deren Betrag kleiner ist. 1,3 < 0,5 da: 0,5 = 0,5 < 1,3 = 1,3 4

5 Wenn beide Zahlen positiv sind, fängt man an der Stelle ganz links an, die Ziffern mit gleichem Stellenwert zu vergleichen. Die Zahl, bei der zuerst eine größere Ziffer auftritt, ist die Größere. 1,345 > 1, Addition und Subtraktion i. Addition und Subtraktion von Brüchen Gleichnamige Brüche (Brüche mit gleichem Nenner) werden addiert (bzw. subtrahiert), indem man Zähler plus (bzw. minus) Zähler rechnet und den Nenner beibehält = = 5 ; 3 1 = 3 1 = 2 = Ungleichnamige Brüche (Brüche mit verschiedenen Nennern) werden addiert (bzw. subtrahiert), indem man vor dem Addieren (bzw. Subtrahieren) auf den Hauptnenner (=kleinstes gemeinsames Vielfach) erweitert Man macht die Brüche gleichnamig. Dann rechnet man wieder Zähler plus (bzw. minus) Zähler und behält den Nenner bei = = = ii. Addition und Subtraktion von gemischten Zahlen Zuerst müssen die Brüche gleichnamig gemacht werden. Dann addiert (bzw. subtrahiert) man die Ganzen und die Brüche getrennt voneinander und fasst am Ende zusammen = (2 + 5) + ( ) = (2 + 5) + ( ) = = Eine andere Möglichkeit wäre es, die gemischten Zahlen in unechte Brüche zu verwandeln, um dann addieren (bzw. subtrahieren) zu können. iii. Addition und Subtraktion von Dezimalbrüchen Dezimalbrüche müssen stellenwertgerecht addiert (bzw. subtrahiert) werden. Beim Untereinanderschreiben, um schriftlich addieren (bzw. subtrahieren) zu können, muss also Komma unter Komma stehen. 56,89 3,41 53,48 5

6 6. Multiplikation und Division i. Multiplikation und Division von Brüchen Merke: Produkte im Zähler und Nenner müssen vor dem Ausmultiplizieren stets vollständig gekürzt werden. Multiplizieren: Man rechnet Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner. 2 4 = 2 4 = ; = = = = 1 8 Dividieren: Es gilt Bruch : Bruch = Bruch Kehrbruch a b : c d = a b d c 1 4 : 5 7 = = 7 20 ; = = = 3 40! Achtung: Durch Null dividieren ist verboten! ii. Multiplikation und Division von gemischten Zahlen Um gemischte Zahlen multiplizieren (bzw. dividieren) zu können, wandelt man sie zuerst in unechte Brüche um. Anschließend geht man so vor, wie bei echten Brüchen (siehe i. Multiplikation und Division von Brüchen) : 17 3 = = = = 1 2 iii. Multiplikation und Division von Dezimalbrüchen Multiplizieren: Man multipliziert zuerst beide Dezimalbrüche ohne das Komma zu berücksichtigen. Am Ende setzt man das Komma so, dass das Ergebnis gleich viele Nachkommastellen besitzt wie beide Faktoren zusammen. 1 Stelle 2 Stellen 1,8 0, ,152 3 Stellen 6

7 Dividieren: Bei einer Division eines Dezimalbruchs durch eine natürliche Zahl geht man vor wie bei der Division natürlicher Zahlen und setzt beim Überschreiten des Kommas im Dividenden das Komma im Ergebnis. 22,5 : 15 = 1, Bei einer Division eines Dezimalbruchs durch einen Dezimalbruch verschiebt man das Komma so weit nach rechts, bis der Divisor eine natürliche Zahl ist. Dann kann man so vorgehen wie oben erklärt. 0,48 : 0,6 = 4,8 : 6 = 0,8! Das Ergebnis einer Division ist dann ein periodischer Dezimalbruch, wenn sich beim Divisionsverfahren ein bestimmter Rest immer wieder wiederholt. 0,43 : 0,11 = 43 : 11 = 3, Rationale Zahlen Die Menge der positiven und negativen Bruchzahlen, sowie die positiven und negativen Dezimalzahlen bilden zusammen mit der Zahl 0 die Menge der rationalen Zahlen Q. Die Rechengesetze und regeln der ganzen Zahlen Z gelten auch für die rationalen Zahlen Q. zur Erinnerung: Rechengesetze Abb.3 Kommutativgesetz (KG) a + b = b + a und a b = b a Assoziativgesetz (AG) (a + b) + c = a + (b + c) und (a b) c = a (b c) Distributivgesetz (DG) (a + b) c = a c + b c Klammer vor Potenz vor Punkt vor Strich Merkwort: KLA P P S 7

8 II. Relative Häufigkeit a) Zufallsexperimente Experimente, deren Ergebnisse nicht vorhersagbar (also zufällig) sind und unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholt werden, nennt man Zufallsexperimente. Werfen eines Spielwürfels/ einer Münze; Drehen eines Glückrades Relative Häufigkeit = absolute Häufigkeit Gesamtzahl Die absolute Häufigkeit gibt an, wie oft ein bestimmtes Ergebnis auftritt. Die relative Häufigkeit gibt an, wie groß der Anteil der absoluten Häufigkeit des bestimmten Ergebnisses an der Gesamtzahl der Durchführung des Zufallsexperiments ist. Ein Würfel wird insgesamt zwanzigmal geworfen. Fünfmal wird eine 2 gewürfelt. Das Ergebnis Augenzahl = 2 tritt also fünfmal auf ( absolute Häufigkeit = 5). Um nun auf die relative Häufigkeit zu kommen, muss man die Formel verwenden: absolute Häufigkeit Gesamtzahl = 5 20 = 1 4 b) Empirisches Gesetz der Großen Zahlen Wiederholt man ein Zufallsexperiment sehr oft, so pendelt sich die relative Häufigkeit bei einem festen Zahlenwert ein. Beim Werfen eines Spielwürfels ist dieser Wert 1 6. Diese Bruchzahl ist ein guter Schätzwert für die tatsächliche Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses. c) Vierfeldertafel Um Daten eines Zufallsexperiments oder einer Befragung übersichtlich auswerten zu können, ist eine Vierfeldertafel ein praktisches Hilfsmittel zur Berechnung von absoluten und relativen Häufigkeiten. 8

9 Die Klasse 6a, die aus 24 Personen besteht, hat eine Umfrage zum Thema Skifahren in der eigenen Klasse durchgeführt. 18 der Schülerinnen und Schüler haben die Frage, ob sie gerne Skifahren gehen, mit Ja beantwortet. 15 Personen der Klasse sind Mädchen. 5 Personen der Klasse sind Mädchen, die nicht gerne Ski fahren. Erstelle eine passende Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten für diese Situation. Wie groß ist der Anteil ( relative Häufigkeit) der Jungen, die Skifahren mögen? 1. Schritt: Vierfeldertafel erstellen 2. Schritt: alle bekannten Zahlen (hier: dick gedruckt) eintragen 3. Schritt: aus den bekannten Zahlen die übrigen berechnen (Immer jedes Kästchen einer Zeile muss addiert werden, sodass im letzten Kästchen der Zeile das Ergebnis steht. z.b. bei der ersten Zeile:? + 5 = 15 Umkehraufgabe: 15 5 = 10 Das gleiche Prinzip gilt bei den Spalten. Jedes Kästchen einer Spalte wird addiert, sodass im letzten Kästchen der Spalte das Ergebnis steht. z.b. bei der letzten Spalte: 15 +? = 24 Umkehraufgabe: = 9 ) Mag gerne Skifahren Mag nicht gerne Skifahren Mädchen Nicht Mädchen (also Junge) Schritt: die absolute Häufigkeit der Jungen, die Skifahren mögen, ablesen 8 5. Schritt: mit Hilfe der Formel die relative Häufigkeit berechnen 8 24 = 1 3 Antwort: 1 der Klasse 6a sind Jungs, die gerne Skifahren gehen. 3 9

10 III. Geometrie 1. Flächeninhalt von Dreiecken und Vierecken Parallelogramm: A P = h a a = h b b Abb.4 allgemein: A P = g h mit g als Grundlinie und h als zugehörige Höhe Dreieck: A D = 1 2 a h a = 1 2 b h b = 1 2 c h c allgemein: A D = 1 2 g h mit g als Grundlinie und h als zugehörige Höhe Abb.5 Trapez: c h a allgemein: A T = 1 (a + c) h 2 wobei a ll c ist a Abb.6 10

11 Verständnishilfe: Abb.7 2. Oberflächeninhalt von Körpern Um den Oberflächeninhalt eines Körpers berechnen zu können, muss man den Flächeninhalt des Körpernetzes berechnen. für Quader: O Q = a b 2 + c b 2 + a c 2 = ( a b + c b + a c) 2 mit a = Länge ; b = Breite ; c = Höhe Abb.8 für Würfel: O W = s s 6 = s 2 6 mit s = Kantenlänge s s s s Abb.9 3. Volumen und Volumenmessung Volumen von Körpern geben an, welchen Raum diese einnehmen. Volumeneinheiten: ( hoch drei = Kubik ) Kantenlänge des Würfels zugehörige Volumina 1 mm 1 cm 1 dm 1 m 1 mm 3 1 cm 3 1 dm 3 1 m 3 Die Umrechnungszahl ist cm 3 = 1000 mm 3 = 0,001 dm 3 = 0, m 3 11

12 Die Einheit Liter [ l ] wird oft bei Flüssigkeitsmengen verwendet.! Merke: 1 dm 3 = 1 l [Liter] 1 cm 3 = 1 ml [Milliliter] 100 l = 1 hl [Hektoliter] Volumenberechnung: für Quader: V = a b c mit a = Länge ; b = Breite ; c = Höhe Abb.8 für Würfel: V = s s s = s 3 mit s = Kantenlänge s s s Abb.9 12

13 IV. Prozentrechnung und Diagramme 1. Prozentschreibweise Prozent ist eine andere Schreibweise für Hundertstel. Die Prozentschreibweise ist zum anschaulichen Vergleich von Anteilen meist sehr praktisch. 50% = 50 8 = 0,5 8% = = 0, Prozentrechnung 20% von 250 = 50 Prozent- Grundwert Prozentwert/ satz/anteil Bruchteil Es gilt: 250 = 50 oder 0, = 50 p % von G = P mit p% = Prozentsatz G = Grundwert (der Grundwert ist immer 100% [das Ganze]) P = Prozentwert a) Prozentsatz p% gesucht: Anteil P von G = P G = p% Wie viel Prozent sind 7 von 35? 7 von 35 = 7 = 1 = 2 = 0,20 = 20% ! Achtung: Zahl von Zahl = Zahl : Zahl = Zahl Zahl Als Ergebnis bekommt man einen Anteil. b) Prozentwert P gesucht: p% von G = p% G = P Wie viel sind 20% von 150? 20% von 150 = 20% 150 = 0, = 30 oder: = = (2 150 ) : 10 = 30! Achtung: Prozentsatz/Anteil von Zahl = Prozentsatz/Anteil Zahl Als Ergebnis bekommt man eine Zahl. 13

14 Größe in cm c) Grundwert G gesucht: G = P p% Der Preis eines Fernsehgeräts wurde um 20% gesenkt und beträgt nun 320. Wie teuer war es vorher? 80% von = 320 0,8 = 320 Umkehraufgabe bilden: 320 : 0,8 = 400 oder: 320 sind 80% vom Grundwert (da 100% - 20% = 80%) G = % = 320 0,80 = 400 Bemerkung: Um den Prozentsatz/ Prozentwert/ Grundwert zu berechnen kann man auch den Dreisatz verwenden! z.b. bei c) 80% entsprechen 320 : 80 : 80 1% entspricht % entsprechen Diagramme Um übersichtlich den Zusammenhang zwischen zwei Größen darstellen zu können, kann man ein Diagramm verwenden. Jede Koordinatenachse wird mit einer Größe beschriftet. Jeder Punkt im Diagramm beschreibt jeweils mit seinen Koordinaten einen Wert der einen Größe und den dazugehörigen Wert der anderen Größe. Pias Eltern haben an jedem Geburtstag ihre Größe gemessen und in einer Tabelle festgehalten. Von jedem Punkt gibt die erste Koordinate das Alter (in Jahren) und die zweite Koordinate die Größe (in cm) an. Wie groß war Pia an ihrem 2. Geburtstag? Alter in Jahren Antwort: Pia war an ihrem 2. Geburtstag 100cm (= 1m) groß. Abb.10 14

15 Literaturverzeichnis: Folgende Quellen wurden als Orientierung zur Erstellung dieser Grundwissensübersicht genutzt: Schmid, August / Weidig, Ingo: Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien 6 Bayern, 1. Auflage 2013, Ernst Klett Verlag (zuletzt aufgerufen am ) Abbildungsverzeichnis: Abb.1 : Schmid, August/ Weidig, Ingo: Lambacher Schweitzer Mathematik für Gymnasien 6 Bayern, 1. Auflage 2013, Ernst Klett Verlag, S.25 Abb.2: selbst mit Hilfe von GeoGebra erstellt Abb.3: Abb.4: Schmid, August/ Weidig, Ingo: Lambacher Schweitzer Mathematik für Gymnasien 6 Bayern, 1. Auflage 2013, Ernst Klett Verlag, S. 112 Abb.5: ebenda S.116 Abb.6: selbst mit Hilfe von GeoGebra erstellt Abb.7: Schmid, August/ Weidig, Ingo: Lambacher Schweitzer Mathematik für Gymnasien 6 Bayern, 1. Auflage 2013, Ernst Klett Verlag, S. 117 Abb.8: Abb.9: zusammen mit eigenen Ergänzungen Abb.10: selbst mit Microsoft Word erstellt 15