A Bruchzahlen B Rechnen mit Dezimalzahlen C Winkel und Abbildungen D Flächen- und Rauminhalte

Transkript

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2 Inhalt A B C D Bruchzahlen Bruchteile 6 Bruchteile von Größen Kürzen und Erweitern von Brüchen 0 Verhältnisse und Maßstäbe Bruchzahlen 6 Brüche und Dezimalbrüche Prozentzahlen Addition und Subtraktion von Brüchen 6 Multiplikation und Division von Brüchen 0 Rechengesetze Test: Bruchrechnen Rechnen mit Dezimalzahlen Dezimalschreibweise 0 Dezimalzahlen ordnen und runden Addieren und subtrahieren Multiplizieren und Dividieren Vermischte Rechnungen 6 6 Keine Angst vor Textaufgaben Winkel und Abbildungen Winkel Winkelarten Symmetrische Figuren Parkette und Muster Achsen- und Punktspiegelung 6 6 Verschiebungen Flächen- und Rauminhalte Flächeninhalt und Umfang von Rechtecken 0 Dreieck und Parallelogramm Flächenberechnungen in der Praxis Berechnungen am Kreis Raum- und Oberflächeninhalt beim Quader 6 Test: Geometrie Test: Geometrie

3 E F G H Rationale Zahlen Ganze Zahlen 0 Rationale Zahlen Der Betrag einer rationalen Zahl Negative Zahlen im Alltag Rationale Zahlen addieren und subtrahieren 6 Klammern einsparen 6 Rechenregeln und Rechenvorteile Rationale Zahlen multiplizieren und dividieren Terme mit einer Variablen 60 0 Einfache Gleichungen 6 Test: Rationale Zahlen 6 Sachrechnen Zuordnungen 6 Proportionale Zuordnungen 66 Antiproportionale Zuordnungen 6 Dreisatzrechnung 0 Prozentrechnung 6 Vermischte Übungen zur Prozentrechnung 6 Einfache Zinsrechnung Daten und Zufall Häufigkeitstabellen und Diagramme Kennwerte einer Häufigkeitsverteilung 0 Zufallsexperimente Mehrstufige Zufallsexperimente Musterarbeiten Musterarbeit Musterarbeit Musterarbeit Lösungen

4 A Bruchzahlen Bruchteile Wir schreiben für ein Halbes, für ein Drittel, für zwei Drittel, für drei Viertel usw. ; ; ; ; nennt man Brüche. Zähler Bruchstrich Nenner Teilt man ein Ganzes in,,,, 6,, n gleich große Teile, dann entstehen die Stammbrüche,,,, 6,, n. Der Auftrag Berechne eines Ganzen verlangt: Teile das Ganze in gleich große Teile und nimm dieser Teile. : Ergebnis: Der Auftrag Verteile Ganze an Personen verlangt: Teile jedes Ganze in drei gleich große Teile. Gib jedem von jedem zerteilten Ganzen ein Teilstück. Ergebnis: = Beispiel Stelle die Brüche, und als Kreisteile dar. Beispiel Verteile Pizzen gerecht an Kinder. Welchen Teil einer Pizza bekommt jedes? = 6

5 Bruchteile. Welcher Bruchteil wurde gefärbt? a) b) d). Stelle folgende Bruchteile in den vorbereiteten Figuren dar: a) ; b) 6 ; 6.. Hier ist eine Strecke von genau 0 cm Länge mit Zentimeter- und Millimetereinteilung gegeben. Markiere a) der Strecke; b) 0 der Strecke; 00 der Strecke; d) der Strecke Welcher Auftrag ist hier dargestellt? Wie heißt das Ergebnis? º = º º. a) Es sollen Tafeln Schokolade gerecht an Kinder verteilt werden. b) Es sollen Tafeln Schokolade gerecht an 6 Kinder verteilt werden. a) b)

6 A Bruchzahlen Bruchteile von Größen Eine Größe ist ein Produkt aus einem Zahlenwert und einer Einheit, wie = oder mm = mm. Bei Bruchteilen von Größen treten Gleichungen der Form a b von G = E auf. Du musst lösen, in denen zwei von drei Werten gegeben sind. Berechne den Bruchteil: a b von G = u Berechne das Ganze: a b von u = E Welcher Bruchteil ist E von G? u u von G = E Beispiel Beispiel Berechne von 00. Lösung: (00: ) = 0 = 0 sind 0 kg. Berechne das Ganze. Lösungsweg I: sind 60 kg (= die Hälfte von 0 kg). Das Ganze ist dreimal so groß, beträgt also 0 kg. Lösungsweg II: (u : ) = 0 kg. Rückwärts gerechnet: (0 kg : ) = 0 kg. Beispiel Wie viel sind 0 m von 0 m? Gib den Anteil als Bruch an. Lösung: 0 m sind von 0 m. Der Bruchteil heißt. 6. Berechne den Bruchteil. a) 6 von 60 =. Rechnung: 60 : 6 0 b) 0 von 0 g = g. Rechnung: 0 g : 0 g g von m = m. Rechnung: m. Berechne den Bruchteil. a) von t b) von 6 t 0 von t d) 00 von t. Was möchtest du lieber haben? a) von 00 oder von 00 b) 0 von 00 oder von 00. Berechne das Ganze. a) sind 00 b) sind 600 kg sind 600 km

7 Bruchteile von Größen 0. Gib die farbig markierte Strecke als Teil der ganzen Strecke an a) b) 0 m 00 m d) 60 m 0 m. Wie groß ist die gefärbte Fläche in cm? Die Rechtecke sind in Originalgröße gezeichnet. a) b). Wie viel ist a) von 00? b) von 0? von 00? d) h von h? e) h von h? f) 0 h von 0 h?. Tessa gibt von 0, Marc von, Rena von Taschengeld für Süßigkeiten aus. Bei wem ist der Anteil am größten, bei wem am kleinsten?. Urlaubszeit. Familie Peters ist seit 0 Tagen an der Ostsee. a) Fanny Peters meint: Wir haben noch der Urlaubszeit vor uns. b) Vater Peters bemerkt: Es ist so schön hier. Wir verlängern und haben erst unserer Zeit herum.. Ein neu gekauftes Auto verliert im ersten Jahr etwa seines Neupreises und im zweiten Jahr etwa seines Neupreises an Wert. a) Wie viel ist ein Auto nach zwei Jahren noch wert, wenn es neu 00 gekostet hat? b) Ein anderes zwei Jahre altes Auto wird zu angeboten. 6. Gesje sagt: Ich wiege nur 0 von meinem Vater plus 6 von meiner 0 Mutter. Die beiden wiegen zusammen 0 kg.

8 A Bruchzahlen Kürzen und Erweitern von Brüchen Beim Kürzen eines Bruches werden der Zähler und der Nenner durch die gleiche Zahl dividiert. Beim Erweitern eines Bruches werden der Zähler und der Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert. = : : = = : : = = = = = 6 Man kann auch sofort durch Man kann auch sofort mit kürzen: : : =. erweitern: = 6., und bezeichnen gleich, und bezeichnen gleich 6 große Bruchteile. große Bruchteile. Beispiele. Kürzen: a) = : : =. Erweitern: a) = =. Kurz-Schreibweisen beim Kürzen: b) 6 = 6 : : = b) = = = = 6 = 0 = 0. Zeige an den vorbereiteten Abbildungen, dass a) ist. 0 = und b) =. Kürze soweit, wie dies möglich ist. a) 6 º 0 = b) º =,, 6,,,, a) Erweitere mit : = º º = º = b) Erweitere jeden Bruch mit (, 0): 0 º 6 = º =,,,,. º = 0

9 Verhältnisse und Maßstäbe Verhältnisse und Maßstäbe Bei zwei Größen mit gleicher Einheit kann man das Verhältnis bilden. So ist das Verhältnis von 0 zu 000 gleich 0 : 000 oder gleich : (gelesen eins zu vier ). Zur Darstellung bestimmter Objekte benutzt man in der Regel maßstabgetreue Abbildungen oder Zeichnungen. Ein Maßstab ist das Verhältnis einer Bildlänge zur Originallänge. In welchem Verhältnis stehen die Gewichte eines Menschen (0 kg) und eines Elefanten (,6 t)? Lösung:,6 t = 600 kg. Das Gewichtsverhältnis ist 0 : 600 = = 0. Die Gewichte verhalten sich wie : 0. Beispiel 0. In welchem Längenverhältnis stehen a) AB : BC, b) AB : CD, BC : CD? A B C D. Michael hat den Grundriss vom Erdgeschoss seines Elternhauses im Maßstab : 00 aufgezeichnet. a) Wie lang und breit ist das Esszimmer (die Küche) in Wirklichkeit? b) Passt ein,0 m langer Schrank ins Wohnzimmer? Und wohin? Esszimmer Küche Flur Wohnzimmer Arbeitszimmer. Was bedeutet Maßstab : ? Die Länge einer Bildstrecke verhält sich zur Länge der zugehörigen wie. Eine Originalstrecke ist.. Gängige Autokarten haben den Maßstab : Jens plant einen Ausflug. Von A nach B sind es auf der Karte, cm, von B nach C, cm und von C zurück nach A 0, cm. Wie lang sind die gesamte Fahrstrecke und die einzelnen Teilstrecken wirklich?

10 A Bruchzahlen Bruchzahlen Wenn man Äpfel an Kinder verteilt, erhält jedes Kind eines Apfels. Wenn man durch dividiert, erhält man die Bruchzahl. Die Division einer natürlichen Zahl durch eine natürliche Zahl liefert eine Bruchzahl. Denke daran: Durch Null darf man nicht dividieren. Ist der Nenner ein Teiler des Zählers, kann man einen Bruch in eine natürliche Zahl umformen. Bruchzahlen, die größer als sind, schreibt man auch als gemischte Zahlen. Bruchzahlen kann man der Größe nach ordnen. Dabei ist der Zahlenstrahl eine Hilfe. Beispiele. : =. : = =. : = ( + ) : = : + : = + = 6. Ordne der Größe nach:,,, 0 und.. 0 =. 0 : = 0 = 0 0 < < 0 < <. 0. Schreibe als gekürzten Bruch, als gemischte Zahl oder als natürliche Zahl. a) 0 : 6 = º º = º = b) : = º = = : = º º = d) : = º = = e) 0 : 00 = º º = f) 000 : = =. Dividiere nach dem Muster von Beispiel. a) 0 : 6 b) : : d) : 0 6. Schreibe als Bruch und dann als Quotient aus natürlichen Zahlen. a) b) d) e). a) b) d)

11 6 Brüche und Dezimalbrüche 6 Brüche und Dezimalbrüche Das Ergebnis einer Division zweier natürlicher Zahlen kann man als Bruch oder als Kommazahl (als Dezimalbruch) schreiben. Es können abbrechende und nicht-abbrechende (periodische) Dezimalbrüche entstehen. Dezimalbrüche sind im Dezimalsystem (Zehnersystem) geschriebene Bruchzahlen. Sie werden auch als Dezimalzahlen bezeichnet. Im Alltag rechnet man meistens mit einer bestimmten Anzahl von Nachkommastellen. Dabei nimmt man manchmal Rundungen vor. Abbrechende Dezimalbrüche sind wertgleich zu Brüchen mit den Nennern 0 oder 00 oder 000 oder.... Die Stellenwerttafel wird nach rechts erweitert. Hundertstestel Tausend- Tausender Hunderter Einer Zehntel 0 0 Eingetragen ist die Bruchzahl 0,0 = 000. a) : = = b) : = = : = = : = 0, : =,6 : =,... =, , wird gelesen: 0 0 zwei Periode drei 0 abbrechend abbrechend periodisch a) 0, = 000 b) =,0, = 00 Beispiel Beispiel. Gib den Quotienten als Bruch und als Dezimalbruch an. a) : b) : : 0 d) : e) : 0 f) 6 : 0 g) : h) : 00. Dividiere und schreibe das Ergebnis als Dezimalbruch. Runde bei Bedarf auf drei Stellen nach dem Komma. a) : b) : 6 : d) : e) : f) : g) : h) 00 :

12 A Bruchzahlen Besitzt der Divisor in einem Quotienten (bzw. der Nenner in einem Bruch) nur die Primfaktoren und, dann entsteht ein abbrechender Dezimalbruch. Ist der Divisor / der Nenner ein Vielfaches von oder von oder von oder von oder von..., dann erhält man beim Umformen einen periodischen Dezimalbruch. Dies gilt aber nur, wenn der Dividend / Zähler nicht gerade ein Vielfaches des Divisors / Nenners ist. 0. Du kannst vorhersagen, ob bei der Division ein abbrechender oder ein periodischer Dezimalbruch entsteht. Notiere abbrechend bzw. periodisch. a) : 0 = w w ist. b) 0 : = x x ist. : = y y ist. d) 00 : 000 = z z ist.. Forme um. a) = = 0 = 0, b) º 0 = º 0 =, d) 0 = = 0, e) 0 = f) 0 =. Forme in einen Bruch um. Kürze so weit wie möglich. Schreibe e) bis h) auch als gemischte Zahl. a) 0,0 b) 0,0 0, d) 0,0 e), f), g), h) 0,0. Forme in einen Dezimalbruch um. Runde diesen auf drei Stellen nach dem Komma. a) b) d) 6 6 e) f) 6 g) h) Tipp Merke dir: 0, = 0 ; 0,0 = 00 ; 0,00 = 000 ; = 0,; = 0,; = 0,; = 0,; 0 = 0,0; = 0,0; = 0, = 0, ; 6 = 0,66 = 0, 6 ; = 0, = 0,.

13 Prozentzahlen Prozentzahlen Anteile werden oft in Prozent (geschrieben %) angegeben. Es bedeuten: % von dasselbe wie von 00 Insbesondere sind: % von dasselbe wie von usw % = 0 00 = ; % = 0 00 = 0 ; 0 % = 00 = und % = 00 =.. Schreibe die Prozentangaben als Hundertstel und kürze: % = 00 = 0 ; 0 % = 0 00 = ; % = 00 = 0, ; 0, % = 0 00 = 00. Bringe die Brüche auf den Nenner 00 und schreibe in Prozent: = = 60 %; = 00 = %; 0 = 00 = %; 0 =, 00 =, %. von Kindern sind Linkshänder. Wie viel Prozent sind Linkshänder? Beispiele = 00 = % Ergebnis: % der Kinder sind Linkshänder.. a) Gib als gekürzten Bruch an: %; %; %; 0 %; %; 0 %. b) Gib in Prozent an: 0 ; 0 ; 0 ; ; 0 ; ; 0 ; ;.. Drücke mit einem Bruch aus. a) % der Autos fuhren zu schnell. b) Der Käse enthält 0 % Fett. 6. Drücke mit einer Prozentangabe aus. a) der Kinder haben ein Haustier. b) der Karten wurden verkauft. 0. Drücke mit einem Bruch und mit einer Prozentangabe aus. a) Drei von vier Lampen sind an. b) Jedes zehnte Los gewinnt.. Die Schüler der. Klassestufe wurden befragt, wie oft sie das Internet nutzen. % nutzen das Internet bis zu einer Stunde pro Woche. Jeder vierte gibt an, pro Woche etwa ein bis zwei Stunden im Internet zu surfen; jeder zweite nutzt das Internet sogar mehr als zwei Stunden pro Woche. a) Wie viel Prozent der Schüler nutzt das Internet gar nicht? b) Entwirf ein Diagramm.

14 A Bruchzahlen Addition und Subtraktion von Brüchen Brüche mit gleichem Nenner werden addiert (subtrahiert), indem man die Zähler addiert (subtrahiert) und den gemeinsamen Nenner beibehält. Sind die Nenner der Brüche verschieden, so bringt man die Brüche durch Erweitern oder Kürzen auf den gleichen Nenner, bevor man addiert oder subtrahiert. Beispiele. a) + =. a) + = = 6. a) + º = º + º = e) º 0 = 0 = b) = 6 = b) 0 = 0 0 = 0 = = b) = 6 = = 0 º 0 = º = º º º + = = d) = f) º + = 0. Rechne im Kopf. Kürze das Ergebnis, falls möglich. a) + b) + d). Berechne und kürze, falls möglich. a) + b) 6 e). a) + 6 f) + 0 º + º = b) = 6 g) + = º. Wahr (w) oder falsch (f)? a) + < + b) von 6 > + 0 > 6 d) + < 0 0 e) von < 0 + f) 0 + = d) 6 h) + º d) + =. Inka sagt: Ich habe plus plus von 00 auf meinem Sparbuch. Für einen neuen Laptop brauche ich aber -mal so viel Geld. Wie viele Euro fehlen ihr? 6

15 Multiplikation und Division von Brüchen Multiplikation und Division von Brüchen Ein Bruch wird mit einer natürlichen Zahl multipliziert, indem man den Zähler mit der natürlichen Zahl multipliziert und den Nenner beibehält. Eine Bruch wird mit einem Bruch multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert. Ein Bruch wird durch eine natürliche Zahl dividiert, indem man den Zähler durch die natürliche Zahl dividiert. Ist der Divisor kein Teiler des Zählers, dann multipliziert man mit dem Kehrwert der natürlichen Zahl. Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert.. = =. : = =. = =. : = 6. : = Beispiele. a) f) b) g) 6 d) e) 6 h) 6 i) j) 6 6. a) = b) = =. Wahr (w) oder falsch (f)? a) < 6 b) > <. a) b) 0 0. a) e) : b) : : d) : 6 : f) : g) : h) 0 : 0 0. Bilde den Kehrwert von a), b),, d), e) 6, f) 0, g).. a) : b) : 6 : 0 d) :. a) : : b) 0 : 6 d) : e) 6 : : : f) :

16 A Bruchzahlen 0 Rechengesetze Beim Rechen mit Bruchzahlen gelten die folgenden Regeln. Vorfahrtsregeln: Was in Klammern steht, wird zuerst berechnet. Potenzrechnungen gehen vor Punktrechnungen, Punktrechnungen gehen vor Strichrechnungen. Vertauschungsgesetz: In einer Summe / in einem Produkt darf man die (Kommutativgesetz) Summanden / die Faktoren vertauschen. Verbindungsgesetz: (Assoziativgesetz) In einer Summe / in einem Produkt darf man die Reihenfolge der Rechnungen selbst festlegen (beliebig Klammern setzen). Verteilungsgesetz: Man multipliziert eine Summe / Differenz mit (Distributivgesetz) einem Bruch, indem man jedes Glied der Summe / Differenz mit dem Bruch multipliziert und dann die Produkte zusammenfasst. Beispiel Beispiel Beispiel 6 6 = 6 = 6 = 6 = 6 = In der Klammer: Punkt vor Strich, Brüche in der Klammer auf den gleichen Nenner bringen, danach subtrahieren, kürzen und schließlich mulitplizieren. = = = = 6 = 6 = Assoziativgesetz: Ein Versetzen der Klammern vereinfacht die Rechnung. + = + = + = + = + 0 = 0 Distributivgesetz: Jeder Summand wird mit der Bruchzahl multipliziert.. Berechne im Kopf. Achte auf die Rechenregeln. a) + b) : 0 +. Berechne. Nutze Rechenvorteile, falls dies möglich ist. a) 6 b) 0 + : d) 0 + d) + 6 : 0. a) = + = b) 6 0