M 5. Inhaltsverzeichnis Grundwissen M 5.1. Diagramme. Tabelle: (Beispiel: Klassensprecherwahl) Säulendiagramm: Balkendiagramm:

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1 M 5 Inhaltsverzeichnis Grundwissen M 5.1 Diagramme M 5.2 Natürliche Zahlen M 5.3 Terme (Rechenausdrücke) M 5.4 Vorrangregeln M 5.5 Ganze Zahlen M 5.6 Addition und Subtraktion in Z M 5.7 Koordinatensystem M 5.8 Gerade Linien M 5.9 Figuren M 5.10 Winkel M 5.11 Achsensymmetrie M 5.12 Rechnen mit 0 M 5.13 Quadratzahlen M 5.14 Rechengesetze M 5.15 Baumdiagramme M 5.16 Multiplikation und Division in Z M 5.17 Größen M 5.18 Rechnen mit Größen M 5.19 Maßstab M 5.20 Umfang M 5.21 Flächeninhalte und Flächeneinheiten M 5.22 Flächeninhalte berechnen M 5.23 Oberflächeninhalt eines Quaders M 5.1 Diagramme Tabelle: (Beispiel: Klassensprecherwahl) Name Martin Juliane Thomas Elke Katharina Christian Stimmen Säulendiagramm: Balkendiagramm: Anzahl der Stimmen Martin Juliane Thomas Elke Katharina Christian Christian Katharina Elke Thomas Juliane Martin Anzahl der Stimmen

2 M 5.2 Natürliche Zahlen Die Zahlen 1; 2; 3; 4; 5;... nennt man natürliche Zahlen. Schreibweise für die Menge der natürlichen Zahlen: IN Erweitert man die Menge der natürlichen Zahlen um die Zahl 0, so erhält man die Menge 0 = { 0;1;2;3;4;... } IN. Zahlenstrahl: Große Zahlen: 1 Million = 1 M = = 10 1 Milliarde = 1 Md = = 10 1 Billion = 1 B = = 10 1 Billiarde = 1 Bd = = Schreibweise großer Zahlen mit Hilfe von Potenzen: = = ; M 5.3 Terme (Rechenausdrücke) Der gesamte Ausdruck heißt Die erste Zahl heißt Die zweite Zahl heißt Der Rechenvorgang heißt Summe 1. Summand 2. Summand Addition 6 2 Differenz Minuend Subtrahend Subtraktion 6 2 Produkt 1.Faktor 2.Faktor Multiplikation 6 : 2 Quotient Dividend Divisor Division 2 6 Potenz Basis Exponent Potenzieren

3 M 5.4 Vorrangregeln Treten in einer Rechnung mehrere Rechenarten auf, werden sie gemäß nachfolgender Reihenfolge ausgeführt (Beachte dabei: Was man noch nicht berechnen kann, schreibt man unverändert an!): Klammern zuerst (bei mehreren Klammerpaaren die inneren zuerst) Potenzen Punktrechnungen (Multiplikation und Division) Strichrechnungen ( Addition und Subtraktion) von links nach rechts (wenn gleichwertige Rechenarten auftreten) 3 Beispiel: [ 16 ( 5 + 1) ] + 20 = 3 [ 16 6] + = = = = = 60; M 5.5 Ganze Zahlen Die Zahlen ; -5; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; nennt man ganze Zahlen. Schreibweise für die Menge der ganzen Zahlen: Z Vorzeichen und Betrag einer Zahl: 14 bzw Rechnen an der Zahlengerade: Vorzeichen Betrag Vorzeichen Betrag Von -8 C steigt die Temperatur um 13 C: = 5 Ausgangspunkt steigt Ergebnis Von -8 m sinkt der Pegel um 13 m: 8 13 = 21 Ausgangspunkt sin kt Ergebnis

4 M 5.6 Addition und Subtraktion in Z Bei gleichen Zeichen: 1) = - 21 gleiches Zeichen bleibt ) = + 21 Bei ungleichen Zeichen: 3) = + 5 kleinerer Betrag größerer Betrag Zeichen vor dem größeren Betrag ) = - 5 Vereinfachungsregeln: (- 3) + ( + 4) = (- 3) ( + 4) = (- 3) + ( - 4) = (- 3) - ( - 4) = M 5.7 Koordinatensystem

5 M 5.8 Gerade Linien Strecke A s B [AB] bzw. s (Länge der Strecke: AB ) Halbgerade E h D [ED bzw. h Gerade C g F CF bzw. g parallel zueinander h g g h senkrecht zueinander. g g h h M 5.9 Figuren Viereck A B D C Eine Verbindungslinie gegenüberliegender Eckpunkte (z.b. [BD]) heißt Diagonale. Rechteck D A C B ein Viereck, bei dem benachbarte Seiten senkrecht aufeinander stehen Quadrat C D B A ein Rechteck, bei dem alle Seiten gleich lang sind r Mittelpunkt: M Kreis d M Radius: r Durchmesser: d

6 M 5.10 Winkel B h zweiter Schenkel Bezeichnungen für Winkel: S α α, β, γ, δ, ε, bzw. < ASB bzw. Scheitel A g erster Schenkel < (g,h) spitzer Winkel α rechter Winkel β stumpfer Winkel γ gestreckter Winkel δ überstumpfer Winkel ε 0 < α < 90 β = < γ < 180 δ = < ε < 360 M 5.11 Achsensymmetrie Punkt A A Bildpunkt Symmetrieachse

7 M 5.12 Rechnen mit 0 mit 0 als erster Zahl mit 0 als zweiter Zahl Summe = = 7 Differenz 0 11 = = 13 Produkt 0 17 = = 0 Quotient 0 : 23 = 0 27 : 0 nicht erlaubt 3 Potenz 0 = 0 M 5.13 Quadratzahlen 1 2 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 400

8 M 5.14 Rechengesetze Das Ergebnis eines Rechenausdrucks ändert sich in folgenden Fällen nicht: Summanden vertauschen = Klammern in der Summe setzen oder weglassen ( 66 34) = Faktoren vertauschen = Klammern im Produkt setzen oder weggelassen Verteilen eines Faktors (Ausmultiplizieren) und Ausklammern = 15 ( 5 20) Ausmultiplizieren ( ) 12 = Ausklammern Verteilen eines Divisors ( ) : 3 = 120 : : 3 M 5.15 Baumdiagramme Beispiel: Bei einer Feier kann sich jeder Gast sein Essen selbst zusammenstellen. Er kann aus zwei Vorspeisen (Suppe oder Nudeln), drei Hauptspeisen (Steak, Lasagne oder Pizza) und zwei Nachspeisen (Eis oder Obst) wählen. Wie viele Varianten für ein vollständiges Menü (z.b. Suppe Pizza Eis) sind möglich? Suppe Nudeln Steak Lasagne Pizza Steak Lasagne Pizza Eis Obst Eis Obst Eis Obst Eis Obst Eis Obst Eis Obst Es können = 12 verschiedene Menüs zusammengestellt werden.

9 M 5.16 Multiplikation und Division in Z Multiplikation (bzw. Division) von Zahlen mit gleichen Vorzeichen: verschiedenen Vorzeichen: Beträge multiplizieren (bzw. dividieren), Vorzeichen des Ergebnisses: + Beträge multiplizieren (bzw. dividieren), Vorzeichen des Ergebnisses: - ⑴ (+ 3) (+ 4) = + 12 ⑸ (+ 3) (- 4) = - 12 ⑵ (- 3) (- 4) = + 12 ⑹ (- 3) (+ 4) = - 12 ⑶ (+ 15) : (+ 3) = + 5 ⑺ (+ 15) : (- 3) = - 5 ⑷ (- 15) : (- 3) = + 5 ⑻ (- 15) : (+ 3) = - 5 Beachte: - 3 (-4) = - [ 3 (-4)] = - [ -12] = = = -16 (-2) 4 = (-2) (-2) (-2) (-2) = 16 M 5.17 Geld: Größen 1 Euro = 100 Cent; 1 = 100 ct Längen: km m dm cm mm km 2dm1cm = cm = 1,00021 km; gemischte Einheiten Masse: t kg g mg kg 26g = 4026 g = 4,026 kg;

10 Zeit: 1 Tag = 24 h; 1 min = 60 s; 1 h = 60 min; 1 s = 1000 ms; Vorsatz Mega Kilo Dezi Zenti Milli Mikro Abkürzung M k d c m μ Vielfaches Zehntel Hundertstel Tausendstel Millionstel

11 M 5.18 Beachte: Rechnen mit Größen Beim Addieren und Subtrahieren werden die Größenangaben in gleiche Einheiten umgewandelt. Günstig ist es dabei, auf die gleiche Anzahl von Nachkommastellen zu achten. (1) 2,73 kg g = 2,73 kg + 0,3 kg = 2,73 kg + 0,30 kg = 3,03 kg; (2) 2,3 m 34 cm = 230 cm 34 cm = 196 cm = 1,96 m; (3) Vervielfachen einer Größe: ct = 30000ct = 300 ; Zahl Größe Größe (4) Teilen einer Größe durch eine Zahl: 6000kg : 5 = 1200kg; Größe Zahl Größe (5) Teilen einer Größe durch eine Größe mit gleicher Einheit: kg : 75 kg = 64 ; 4800 Zahl Größe Größe M 5.19 Maßstab Landkarten oder Baupläne geben die Wirklichkeit verkleinert wieder. Die Angabe Maßstab 1 : bedeutet: Der Entfernung von 1 cm auf dem Plan entspricht in der Wirklichkeit eine Entfernung von cm. Entfernung auf dem Plan Entfernung in der Wirklichkeit 1cm cm = m = 2 km 1 mm mm = 200 m 8 cm cm = cm = 16 km

12 M 5.20 Umfang Der Umfang einer Figur ist die Länge seiner Randlinie. 2 cm 3 cm 4,5 cm 2,5 cm Umfang des Vierecks: u = 2 cm + 4,5 cm + 2,5 cm + 3 cm = = 12 cm. 3 cm 2 cm Umfang des Rechtecks: u = 2 2 cm cm = 10 cm. M 5.21 Flächeninhalt und Flächeneinheiten 1cm 1cm 2cm 1cm 0,5cm Flächeninhalt (für jede der nebenstehenden Flächen): A = 1 Quadratzentimeter = 1 cm 2 2cm Die Umrechnungszahl zur nächst kleineren Einheit ist 100. km 2 ha a m 2 dm 2 cm 2 mm ,21 km 2 = 21 Hektar = 2100 Ar = m 2

13 M 5.22 Flächeninhalte berechnen 4cm 2cm A Rechteck = 4 cm 2 cm = 8 cm 2 Formel: A Rechteck = Länge Breite = b 2cm A rechtwinkliges Dreieck = 5 cm 2 cm : 2 = 5 cm 2 5 cm 2cm A Parallelogramm = 4 cm 2 cm = 8 cm 2 4 cm M 5.23 Oberflächeninhalt eines Quaders Schrägbild: Netz: 14 cm 9 cm 6 cm 6 cm 14 cm Oberflächeninhalt: O Quader = 2 ( 14 cm 9 cm + 14 cm 6 cm + 6 cm 9 cm ) = 132 cm 2 9 cm

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