Formelsammlung. Tipp: Formelsammlung in der Größe DIN A5 verwenden. Also in der Mitte durchschneiden. erstellt von Manfred Präsoll

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1 Formelsammlung erstellt von Manfred Präsoll Tipp: Formelsammlung in der Größe DIN A5 verwenden. Also in der Mitte durchschneiden. 01

2 1 Flächen Parallelogramm Quadrat u = 4 a A = a² u = (a+b) oder u = a + b A = a h a = b h b d = a Die Diagonalen sind zueinander senkrecht, gleich lang und halbieren einander. Alle Innenwinkel sind gleich groß (90 ). Alle Seiten sind gleich lang. Rechteck u = (a+b) oder u = a+ b A = a b d= a +b Die Diagonalen sind gleich lang und halbieren einander. Alle Innenwinkel sind gleich groß (90 ). Gegenüberliegende Seiten sind zueinander parallel und gleich lang. α = γ β = δ Die Diagonalen halbieren einander. Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß. Gegenüberliegende Seiten sind zueinander parallel und gleich lang. Raute (Rhombus) u= 4 a A= a h oder A= e f α = γ β = δ Die Diagonalen sind zueinander senkrecht und halbieren einander. Alle Seiten sind gleich lang. Gegenüberliegende Seiten sind zueinander parallel.

3 4 Deltoid Trapez u= a + b A= e f β = γ a c u = a + b+ c + d A = (a+c) h oder A = m h = (a+c) h m = a+c Die Diagonalen sind zueinander senkrecht. Mindestens zwei gegenüberliegende Winkel sind gleich groß. Gleichschenkliges Trapez d = b α = β γ = δ e = f U = a + b +c A = m h = (a+c) h

4 5 6 Allgemeines Dreieck Gleichseitiges Dreieck u = a + b + c A = a h a = b h b = c h c α + β + γ = 180 (Winkelsumme) Der kürzesten Seite liegt der kleinste Winkel gegenüber. α = β = γ = 60 u = a h = a A = a 4 Alle Höhen, Seitenhalbierenden und Winkelhalbierenden schneiden einander im gleichen Punkt und sind gleich lang. Gleichschenkliges Dreieck a = b (Schenkel) c (Basis) α = β u = a + c A = a h a = b h b = c h c Regelmäßiges Sechseck u = 6.a A = 6 a 4 a = h² + c

5 7 8 Rechtwinkeliges Dreieck Kreis d = r a, b Katheten c Hypotenuse p, q Hypotenusenabschnitte Satz von Pythagoras u = a + b + c A = a b oder A = c h c Kreissektor u = r π oder u = d π A = r² π oder A = d² 4 π k = Kreislinie u = r + b c = a² + b² a = c² b² b = c² a² Kathetensatz Höhensatz a² = c p h² = p q b² = c q b = r π α 180 A = r π α 60 b = Kreisbogen oder A = b r Satz von Thales Jeder Winkel in einem Halbkreis ist ein rechter Winkel. Kreisring u = r 1 π + r π A = r 1 π r π Ringbreite b = r 1 r

6 9 10 Körper Quadratische Pyramide Prisma O = G + M V = G h M = u G h Würfel O = 6 a a = 6 a² V = a a a = a³ d = a d R = a d R = Raumdiagonale O = G + M G = a² M = 4 a h a V = G h = a h h a = h + a s = h + d s = h a + a Quader O = (a b + a h + b h) V = a b h d 1 = a + b d R = a + b + h

7 Zylinder 11 1 Kegel O = G+M G = r² π M = r π h O = r² π + r π h V = G h V = r² π h O = r² π + r π s M = r π s s = r² + h² V = r π h Gleichseitiger Zylinder: h = d = r Gleichseitiger Kegel: s = d = r Hohlzylinder Kugel a = r - r 1 O = G + M 1 + M d = r O = 4 r² π oder O = d² π G = r π r 1 π M1 = r 1 π h M = r π h V = G h V = r π h r 1 π h V = 4 r π oder V = d π 6

8 1 Strahlensatz 1. Strahlensatz a : b = c : d a : (a+b) = c : (c+d) a : c = b : d. Strahlensatz x : y = a : (a+b) x : y = c : (c+d) x : a = y : (a+b)

9 14 15 Rechenregeln Grundlegende Rechengesetze Kommutativgesetz der Addition: a + b = b + a Rechnen mit Brüchen Erweitern: Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl mulitplizieren Kürzen: Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl dividieren. Assoziativgesetz der Addition: (a + b) + c = a + (b + c) Addition / Subtraktion: a ± c = a±c n n n Kommutativgesetz der Multiplikation: a b = b a Assoziativgesetz der Multiplikation: (a b) c = a (b c) Distributivgesetz: a (b + c) = a b + a c Addieren u. Subtrahieren Klammer auflösen: - Vor der Klammer ein + Vorzeichen bleiben gleich. - Vor der Klammer ein Vorzeichen werden umgekehrt. (+a) + (+b).= a + b a + (b c.) = a + b - c (+a) - (+b).= a - b a - (b - c).= a - b + c Multiplizieren u. Dividieren Gleiche Vorzeichen ergeben: + Ungleiche Vorzeichen ergeben: z.b.: (+a) (+b) = + a b (+a) (-b) = - a b (-a) (+b) = - a b (-a) (-b) = + a b Multiplikation: Division: a : c = a d b d b c a c = a c b d b d Binomische Formeln Divisor Kehrwert (a + b)² = a² + ab + b² (a - b)² = a² - ab + b² (a + b)³ = a³ + a²b + ab² + b³ (a - b)³ = a³ - a²b + ab² - b³ Zerlegung von Binomen a² - b² = (a - b) (a + b) a² + b² kann nicht zerlegt werden! a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²) a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²)

10 16 17 Potenzen a = a a a a + a = a³ a 1 = a a 0 = 1 a m a n = a m+n a m a n = am n a 5 a = a 5+ = a a 5 a = a5 = a (a m ) n = a m n (a 5 ) = a 5 = a (a b) n = a n b a b n = an b n n 10 (a b) = a b a b = a b a n = 1 a n a = 1 a a 1 n n = a Wurzeln n x = a n a b n a b x n = a n = a n b a 1 = a 4 = 16 a b n = a n a b b = a b = a 7 4 = 16 b Zahlenmengen Natürliche Zahlen N Die Menge der natürlichen Zahlen sind alle nicht negativen ganzen Zahlen (Somit ist auch die Zahl 0 inkludiert). N = {0,1,,,4,5,6,7,...} Ganze Zahlen Z Die Menge der ganzen Zahlen ist die Menge aller positiven und negativen ganzen Zahlen. N = {... -5, -4, -, -, -1, 0, 1,,, 4, 5,...} Rationale Zahlen Q Die Menge der rationalen Zahlen ist die Menge aller positiven und negativen ganzer Zahlen und Zahlen, die als Brüche dargestellt werden können. (Die Division durch Null muss ausgeschlossen werden, da dies keine Lösung ergibt) Irrationale Zahlen I Die irrationalen Zahlen sind alle Kommazahlen, die nicht als Bruch dargestellt werden können. z.b., Reelle Zahlen R Die reellen Zahlen sind eine Erweiterung der rationalen Zahlen um die irrationalen. Man kann also schreiben: R = Q I

11 18 19 Zinsrechnungen Einfache Zinsen K = Kapital; p = Zinssatz; t = Zeit; d = Tage; m = Monate; E = Endwert Maßeinheiten Längenmaße Jahreszinsen Z = K p t 100 Monatszinsen Z = K p m m = 1 1 Jahr Tageszinsen Z = K p d E = K + Z 1d = 1 60 Jahr Zinseszinsen Flächenmaße K = Anfangskapital; E = Endkapital; n = Anzahl der Jahre E n = K 1 + p 100 n E n = K q n q = 1 + p Aufzinsungsfaktor 100 Zinseszins mit 5% KeSt E n = K 1 + p 0, n

12 0 1 Raummaße (Volumsmaße) Massenmaße 1 t = 1000 kg 1 kg = 100 dag = 1000g 1 dag = 10 g 1 g = 1000 mg t kg dag g mg Umrechnung in Liter 1 dm³ = 1 l 1 cm³ = 1 ml Berechnung der Masse m = Masse V = Volumen ρ= Dichte Angegeben wird die Dichte meistens in g/cm³ oder in kg/m³. Litermaße (Hohlmaße) m = V ρ 1 m³ = 1000 l 1 m³ = 10 hl 1 hl = 100 l 1 l = 10 dl = 100 cl = 1000 ml m³ hl l dl cl ml

13 Zeitmaße 1 Jahr (J)= 1 Monate (m) 1 Jahr = ca. 5 Wochen (Wo) 1 Jahr = 65 (66) Tage (d) 1 d = 4 Stunden (h) 1 h = 60 Minuten (min) = 600 Sekunden (s) 1 min = 60 s Geschwindigkeit v = Geschwindigkeit s = Weg t = Zeit v = s t s = v t t = s v Mathematische Zeichen % Prozent Promille ist nicht gleich, ungleich ~ ähnlich wie fast gleich, rund ungefähr gleich, kongruent, deckungsgleich < kleiner > größer kleiner oder gleich größer oder gleich { } leere Menge Element von kein Element von \ ohne teilt teilt nicht daraus folgt genau dann, wenn entspricht parallel nicht parallel normal auf AB Strecke AB AB Länge der Strecke AB Pg Normalabstand des Punktes P von der Geraden g rechter Winkel (90 ) Winkel

14 4 Große und kleine Einheiten Vorsilbe Bezeichnung Zahl 10er Exa (E) Trillion Peta (P) Billiarde Tera (T) Billion Giga (G) Milliarde Mega (M) Million Kilo (K) Tausend Hekto (H) Hundert Deka (D) Zehn Eins Dezi (d) Zehntel 0, Centi (c) Hundertstel 0, Milli (m) Tausendstel 0, Mikro (µ) Millionstel 0, Nano (n) Milliardstel 0, Piko (p) Billionstel 0, Femto (f) Billiardstel 0, Atto (a) Trillionstel 0,