Mathematik Geometrie

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1 Inhalt: Mathematik Geometrie by Reto Da Forno bbildung / bbildungsvorschriften - Ähnlichkeitsabbildungen Seite 1 - Zentrische Streckung Seite 1 - Die Strahlensätze Seite 1 - Kongruenzabbildungen Seite 2 - Kongruenzsätze Seite 2 Übersicht: Geometrische Figuren Seite 2 Gegenseitige Lage von Figuren - Gerade - Ebene Seite 4 - Gerade - Gerade Seite 4 - Ebene - Ebene Seite 4 - Kreis - Gerade Seite 4 - Gemeinsame Tangenten Seite 5 Sätze allgemeine Definitionen - Thales Seite 5 - Zentriwinkel Seite 5 - Pheripheriewinkel Seite 5 - Fasskreisproblem Seite 5 - Pythagoras Seite 5 - Euklid Seite 5 - Höhensatz Seite 6 ezeichnungen, bkürzungen Seite 7 1. Ähnlichkeitsabbildungen (= bbildung, die aus einer oder mehreren zentrischen Streckungen oder Kongruenzabbildungen zusammengesetzt ist) Satz: Ähnliche Figuren stimmen in den Winkelgrössen und Verhältnissen entsprechender Seitenlängen überein. Ähnliche Geraden sind parallel. a) Die zentrische Streckung:... ist eine geometrische bbildung mit bbildungsvorschrift (S ist das Streckzentrum und k der Streckfaktor) bei Strecken: Originalstrecke * Streckfaktor = ildstrecke (S * k = S ) bei Flächen: Originalfläche * k 2 = ildfläche ( * k 2 = ) b) Die Strahlensätze (zur zentrischen Streckung): a:b (Strecke a zu Strecke b) = Längenverhältnis Es geht um die eziehungen zwischen Länge einer Strecke und ihres ildes. Gegeben sind zwei halbgeraden (Strahlen) mit gemeinsamem Punkt S, die durch ein Parallelenpaar g//h geschnitten werden. 1. Strahlensatz: bschnitte auf der einen Halbgeraden verhalten sich wie die entsprechenden bschnitte auf der nderen. (SC : CC wie S : oder in Skizze 2 S:S = S:S = : ) 2. Strahlensatz: 1/7

2 SC = k * SC C = k * C Skizzen zu den Strahensätzen: C C C* S Zentrische Streckungen sind Längenverhältnistreue bbildungen 2. Kongruenzabbildungen (= bbildungsvorschrift, bei der die ildfigur und die Originalfigur deckungsgleich sind) a) bbildungsvorschriften: - chsenspiegelung - Verschiebung (Translation, parallele Verschiebung): Strecke bleibt gleichlang und behält die Richtung (Darstellung: mit Verschiebungsvektor v ) - Drehung (Rotation): MP = MP (M=Mittelpunkt / Drehzentrum, α =Drehwinkel) wenn α > 0, dann im Gegenuhrzeigersinn drehen - Punktspiegelung: MP = MP und M, P, P liegen auf einer Geraden b) Ähnlichkeitssätze für Dreiecke 1. Stimmen zwei Dreiecke im Verhältnis der Länge zweier Seiten und in dem von ihnen eingeschlossenen Winkel überein, sind sie ähnlich. (sws Seite Winkel Seite) 2. Stimmen zwei Dreiecke im Verhältnis der drei Seitenlängen überein, dann sind sie zueinander ähnlich. (SSS) 3. Stimmen zwei Dreiecke im Verhältnis zweier Seitenlängen und in dem der grösseren Seite gegenüberliegenden Winkel überein, dann sind sie ähnlich. Die Ähnlichkeitssätze sind die Verallgemeinerung der Kongruenzsätze. Figur Name Eigenschaften Formeln Gerade Durch 2 Punkte eindeutig festgelegt Ebene - Unbegrenzte ebene Fläche 2/7

3 - Durch 3 Punkte oder zwei sich kreuzende Geraden festgelegt Dreieck Innenwinkelsumme beträgt 180 = g * h / 2 Dreieck (gleichschenkliges) asis (längste Seite) mit den zwei gleich grossen asiswinkeln = g * h / 2 Dreieck (gleichseitiges) lle Seiten gleich gross, jeder Winkel 60 = [s 2 * (3) ] / 4 h = [s * (3) ] / 2 u = 3a s = [4*/ (3)] = ((4/3)*h 2 ) Rechteck Vier 90 Winkel d = ( a 2 + b 2 ) u = 2a + 2b = a*b Parallelogramm Gegenüberliegende Winkel sind je gleich = g * h gross und zusammen 180 Quadrat Vier 90 Winkel, alle Seiten gleich lang = s 2 Raute / Rhombus Deltoid Rhomboid - alle Seiten sind gleichlang - Je zwei gegenüberliegende Winkel sind gleich Vierecke, deren Diagonalen aufeinander normal stehen Je zwei gegenüberliegende Winkel sind gleich u = 4s d = s (2) = g * h = g * h Fünfeck (Pentagon) Winkelsumme beträgt 540 Sechseck Winkelsumme beträgt 720 Polygon (regelmässiges Vieleck) = (S* nz. Seiten)* [ (s 2 - (s/2) 2 ) /2] Tangentenviereck Viereck mit einem Innkreis Sehnenviereck Viereck mit einem Umkreis, Summe zweier gegenüberliegender Winkel = 180 Trapez Grundseite // Deckseite = (g+d)*h / 2 = m * h Kreis = π r 2 u = 2 π r Innkreis (siehe Skizze) Konstruktion: Schnittpunkt der Winkelhalbierenden nkreis (siehe Skizze) Konstruktion: Schnittpunkt der Winkelhalbierenden der Nebenwinkel Umkreis (siehe Skizze) Konstruktion: Schnittpunkt der Mittelsenkrechten ogenlänge b x = π r / 180 * x Kreissektorfläche S x = π r 2 / 360 * x Würfel lle Winkel 90, alle Seitenkanten gleich d = s * (3) V = s 3 Quader lle Winkel 90 d = ( a 2 + b 2 + c 2 ) V = a * b * c 3/7

4 Zylinder Pyramide Kegel - Mantel: n-dreiecke - n-eck als Grundfläche - Spitze S liegt ausserhalb des n-ecks - bstand von S zur Grundfläche = Höhe h Kreis als Grundfläche, sonst wie Pyramide V = π r 2 * h O = 2 π r 2 + 2r π * h V = ( 1 / 3 ) G * h O = G + M V = ( 1 / 3 ) π r 2 * h Kugel V = ( 4 / 3 ) π r 3 Prisma (das Gesägte) - kongruente n-eckige Grund- / Deckflächen - Grundseite und Deckseite sind parallel - wenn Seitenkanten senkrecht auf der Grundfläche stehen, ist das Prisma gerade, alle anderen heissen schief - bstand zwischen beiden Ebenen nennt man Höhe des Prismas Skizze (nkreis, Umkreis, Innkreis): O = 4π r 2 r = 3 [ ( 3 / 4π )* V] = ( O / 4π ) V = G * h S = M + (2 * G) C nkreis Innkrei s Umkreis 1. Gerade - Ebene a) g // E keine gemeinsamen Punkte b) P = g E genau einen gemeinsamen (Durchstoss-) Punkt c) g E Teilmenge, g liegt in E, alle Punkte gemeinsam 2. Gerade - Gerade a) g // h liegen in derselben Ebene, keinen gemeinsamen Punkt b) g windschief h liegen in verschiedenen Ebenen, keinen gemeinsamen Punkt c) g = h liegen in gleichen Ebene, alle Punkte gemeinsam 4/7

5 d) S = g h liegen in gleichen Ebene, einen gemeinsamen (Schnitt-) Punkt 3. Ebene - Ebene a) E 1 // E 2 alle Geraden g E 1 und h E 2 sind windschief b) E 1 E 2 in Schnittgeraden s, jede Gerade g aus E 1 oder E 2 ist entweder // zu s oder schneidet s 4. Kreis - Gerade a) g liegt ausserhalb b) g berührt den Kreis an genau einem (erührungs-) Punkt (g heisst Tangente) c) g schneidet k an zwei Punkten C, D (g heisst Sekante) d) g zerlegt den Kreis in zwei Halbkreise; g durchstösst M (g von bis heisst Durchmesser) 5. Gemeinsame Tangenten von zwei Kreisen a) 4 gemeinsame Tangenten, wenn M 1 M 2 > r 1 +r 2 b) 3 Tangenten, wenn M 1 M 2 = r 1 r 2 c) 2 Tangenten, wenn......r 1 r 2 < M 1 M 2 < r 1 + r 2 d) 1 Tangente, wenn... e) 0 Tangenten, wenn M 1 M 2 = r 2 r 1... M 1 M 2 < r 2 r 1 1. Satz von Thales Jeder Winkel C, dessen Scheitelpunkt C auf der Halbkreislinie mit Durchmesser liegt, ist ein rechter Winkel. 5/7

6 2. Der Zentriwinkelsatz Zentriwinkel δ ist doppelt so gross wie ein Pheripheriewinkel ε über dem selben Kreisbogen. ε δ 3. Der Pheripheriewinkelsatz lle Pheripheriewinkel ε über demselben ogen sind gleich gross. 4. Das Fasskreisproblem Gesucht sind alle Winkel ε über, welche 70 gross sind. L:, 20 (90 - ε) von aus abtragen, Winkel 20 geschnitten mit m = M des Kreises 5. Der Satz von Euklid (= Kathetensatz) lle Parallelogramme zwischen den parallelen Geraden p // haben denselben Flächeninhalt. 6. Der Satz von Pythagoras Quadratfläche über Hypothenuse = Summe der Flächen über den Katheten: a 2 + b 2 = c 2 a 2 C b 2 p cp c c c p 6/7

7 7. Der Höhensatz H c 2 + p2 = a 2 C a 2 h c 2 p 2! "# chtung! Die folgenden ezeichnungen sind nicht zwingend. d = Durchmesser / Körperdiagonale = Flächeninhalt g = Gerade g = erührungspunkt h = Höhe, Hypotenuse D = Deckfläche, Durchstosspunkt k = Kreislinie, Kathete E = Ebene m = Mittellinie F = Fusspunkt r = Radius G = Grundfläche s = Seite, Sekante, Schwerlinie, Schnittgerade, Sehne M = Mittelpunkt t = Tangente P = Punkt P v = Vektor O oder S = Oberfläche (-ninhalt) α = Winkel lpha u = Umfang m = Mittelsenkrechte der Strecke V = Volumen g = Grundseite d = Deckseite zur Schreibweise in diesem Skript: h = [s * (3) ] / 2 würde richtig so aussehen: = s * (3) 2 utor dieses Skripts: lle Rechte vorbehalten. 7/7

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