1.1.1 Winkel an geschnittenen Parallelen, Winkel am Dreieck. Gegenwinkel a1+a2 = 180 P1+P2 = 180. Winkel am Dreieck Innenwinkel im Dreieck

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1 8 Planimetrie 1.1 Winkel Winkel an geschnittenen Parallelen, Winkel am Dreieck Winkel an geschnittenen Parallftlen Stufenwinkel a = a' p = p' Gegenwinkel a1+a2 = 180 P1+P2 = 180 WechselwinkeI a = a' P = P' Winkel am Dreieck Innenwinkel im Dreieck a+p+y = 180 Aussenwinkel sm Dreieck <p=a+y J.1=P+Y gleichschenkliges Dreieck rechtwinkliges Dreieck 8=8' I 1..=28 <p=a+ 90

2 Planimetrie 9 1. a) Wie viele Dreiecke enthält die Figur? b) Suchen Sie für jedes Dreieck die angeschriebenen Aussenwinkel und wenden Sie den Aussenwinkelsatz an. 2. erechnen Sie rpaus a und ß: a) für a = 36 und ß = 48 b) allgemein (2) (3) w: Winkelhalbierende

3 10 Planimetrie 3. erechnen Sie <p aus a bzw. ß: a) für rx = 36 und ß 74 b) allgemein 4. Im Viereck ACD ist Folgendes gegeben: - Winkel AD = Winkel DC = 98 - DA = AE ; DC = CF - Die Punkte A, E, F, C und D liegen auf einem Kreis mit Mittelpunkt M. erechnen Sie den Winkel AC. D 5. Im gleichseitigen Dreieck AC seien M, N und P in dieser Reihenfolge die Mitten der Seiten C, CA, A. Ferner sei D der Schnittpunkt der Höhe aus A mit dem Mittellot der Strecke AP. erechnen Sie die Winkel des Vierecks MNDP. 6. Ein Lichtstrahl wird an zwei Spiegeln reflektiert. erechnen Sie rp aus E. Es gilt: o:' = a, ß' = ß 7. c erechnen Sie a und ß aus co. A

4 Planimetrie In einem spitzwinkligen Dreieck AC gilt: % + ß > 90 0 Ein Lichtstrahl wird von A aus in Richtung der Winkelhalbierenden des Winkels a ausgesandt, an C reflektiert und durch den Punkt 0 auf AC gehen. erechnen Sie den kleineren Winkel bei 0 aus a und ß. 9. Gegeben ist ein allgemeines spitzwinkliges Dreieck AC. Es sei 0 der spitze Winkel, unter dem sich die beiden Winkelhalbierenden und ß schneiden. Man drücke den stumpfen Winkel, unter dem sich die Mittelsenkrechten Seiten a und b schneiden, durch 0 aus. von a der 10. In nebenstehender Figur gilt: A = C = CD = OE = EF Drücken Sie ß durch a aus. o F A 11. erechnen Sie a aus ß. 12. erechnen Sie <p aus a und ß. 13. Ein spitzwinkliges, gleichschenkliges Dreieck AC mit der asis A hat die Eigenschaft, dass es durch eine Gerade durch Punkt A in zwei gleichschenklige Teildreiecke zerlegt werden kann. erechnen Sie die Winkel des Dreiecks AC.

5 12 Planimetrie 14. Das Viereck ACD ist ein Quadrat und die Dreiecke CDE und FC sind gleichseitig. F eweisen Sie: Die Punkte A, E und F liegen auf einer Geraden. 15. In einem Dreieck AC ist der Winkel y bekannt. Unter welchem (spitzen) Winkel schneiden sich die Winkelhalbierenden a und ß? von 16. erechnen Sie 11 aus a. 17. c In der Figur gilt: CA = C und EA = ED erechnen Sie <p aus a und ß. A ""'-~ D Konstruktionsaufgaben 18. Gegeben ist ein Dreieck AC durch: A = 12cm; C = 10cm; AC = 7.5cm Konstruieren Sie zwei Punkte X und Y so, dass Folgendes gilt: - X auf AC ; Y auf C - XY parallel A und AX + Y = XY. 19. Gegeben sind eine Strecke A = 9 cm und eine Gerade g durch den Punkt A. Die Gerade g bildet mit der Strecke A den Winkel 50. Konstruieren Sie die Punkte X auf g und Y auf A so, dass AX = XY = Y wird. 20. * Konstruieren Sie ein Dreieck AC aus: a = 6 cm; b = 13 cm; 13 - a = 100

6 Planimetrie Winkel am Kreis Ein Periferiewlnkel ist halb so gross wie der zugehörige Zentriwinkel. Alle Periferiewlnkel über gleichem &4 ogen sind gleich gross: Ein Sehnentangentenwinkel ist gleich gross wie ein Periferiewinkel über dem eingeschlossenen ogen: 't=e Sehnenviereck Ein Viereck, das einen Umkreis hat, heisst Sehnenviereck Im Sehnenviereck beträgt die Summe zweier gegenüberliegender Winkel 180 : a + y = 180 ß + 0 = 180

7 14 Planimetrie 21. Drücken Sie a, ß, y, 0 und c durch die gegebenen Winkel 11, A, Il und 1" aus: Ich weiss, dass ich an der Geometrie das Glück zuerst kennen gelernt habe. Rudolf Steiner, , egründer der Anthroposophie 22. eweisen Sie mit Hilfe des Sehnentangenten-Winkelsatzes: In jedem Dreieck beträgt die Summe der Innenwinkel 180 0

8 Planimetrie erechnen Sie c. a) u u, v: Tangenten c) d) e) f ) g) b h) i ) j)

9 16 Planimetrie 24. Im Punkt A des Dreiecks AC ist die Tangente an den Umkreis des Dreiecks gezeichnet. Welchen Winkel bildet diese Tangente mit der Geraden C? 25. Zwei aufeinanderfolgende Seiten eines Sehnenvierecks sind gleich lang, und der von den beiden andern Seiten eingeschlossene Winkel ist 70 0 Die Diagonalen schneiden sich unter einem Winkel von erechnen Sie die übrigen Winkel des Sehnenvierecks. 26. Zeichnen Sie ein Quadrat ACD samt seinem Umkreis. Der Punkt P halbiert den Kreisbogen A. Welchen Winkel bildet die Gerade P mit der Kreistangente durch C? 27. Das Viereck ACD hat einen Umkreis mit dem Durchmesser O und dem Mittelpunkt M. Der Diagonalenschnittpunkt ist E. - - Zudem gilt: EC =: EM, LDA =: 42 erechnen Sie den Winkel CAD. c o t--+--., :~ A 28. Die Geraden g und h gehen je durch die Schnittpunkte A und der beiden Kreise. eweisen Sie: Die Geraden CD und EF sind parallel. h 29. erechnen Sie q>aus E. a) b) w - U, V und W liegen auf einer Geraden. w: Winkelhalbierende

10 Planimetrie erechnen Sie 0 aus a. 31. AD ist ein Kreisdurchmesser. erechnen Sie y aus a und ß. 32. erechnen Sie 0 aus a bzw. a und ß. a) 33. erechnen Sie rp aus T. 34. Im Dreieck AC liegen die Punkte A, D und E auf einer Geraden. erechnen Sie y aus ß.

11 18 Planimetrie 35. Drücken Sie <p durch o: und ß aus. 36. erechnen Sie 8 aus a, ß und y. 37. Gegeben ist ein allgemeines Dreieck AC mit den Winkeln a, ß und y. Die erührungspunkte des Ankreises an die Seite C heissen: - - 'U auf C, V auf der Verlängerung von AC, W auf der Verlängerung von A. Drücken Sie den Winkel WUV durch a aus. 38. Die vier ogenstücke PO, OR, RS und ST sind gleich lang. erechnen Sie l' aus <p und E. 39. In einem Kreis k befindet sich eine feste Sehne PO und eine frei bewegliche Sehne der Länge s. Verbindet man je die Endpunkte der beiden Sehnen, so schneiden sich die Verbindungsstrecken bzw. deren Verlängerungen in den Punkten U und V. Welches sind die geometrischen Örter von U und V? Also dass es einer aus meinen Gedanken ist, ob nicht die ganze Natur und alle himmlische Zierlichkeit in der Geometria symbolisirt sey. Johannes Kepler, , deutscher Astronom

12 Planimetrie erechnungen am Dreieck und Viereck Das rechtwinklige Dreieck A a,b: Katheten a b c c: Hypotenuse p,q: Hypotenusenabschnitte I Satz des Pythago,as: Satz des Euklid (Kathetensatz) : Höhensatz: a 2 = p : C b 2 = q : c h 2 = P. q c AI---

13 22 Planimetrie Einfache Aufgaben zu Pythagoras, Katheten- und Höhensatz 56. Ein Rhombus ist durch die beiden Diagonalen e und f gegeben. erechnen Sie die Seite a. 57. Drücken Sie x durch a aus. 58. Die Hypotenuse c eines rechtwinkligen Dreiecks sei gegeben. erechnen Sie beide Katheten, wenn die eine dreimal so lang ist wie die andere. 59. erechnen Sie die fehlenden Strecken. (Lösungen exakt angeben). V u v w x y z a) 2 cm cm b) 4 cm 3 cm c) 6cm 5 cm d) 2e 3e (e = beliebige Strecke) 60. Aus einer Kreisfläche mit Radius r wird das grösstmögliche Rechteck von tr reite ausgeschnitten. erechnen Sie die Länge des Rechtecks aus r. 61. Gegeben sind ein Kreis mit dem Radius 7.3 cm und in ihm zwei parallele Sehnen der Länge 9.6 cm und 11.0 cm. erechnen Sie den Abstand der Sehnen. 62. Ein Durchmesser eines Kreises wird auf einer Seite um die Strecke a verlängert. Vom so erhaltenen Endpunkt werden Tangenten an den Kreis gezogen, die Tangentenabschnitte haben je die Länge t. erechnen Sie den Durchmesser des Kreises a) für a = 12 cm und t = 26 cm b) allgemein 63. Im Rechteck ACD mit A = a und C = % a sind über A und CD Halbkreise gezeichnet, die sich in P und 0 schneiden. erechnen Sie PO aus a.

14 Planimetrie erechnen Sie x a) für s = 75 cm und p b) allgemein 12 cm p I '> 65. D erechnen Sie E, wenn Folgendes bekannt ist: Umkreisradius AD = 4.7cm; 3.0 cm; EF = 2.7cm 66. erechnen Sie die Seite a aus b. 67. Ein rechtwinkliges Dreieck AC hat die Katheten a = 8.0 cm und b = 6.0 cm. Der Höhenfusspunkt D auf der Hypotenuse c ist Mittelpunkt des Kreises k mit Radius r = h c. (he: Höhe auf Seite c) Der Schnittpunkt von k mit c sei E. erechnen Sie die Strecke E.

15 24 Planimetrie Spezielle Dreiecke z z Dreieck gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck Nr. 68 bis 77: Resultate exakt angeben. 68. erechnen Sie den Inkreisradius eines gleichseitigen Dreiecks aus der Seitenlänge s. 69. Von einem Dreieck AC ist Folgendes bekannt: Seite b; ß = 60 ; Y = 45 Drücken Sie die Seite a durch baus. 70. Gegeben sei der Umfang U a) eines rechtwinklig-gleichschenkligen Dreiecks b) eines Dreiecks erechnen Sie die Katheten und die Hypotenuse. 71. erechnen Sie aus t den Radius r des Kreisbogens. Die Geraden a und b sind Tangenten an den Kreis. 72. Von einem Trapez mit den Parallelseiten a und c sind gegeben: c = 3z; d = z; a = 45 0; ß = 150 erechnen Sie die Seite a aus z.

16 Planimetrie Einem Quadrat mit der Seitenlänge a ist das grösstmögliche, gleichseitige Dreieck einbeschrieben. wobei ein Eckpunkt des Dreiecks mit einem Eckpunkt des Quadrates zusammenfällt. erechnen Sie die Seite des Dreiecks in Abhängigkeit von a. 74. Gegeben ist das Quadrat ACD mit der Seitenlänge a. erechnen Sie den Radius jenes Kreises, der die Quadratseiten berührt und durch den Punkt geht. AD und CD j Die edeutung der Geometrie beruht nicht auf ihrem praktischen Nutzen, sondern darauf, dass sie ewige und unwandelbare Gegenstände untersucht und danach strebt, die Seele zur Wahrheit zu erheben. Piston, v. Chr., griechischer Philosoph 1 I ~ 1 j 75. Um jede Ecke eines gleichseitigen Dreiecks (Seitenlänge s) wird ein Kreis mit dem Radius s gezeichnet. Wie gross ist der Radius (ausgedrückt durch s) des grössten Kreises, der alle drei Kreise berührt? c 76. erechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks AC, ausgedrückt durch r Einem 60 -Sektor mit Radius R ist der grösstmögliche Halbkreis so einbeschrieben, dass der Durchmesser auf einem Schenkel liegt und der Kreisbogen den andern Schenkel berührt. erechnen Sie den Radius des Halbkreises aus R.

17 26 Planimetrie Kreisberührungsaufgaben 78.. An zwei gleich grosse, einander berührende Kreise vom Radius R ist eine gemeinsame äussere Tangente gelegt. erechnen Sie a) für R = 8 cm b) allgemein den Radius desjenigen Kreises, der zwischen den Kreisen und der Tangente einbeschrieben werden kann. 79. Drücken Sie x durch raus. 80. Zwei Kreise, die sich von aussen berühren, haben die Radien Rund r (r< R). Die erührungspunkte ihrer gemeinsamen Tangente haben die Entfernung t. estimmen Sie den Radius raus Rund t. 81. erechnen Sie x aus r. 82. erechnen Sie den Radius r des kleinen Kreises aus dem Durchmesser d des Halbkreises.

18 Planimetrie erechnen Sie im Quadrat mit der Seitenlänge 3a den Radius raus a. a 84. 3a Wie grass ist der Radius x des Halbkreises? 3a 85. In einem Quadrat mit der Seitenlänge a sind 5 gleiche, möglichst grosse Kreise einbeschrieben. erechnen Sie den Radius dieser Kreise. 86. erechnen Sie den Radius x aus a.

19 28 Planimetrie erechnung von Flächeninhalten und Abständen c 9 a Dreieck Parallelogramm Trapez 1 A=- g h A = g. h A = m h m = a+c Die Hypotenuse c eines rechtwinkligen Dreiecks sei gegeben. Von den beiden Katheten ist die eine 2.5-mal so lang wie die andere. erechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks aus c. 88. Gegeben: Rechteck mit der Länge a und der reite b. b erechnen Sie den Flächeninhalt des schraffierten Quadrates. a 89. M In der Figur gilt: EF = 5m C = 8 m, DM = MC erechnen Sie den Flächeninhalt Rechtecks ACD. des A E F 90. erechnen Sie den Inhalt des schraffierten, gleichschenkligen Dreiecks aus a. (Lösung exakt angeben)

20 Planimetrie Im Quadrat ACD mit der Seitenlänge a liegt ein Dreieck EFG: E liegt auf A mit E = 3" a, F liegt auf CD mit DF = 3" a, und G liegt auf AC mit GA = ~ AC. Welchen ruchteil der Quadratfläche macht die Dreiecksfläche aus? 92. Im Trapez ACD gilt: h = 10 cm; A = 12 cm DC = 6cm AM = MD. CN = l C, 4 erechnen Sie den Inhalt der schraffierten Fläche. 93. Vom rechtwinkligen Dreieck AC kennt man die Katheten a und b. Drücken Sie die Strecke CD durch a und baus. A b 94. Gegeben ist ein Rechteck mit der Länge p und der reite q. erechnen Sie den Abstand eines Eckpunktes von der Diagonalen a) für p = 60 cm und q = 40 cm b) allgemein c 95. o 3a E 3a erechnen Sie den Abstand der Ecke von der Geraden AE, ausgedrückt durch a. 5a A 96. Auf der asis A = 18 cm eines gleichschenkligen Dreiecks AC mit der Schenkellänge 12 cm liegt ein Punkt 0 so, dass der Flächeninhalt des Dreiecks ADC 25 cm" beträgt. a) Wie gross ist der Abstand des Punktes 0 von der Geraden AC? b) erechnen Sie die Strecke CD.

21 30 Planimetrie 97. Von einem gleichschenkligen Trapez kennt man die beiden parallelen Seiten a und c. Die Schenkel haben je die gleiche Länge wie die Mittellinie des Trapezes. Wie gross ist der Flächeninhalt des Trapezes? 98. a erechnen Sie den Inhalt der schraffierten Fläche aus a. 99. Innerhalb eines Kreises liegt ein Quadrat mit 40 crn" Flächeninhalt so, dass zwei benachbarte Ecken auf einem Durchmesser und die andern auf dem Kreis liegen. Wie gross ist der Flächeninhalt eines zweiten Quadrates, von dem alle Ecken auf dem Kreis liegen? 100. erechnen Sie den Flächeninhalt eines Dreiecks mit den Seitenlängen 6 cm, 8 cm und 11 cm (ohne Formel von Heron). Hinweis: erechnen Sie zuerst den Abstand eines Höhenfusspunktes von einer Ecke. Die Philosophie ist geschrieben in dem grossen uche, das uns immer vor Augen liegt, wir können es jedoch nicht verstehen, wenn wir nicht zuvor dessen Sprache und Zeichen lernen; diese Sprache ist die Mathematik, und die Zeichen sind Dreiecke, Kreise und andere geometrische Figuren. Ga/i/eo Ga/ilei, , Physiker und Astronom 101. Von einem Dreieck sind der Flächeninhalt A sowie die Seitenlängen bund c bekannt. erechnen Sie die Seitenlänge a a) für A = crn", b = 10 cm und c = 13 cm b) allgemein 102. Gegeben ist das Dreieck AC: A = 21 cm; C = 20cm und AC = 13cm. Auf der Seite A liegt ein Punkt 0 so, dass die Umfänge der Dreiecke ADC und CD gleich sind. erechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks CD.

22 Planimetrie Das Dreieck AC ist gleichseitig und hat die Seitenlänge c. erechnen Sie den Inhalt der schraffierten Fläche DEF aus c. c 104. erechnen Sie den Inhalt des schraffierten Vierecks aus der Seite c. Ac; c o A~ c ~~

23 32 Planimetrie Tangentenabschnitte, Tangentenviereck v Tangentenabachnht8: TangentenviereCk: In jedem Tangentenviereck sind die Summen zweier Gegenseiten gleich gross. A a+c=b+d 105. Welche Tangentenvierecke sind a) axialsymmetrisch? b) punktsymmetrisch? 106. Von einem gleichschenkligen Trapez sind der Flächeninhalt A und der Inkreisradius r bekannt. erechnen Sie die Schenkellänge des Trapezes erechnen Sie x erechnen Sie den Flächeninhalt eines allgemeinen Tangentenvierecks aus den Seiten a, c und dem Inkreisradius r.

24 Planimetrie Von einem Viereck kennt man den Inkreisradius r und den Flächeninhalt A = 4.75r 2 erechnen Sie den Umfang des Vierecks C\l erechnen Sie die Strecke x aus a und r Zwei Kreise mit den Zentren Z, und Z2 und den Radien r, und r2 (r, *- r2) berühren sich von aussen in T. Ein weiterer Kreis mit Z, Z2 als Durchmesser und die gemeinsame Tangente in T schneiden sich im Punkt P. Von P aus legt man eine Tangente an den grösseren der beiden Kreise, der erührungspunkt sei A. erechnen Sie AP aus r1 und r Die parallelen Seiten eines gleichschenkligen Trapezes, das einen Inkreis hat, sind 8 cm und 18 cm lang. erechnen Sie den Umkreisradius des Trapezes.

25 34 Planimetrie Vermischte Aufgaben erechnen Sie den Radius des kleinen Kreises aus a und b Die Tangentenabschnitte von einem Punkt an einen Kreis mit dem Radius 9.6 cm messen je 12.8 cm. Wie lang ist die Sehne zwischen den erührungspunkten? 115. C Drücken Sie im Rechteck ACD den Radius r durch a und baus Gegeben ist ein Kreis mit Zentrum Z und Radius r sowie ein Punkt P 117. (PZ = 2 r). Eine Sekante durch P schneidet den Kreis in den Punkten A und so, dass PA = A ist. erechnen Sie die Sehne A aus r. erechnen Sie den Radius des kleinen Kreises aus a und b Einem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten der Länge s wird durch eine Parallele zur Hypotenuse ein Dreieck abgeschnitten. Der Umfang dieses abgeschnittenen Dreiecks soll gleich sein wie derjenige des verbleibenden Trapezes. erechnen Sie die Hypotenuse des abgeschnittenen Dreiecks.

26 Planimetrie erechnen Sie den Tangentenabschnitt x sowie die Strecken y und z aus r. 2r I< ~I 120. ~ erechnen Sie den Abstand der - - Sehne PS vom Durchmesser A, wenn gilt: 2 PO = OR = 2 RS A'----~~...;I ' 121. Drücken Sie den Inhalt der schraffierten Fläche im regulären Achteck durch die Seitenlänge a aus. a 122. Auf der Seite AC eines Dreiecks AC liegt der Punkt D so, dass gilt: AD = 2 DC. Zudem halbiert Punkt E die Seite C. In welchem Verhältnis stehen die Flächeninhalte der beiden Dreiecke AC und DEC zueinander? 123. In einem gleichseitigen Dreieck AC ist ein Ouadrat so einbeschrieben, dass eine Ouadratseite auf einer Dreiecksseite liegt. erechnen Sie die Dreiecksseite aus der Ouadratseite a Gegeben ist ein Kreis mit Radius r und Zentrum M. Zur exakten Einbeschreibung eines regelmässigen Fünfecks lautet die Konstruktionsbeschreibung wie folgt: 1) Zwei zueinander senkrecht stehende Kreisdurchmesser A und CD zeichnen. 2) Den Radius AM halbieren gibt Z. 3) Kreis um Z durch C schneidet die Strecke M in E. 4) CE ist Seitenlänge s des regelmässigen Fünfecks. erechnen Sie die Seitenlänge saus r.

27 36 Planimetrie 125. c Das Dreieck AC ist gleichseitig. Drücken Sie den Radius des kleinen Kreises durch saus. A L-...lII I< s ~I 126. Der Umfang eines in einem Kreis einbeschriebenen Quadrates beträgt 4s. erechnen Sie den Umfang eines im gleichen Kreis einbeschriebenen regulären Achtecks Dr A L E~~ Das Viereck AECD sei ein Quadrat mit der Seitenlänge a. Der Umfang des Trapezes ACD hat die Länge 5a. erechnen Sie den Flächeninhalt des Trapezes Im gegebenen Kreis mit dem Radius r wird die Sehne s durch zwei zueinander senkrecht stehende Durchmesser im Verhältnis 1 : 3 : 2 geteilt. erechnen Sie die Sehnenlänge saus dem gegebenen Radius r Einem Kreissektor mit dem Zentriwinkel 30 0 und dem Radius r ist ein Quadrat einbeschrieben, so dass eine Seite auf einem Schenkel des Sektors liegt. erechnen Sie die Seitenlänge dieses Quadrates aus dem Radius r Die längere Grundlinie eines gleichschenkligen Trapezes misst 16 cm, die Höhe 9 cm und der Flächeninhalt beträgt 117 crn". erechnen Sie den Abstand des Umkreismittelpunktes von der gegebenen Grundlinie. Wer die Geometrie begreift, vermag in dieser Welt alles zu verstehen. Galileo Ga/i/ei, , Physiker und Astronom

28 56 Planimetrie 1.4 Strahlensätze Erster Strahlensatz (ohne. Parattelenabschnitte) oder a, Zweiter Strahlensatz (mit Parallelenabschnittenl oder Umkehrung des ersten Strahlensatzes

29 Planimetrie a) Gegeben: a,b,c,d,e Gesucht: w, x, y, z aly'z -r=: s: e b) erechnen Sie x und y Gegeben sind a, b, c, d und e. erechnen Sie x, y und z. e x :' ~y ~b -c """'Z"""-d -H-,;, a Z 229. (1) Formulieren Sie die Umkehrung des zweiten Strahlensatzes. (2) Zeigen Sie mit Hilfe eines Gegenbeispiels (Figur), dass diese Umkehrung falsch ist In einem allgemeinen Dreieck AC seien Mund N die Mittelpunkte der Seiten A bzw. C. eweisen Sie den Satz über die Mittellinien im Dreieck: - 1- (1) MN parallel AC und (2) MN = 2 AC Im allgemeinen, konvexen Viereck ACD seien P, Q, R, S die Mittelpunkte der Seiten. a) eweisen Sie, dass das Viereck PQRS ein Parallelogramm ist. b) erechnen Sie das Flächenverhältnis ApQRS: AAcD Gegeben sind u, v und c = CD. A ist parallel zu CD. erechnen Sie DF so, dass sich die Geraden AD, EF und C in einem Punkt schneiden. F 233. erechnen Sie CF aus den Seiten a und b des Parallelogramms ACD, wenn OE = ~ a (n E N) ist _-+ ---'\ a

30 58 Planimetrie 234. Gegeben ist ein Rechteck ACD mit A = a - - und C = b sowie der Punkt P mit DP = 3b. Von P aus wird eine Halbgerade so gelegt, dass der Flächeninhalt des Trapezes T 1 n-mal so gross wird wie jener des Trapezes T 2. a) erechnen Sie AQ für n = 2. b) Wie gross ist n für den Grenzfall Q =? A Q 235. Einem allgemeinen Dreieck AC mit den Seitenlängen a, b, c ist ein Rhombus so einbeschrieben, dass eine Ecke mit C zusammenfällt und die andern drei Rhombusecken auf den Dreiecksseiten liegen. erechnen Sie a) die Länge der Rhombusseiten. b) den Abstand der Rhombusecke auf der Seite A von A aus gemessen In die beiden sich berührenden Halbkreise werden zwei beliebige aber parallele Radien rund R gezeichnet. Die Gerade VW V R schneidet die Gerade A in P. erechnen Sie die Länge der ~ ~ P A Strecke AP aus rund R Im allgemeinen Dreieck AC mit den Seitenlängen a, bund c wird eine Parallele zur Seite a gezeichnet, sie schneidet die Seite c im Punkt E und b in F. erechnen Sie E so, dass gilt E: EF = 3 : Ein ungleichseitiges, spitzwinkliges Dreieck AC ist durch die Seiten a, bund c gegeben. Die Strecke EF liegt so parallel zu A, dass gilt: AE = FC; E liegt auf AC und F auf C. erechnen Sie EF aus a, bund c erechnen Sie die Länge x des mittleren Stabes aus den Stablängen sund t sowie den Abständen a und b. a b

31 Planimetrie D c A = 1Ocm, C = 4cm, - - CD = 12cm, AD = 8cm, PC = 5cm S ist der Schnittpunkt von AC und D. - - erechnen Sie AO und OS E ist ein beliebiger Punkt der Diagonale AC. eweisen Sie: A~ L- ~ D c b 242. a) Warum hat das Viereck AOP einen Inkreis? b) erechnen Sie den Radius dieses Inkreises aus dem Abstand s = A und den Radien rund R Im ungleichseitigen, stumpfwinkligen C Dreieck AC ist D der Mittelpunkt von C und für E gilt AE = 2 EC. erechnen Sie - - a) AP : PD b) P: PE 244. Im allgemeinen Dreieck AC gilt: AE : EC = 1 : 2 und - - CD : D = 1 : 3. " ==~ c erechnen Sie a) AP: PD b) EP: P A ~ :::::::::::s..

32 60 Planimetrie 245. Das Viereck ACD ist ein allgemeines Parallelogramm (Rhomboid). (1) erechnen Sie das Streckenverhältnis x: y. (2) Welcher ruchteil der Rhomboidfläche ist schraffiert? a) b).,,;;::: :71 C o E C ~--- :;;r_----, A =- E EC = f A CE : ED = 1 2 AF = FD Der Schwerpunkt eines Dreiecks A- +_-=~ 246. eweisen Sie den oben genannten Lehrsatz: Der Schwerpunkt eines beliebigen Dreiecks teilt eine Schwerlinie im Verhältnis 2 : Gegeben ist ein Rhomboid ACD, M sei der Mittelpunkt von C und N jener von CD. eweisen Sie: Die Diagonale D wird von den Geraden AM und AN in drei gleichlange Strecken geteilt c Der Punkt S sei der Schwerpunkt des allgemeinen Dreiecks AC. erechnen Sie den Flächeninhalt der Dreiecke AS, DS, SDE, ASE und EDC als ruchteil von A = AAc. A~ ""

33 Planimetrie 61 Die Winkelhalbierende im Dreieck In jedem Dreieck gilt: n m Eine Winkelhalbierende (CPl = CP2) teilt die Gegenseite im Verhältnis der anliegenden Seiten. I 'Ir = * I 249. eweisen Sie den Satz über die Winkelhalbierende im Dreieck anhand der nebenstehenden Figur: CPl=CP2, F-LEC und DF ist parallel zu EC AI m.. <~----":":'~--3~1 c 250. In einem rechtwinkligen Dreieck teilt die Halbierende des rechten Winkels die Hypotenuse in zwei Abschnitte von 9 cm und 12 cm Länge. erechnen Sie die Länge der beiden Katheten CD ist eine beliebige Sehne, die senkrecht zum Durchmesser A steht. P sei ein beliebiger Punkt auf dem ogen AC. D eweisen Sie: - - CE : ED PC : PD 252. Der Umfang eines Dreiecks AC misst 25 cm. Die Winkelhalbierende von y - - teilt die Seite c in die Abschnitte AD = 5.1 cm und D = 3.4 cm. erechnen Sie die Länge aller Dreiecksseiten.

34 62 Planimetrie 253. c Die Seitenlängen a, bund c des Dreiecks AC seien gegeben. ~ 2 A~L-"""""--:~------~ erechnen Sie die Strecken r, s, x und y Von einem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck ist die Winkelhalbierende w von einem der beiden spitzen Winkel gegeben. erechnen Sie die Länge einer Kathete aus w. Lösung exakt angeben! 255. Gegeben ist ein allgemeines Dreieck AC mit den Seiten a, bund c. Die Parallele zur Winkelhalbierenden von ß durch den Mittelpunkt der Seite b schneidet die Seite c im Punkt P und die Verlängerung der Seite a in O. - - Wie lang sind die Strecken CO und AP? 256. erechnen Sie die Länge der Strecke CD aus u, wenn - - AF : FE = 2 : 1 ist. E A u c

35 Planimetrie Ähnliche Figuren Die zentrische Streckung Die zentrische Streckung kann auch für k < 0 definiert werden.

36 64 Planimetrie 257. ilden Sie die gegebene Figur durch eine zentrische Streckung ab. a) Figur: Streckung: b) Figur: Streckung: c) Figur: Streckung: d) Figur: Streckung: Dreieck AC mit a = 4 crn, b = 6 cm, c = 8 cm Z = C und k = 0.8 Trapez ACD (A // CD) mit a = 10 crn, c = 4 crn, d = 8 cm, a = 50 Z liegt auf dem Diagonalenschnittpunkt und k = 0.5 Rechteck ACD mit a = 7 cm, b = 4.5 cm Z = A und A'C' = AD Rhomboid ACD mit A = 5 cm, C = 3 cm, a Z E A wobei AZ= 1.8cm und ZA' =Z 258. Ein Quadrat ACD mit dem Mittelpunkt M wird von Z aus zentrisch gestreckt. estimmen Sie den Streckungsfaktor, ohne die Konstruktion auszuführen. a) Z = A und C' = M b) Z Mund MA' = AC c) Z = und A'' = D 259. Gegeben ist das Trapez ACD (a // c) mit a = 12 cm, h = 3 crn. a = 60 und ß = 45. Der Schnittpunkt der Geraden AD und C sei das Streckungszentrum und der Punkt D das ild von A (A' = D). a) Konstruieren Sie das ild des Trapezes. b) erechnen Sie den Streckungsfaktor. Lösung exakt angeben! 260. Gegeben sind die beiden Kreise p, (M,, r, = 3.5 cm) und P2 (M 2 r r 2 = 1.5 cm) mit M 1 M2 = 6 cm. a) Konstruieren Sie das Streckungszentrum Z, von dem aus der eine Kreis auf den andern abgebildet werden kann. b) erechnen Sie den Streckungsfaktor, wenn (1) p, das ild von P2 ist. (2) P2 das ild von p, ist. c) erechnen Sie ZM Wählen Sie die Anordnung der gegebenen Elemente etwa so wie die Figur zeigt: a) A Strecken Sie den Kreis p von Z aus so, dass das ild durch A geht..z Wie viele Lösungen hat die Aufgabe?

37 Planimetrie 65 b) Strecken Sie den Kreis p von Z aus so, dass der ildkreis die Gerade g berührt. (Nur eine Lösung zeichnen!) 262. Gegeben ist der Kreis p (M, r = 2.5 cm) und ein beliebiger Punkt Z mit MZ = a = 6.5cm. a) Strecken Sie den Kreis p von Z aus so, dass das ild den gegebenen Kreis p berührt. Alle Lösungen konstruieren. b) erechnen Sie den Streckungsfaktor k aus rund a a) Gegeben ist ein Kreis p (M, r) und ein beliebiger Punkt A auf p. Welches ist der geometrische Ort aller Punkte, welche die Kreissehnen, die durch A gehen, halbieren? b) Gegeben: Kreis p, Punkt A auf p, Gerade g cm...,...~-t--+ Konstruieren Sie eine Gerade durch A, so -- - dass gilt: A = C. ~~~~_~_~ ~_g 264. Das Rechteck ACD mit A = 12 cm und C = 8 cm wird vom Zentrum Z = A aus zentrisch gestreckt. erechnen Sie den Flächeninhalt des ildes für a) A'' = C. b) A'' = AC C Stange Die Skizze zeigt ein dreieckiges Segel AC, das um eine Stange gewickelt werden kann. Dabei verkleinert sich die Segelfläche. A a) Warum kann die Segelfläche einer beliebigen Position (in der Figur gestrichelt dargestellt) als ild der Segelfläche AC bei einer zentrischen Streckung aufgefasst werden? Wo liegt das Streckungszentrum?

38 72 Planimetrie Ähnliche Dreiecke C' A'L..J Stimmen zwei Dreiecke in ~ Winkeln überein, dann sind sie ähnlich. (l = (l' 1\ ß = ß' => 6. AC ~ 6.A''C' Wenn zwei Dreiecke ähnlich sind, dann haben zwei entsprechende Strecken (z.. Seiten, Höhen, Winkelhalbierende, Umkreisradien, Umfänge,... ) das gleiche Längenverhältnis. 6.AC ~ 6.A''C' => a' k = a = a' = k-a, JJ..:. h h' w' w = k h, L. r u' = =U- k k: Streckungsfaktor 6.AC ~ AA''C' Die Flächeninhalte ähnlichet Dreiecke verhalten sich wie die Quadl"ate entsprechender Strecken..... dass die Mathematik in irgendeiner Weise auf die Gebilde unserer Erfahrung passt, empfand ich als ausserordentlich merkwürdig und aufregend. Werner Heisenberg, , Physiker

39 Planimetrie Finden Sie alle ähnlichen Dreiecke und beweisen Sie deren Ähnlichkeit. (t: Tangente) a) b) C D A A E d) C e) D A 295. Finden Sie alle ähnlichen Dreiecke und beweisen Sie deren Ähnlichkeit. (t: Tangente) a) b) o c) D""' "'-~C d) AE=E=DE o e) o C E ~_-I-- ~C 296. eweisen Sie mit Hilfe ähnlicher Dreiecke den a) Höhensatz b) Kathetensatz