Übung 11. Fachwerkträger. Aufgabe 01: Aufgabe 02: Aufgabe 03: Aufgabe 04: Aufgabe 05: 170 m. 85 m SEE. E 160 m. x =? 4,4 m.

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1 Übung 11 Aufgabe 01: C D 170 m 85 m Aufgabe 02: E 160 m B SEE =? A Fachwerkträger 5 m 3 m 3 m 4,4 m Aufgabe 03: z Aufgabe 04: Aufgabe 05: 7 3

2 Aufgabe 06: 4 m 1 m Aufgabe 07: Ein Dreieck wird durch eine Mittelparallele in ein Dreieck und ein Viereck zerlegt. In welchem Zahlenverhältnis stehen die Flächeninhalte? 10 m Dreieck Viereck Aufgabe 08: 11 cm 16 cm 2 cm Aufgabe 09: 10 cm 12 cm 6 cm Aufgabe 10: 1 cm 3 cm Bestimme die Turmhöhe aus s = 2,5m a= 4,5m b= 3m d = 48m Turm a s b s d

3 Aufgabe 11: Eine quadratische Pramide wird in halber Höhe parallel zur Grundfläche geschnitten. In welchem Verhältnis stehen Schnitt- und Grundfläche zueinander? Aufgabe 12: Quadrat M 5 Bestimme und. 6 5 M = Mitte Aufgabe 13: Konstruiere ein Dreieck aus α = 50 β = 62 und h = 6 cm. c 10 Aufgabe 14: Konstruiere ein Dreieck aus α = 75 β = 35 und r = 6 cm. Aufgabe 15: Konstruiere ein Dreieck aus a: b: c= 3: 5: 4, dessen Seiten einen Kreis mit berühren. r = 2,5cm Aufgabe 16: Zeichne einen Halbkreis mit r = 5cm. Konstruiere das einbeschriebene Quadrat. Aufgabe 17: Zeichne einen Kreisausschnitt mit α = 50 und r = 7cm. Konstruiere das einbeschriebene Quadrat. Zwei Lösungen sind möglich. Kreisausschnitt α = 50 r = 7cm

4 Lösungen = 320m 2. = 2m = 3, 2m 3. z = 30 = 48 = = = 2, = = 3, 6m = = = 4 9 m 4,44m ,6 3,6 7. A : A = 3:1 Viereck Dreieck = = 18cm 6 = = 4cm 5 = = 7,5cm = 96m = 80m k = 2 k = 4 A : A = 4: = = 2 = 10 = C C A B h c A B

5 Übung zentrische Streckung 5 2,5 6 Z ,5 4, a = 14cm, b = 21cm, e = 12m, c = 2 m. Berechne die Höhe H. H c a b 5. e 7 m S 3 m

6 7. Perspektive m 2 m Eine Figur wird so verkleinert, dass jede Länge um 30% verkürzt wird. Wie viel % der alten Fläche beträgt die neue Fläche? Konstruktionen 12. Konstruiere ein Dreieck mit α = 60 und β = 38, so dass die Seiten einen Kreis mit r = 4cm berühren. 13. Zeichne einen Kreisausschnitt mit α = 48 und r = 6 cm. Konstruiere das einbeschriebene Quadrat. Zwei Lösungen sind möglich. 14. Konstruiere ein Dreieck mit α = 48 und β = 54, so dass die Ecken auf einem Kreis mit r = 6 cm liegen.

7 Lösungen = = 3 und = 6 2,5 5 1, 5 = = , = 3 4 = 7,5 4. h e = b a h= 18 m H = h+ c= 20 m 3 5. = = 2, = = = = 8, Z k = = 0,9 10 = 0,9 9 = 8,1 und = 0,9 2 = 1, = 2 5 = 1, 2 m = = 4 9 4, ( 6) 28 = 11 3 = siehe Aufgabe = Verkleinerung um 30%, es bleiben also 70%. Verkleinerungsfaktor k = 0,7 70% k² = 0,7² = 0,49 49% 12. C C' A' B' A B

8 13. oder 14. C C' A A' B' B

9 Übung 13 Konstruktionen zur zentrischen Streckung 1. Konstruiere ein Rechteck, dessen Seiten sich wie 3:2 verhalten und dessen Diagonalen e = 5 cm lang ist. 2. a) Konstruiere ein Dreieck ABC mit a: b: c= 2 : 3: 4 und s = 3 cm. b) Konstruiere ein Dreieck ABC mit a: b: c= 3: 5: 7 und s = 5 cm c) Konstruiere ein Dreieck ABC mit a: b: c= 5:3: 6 und h = 3 cm 3. Zeichne in einen Halbkreis (r = 4 cm) a) ein Quadrat, so dass zwei Ecken auf dem Kreis und eine Seite auf dem Durchmesser liegen. b) ein Rechteck mit dem Seitenverhältnis 3:2, so dass zwei Ecken auf dem Kreis und eine Seite auf dem Durchmesser liegen. 4. Zeichne ein Dreieck ABC mit a = 5cm, b = 7,5cm und c = 6cm. Dem Dreieck soll ein Rechteck mit dem Seitenverhältnis 7:4 einbeschrieben werden, so dass je eine Ecke auf AC und BC und eine Seite auf AB liegt. 5. Zeichne einen Kreis (r = 4 cm). Konstruiere ein Dreieck mit den Winkeln α = 80 und β = 40, dessen Ecken auf dem Kreis liegen. 6. Konstruiere ein Dreieck ABC mit a: b: c = 3:5:6, dessen Seiten einen gegebenen Kreis mit r = 2cm berühren. c a c cm S 8 m Berechne h. h 8. Fachwerkträger 3 m 2,5 m 2,5 m 3,2 m

10 Lösungen 13

11 2 I 3'~ ), ~. tr} k ==- 4-.,a C~

12

13 Übungen 14 Konstruktionen zur zentrischen Streckung 9. Gegeben ist ein Dreieck mit c= 8 cm, α = 40, β = 65. Gesucht ist das einbeschriebene Rechteck mit dem Seitenverhältnis 2:3, die lange Seite soll auf AB liegen. 10. Zeichne einen Kreisausschnitt mit r = 5 cm und dem Mittelpunktswinkel α = 60. Konstruiere das einbeschriebene Quadrat. Es gibt zwei verschiedene Lösungen. 11. Zeichne ein Dreieck mit den Winkeln α = 62 und β = 70, so dass die Ecken auf einem Kreis mit r = 5,5 cm liegen. 12. Zeichne ein Dreieck mit a: b: c= 6:7:5, so dass die Seiten einen Kreis mit dem Radius r = 3cm berühren. a 13. Gegeben sind zwei sich schneidende Geraden a und b sowie ein Punkt P. Konstruiere einen Kreis, der a und b berührt und durch P geht. Es gibt zwei Lösungen. 10 cm 60 3 cm P 14. Gegeben sind zwei parallele Geraden a und b, die den Abstand 6 cm haben. Im Abstand b von 2cm zwischen b und a liegt ein Punkt P. Gesucht ist ein Kreis, der a und b berührt und durch P geht. Es gibt zwei Lösungen. 15. Die Längen eines Rechteckes werden um 20% vergrößert. Um wie viel vergrößert sich die Fläche? 16. Aus einem dreieckigen Glasscheibenrest (siehe Skizze) soll eine möglichst große quadratische Scheibe ausgeschnitten werden. Berechne die Kantenlänge des Quadrates. 40 cm 30 cm 17. Schon im Altertum hat man die Höhen von Pramiden durch Messen der Schattenlänge eines Stabes bestimmt. Berechne die Pramidenhöhe für das H Beispiel a = 230m, d = 125m, h = 3m und s = 5m. s h d a

14 Lösungen 14

15 c

16

17 5" ) I I I I I!. I I / / \, t k L J ~ A,Z Al L == 1, 't lf -t> it'v- % t:u LV C4. t! ls 8, - ~ 3o-X A" ~ X = -;;;::.::= T-'1- c.'--. q) 't O 3.0 -;::::--- ~ - (\.. \.t- S+cL.+- 2: - = k os [+ - lt'l k.. /fit1- "'-._-.:==- lttt

18

19 Übungen 15 zur Wiederholung 1. Bestimme und. 5 m 9 m 2 m 4 m 2 m =? 5 =? w =? z =? =? w =? =? z =? 8 7,5 4, m h 2 m

20 z ,5 7. Zentrische Streckung: Berechne die fehlenden Strecken z Die kleine Viereckfläche hat den 2 Flächeninhalt A1 = 10cm. Wie groß ist die zweite Viereckfläche? Fachwerkträger Z 3 m 2,5 m 2,5 m 3,2 m 9. Z 5 cm 8 cm 4 cm z

21 10. Finde eine geeignete Hilfslinie und berechne und * 6 D 2 Q 1 C E Bestimme, und z. 3 A P z B Lösungen m ebenso = 8 m 2. = 4 = 20 z = 18 w=10 3. = 3 m = 10,5 = 5 z = 4 w= h 3 1 = h= 1 5 m z = z = 50 = = = = ,5 = = 4,5cm = = 1cm z = 4,5cm ,5 k = 1,5 k² = 2, 25 A = 22,5 cm ² 8. = 1, 2m = 2, 2m = = 12,8cm oder k = = k 8cm = 12,8cm = = 3,125cm oder k2 = = k2 5cm= 3,125cm z z 8 = k1 = z = 6, 4cm = 11 = und EC z EC 2 2 = 2 = 2 = ² + 1= 5 = (3 ) = 2

22 TEST A Aufgabe 01: Berechne die unbekannten Strecken,, z, v. zentrische Streckung v 6 z 2 Die kleine Fläche hat den Inhalt 2 A1 = 40cm. Wie groß ist die große Fläche? Z Aufgabe 02: =? und =? 9 m 6 m 15 m Aufgabe 03: 12 m B c d A b a D Gegeben sind a= 45m b= 18m c= 6m d = 20m Bestimme die Längen e und f. Aufgabe 04: e f SEE C Der Schatten eines h= 1, 2m hohen senkrechten Stabes hat eine Länge von l = 1,4m. Wie hoch ist ein Baum, dessen Schatten s = 11,2m lang ist? Aufgabe 05: Bestimme die Höhe des Baumes für a= 25 cm, b= 20 cm, c= 1,5m d = 20m b h H c a d

23 Aufgabe 06: =? und =? Fachwerkträger 3 m 3 m 2,5 m 3,4 m Aufgabe 07: Höhe h =? 5 m S h 4 m Aufgabe 08: 8 cm 4 cm Aufgabe 09: 1,5 cm 3,5 cm Bestimme, und z. 10 cm 8cm Z z 4 cm Aufgabe 10: Bestimme die Turmhöhe aus s= 2m a= 3,5m b= 1,5m d = 38m Turm a s b s d

24 Aufgabe 11: Eine Figur wird so verkleinert, dass jede Seite um 20% gekürzt wird. Wie viel Prozent der alten Fläche beträgt die neue Fläche? Aufgabe 12: 6 4 Aufgabe 13: Scheune 3 m 7 m 2 m 4 m 4 m Aufgabe 14: Konstruiere ein Dreieck mit α = 40 und β = 72 so, dass die Ecken auf einem Umkreis mit r = 5cm liegen. Aufgabe 15: Konstruiere ein Dreieck mit α = 32 und β = 45 so, dass der Innenkreis den Radius r = 2,5cm hat. Aufgabe 16: Zeichne einen Halbkreis mit r = 6cm und konstruiere das einbeschriebene Quadrat. Zusatzaufgaben: (zum Aussuchen) Aufgabe 17: 2 2 h M = Mitte

25 18. ( a± b) = a ± 2ab+ b Ein Bambus von der Länge 5m wird abgeknickt. Das Ende erreicht den Boden in einer Entfernung von 2m vom Fuß des Stängels. Wo wurde der Stab abgeknickt? 19. a² + b² = c² Chinesische Arithmetik: 5 Fuß vom Ufer eines Teiches entfernt ragt ein Schilfrohr 1 Fuß über das Wasser empor. Zieht man seine Spitze an das Ufer, so berührt sie gerade den Wasserspiegel. Wie tief ist der Teich? Wasser 20. H Wie weit kann man von einem 45 m hohen Leuchtturm aufs Meer sehen, wenn der Erdradius 6370 km beträgt? 21. Wie groß ist bei nebenstehender Figur die Gesamthöhe? Die Figur ist smmetrisch. 90 cm 51 cm 119 cm 210 cm h 22. Wie lang ist der Weg ABCD? A 15 cm B 20 cm C D

26 Lösungen A 6 k = = 1, 5 = 1, 5 2 = 3 = 6 :1, 5 = 4 z = 1, 5 3 = 4, 5 4 v 2 2 = v = 3,5 A2 = k 40 = 2, = 90 cm² = = 8m ebenso = 13,5m 6 f 45 e 45 = f = 15m = e= 50m h 11,2 = h= 9,6m 1, 2 1, 4 h 20 = h= 16m H = 16m+ 1,5m= 17,5m = = 1, 2m ebenso = 2, 4m 3, 4 8,5 h = h= = 2 9 m ,5 = = 5cm = = 5,2cm = = 6, 4cm = 4 = 5cm z = 4 = 3, 2cm = und = = = 28,5m 2 3,5 2 1,5 1,5 3,5 28,5 = = 38m 2 1,5 2 2 k = 0,8 = 0,64 64% (= 25P) 6 = 6= 24 4 = 2, = = 8 = 3,8m ebenso = 5, 4 m (Zusatzaufgabe) (= 30 P) h 1 2 = h = 3P P 2P 2P 2P 2P 2P 2P 3P 3P 3P 1P 2P 2P

27 14. C 1 M A 1 B 1 A 2 B 2 3P A 2 B 2 = 9,29 cm C C 1 W A B 1 1 A 2 A 2 B 2 = 14,73 cm 3P B 2 D 2 C P M (= 42P) C 2 D 2 = 5,37 cm

28 ZUSATZAUFGABEN 18. (5 )² = ² + 2² ² = ² + 2² 10 = 21 = 2,1 m Der Bambus knickt bei 2,1 m ab. 19. ( + 1)² = 5² + ² ² = 25 + ² 2 = 24 = 12 Fuß Die Wassertiefe beträgt 12 Fuß R h = , km Man kann 24 km weit sehen. 21. h= ( )² (210 60)² = 170² 150² = 80 cm H 210 H h = 90 9H = 21H 21h 12H = 21h H 21h = = = 140 m d = 15² + 20² = 25 cm 20 = = 12 cm = 15² ² = 81 = 9 cm z = d 2 = = 7cm Weg = + z + = = 31cm

29 TEST B Aufgabe 01: B c d A b a D Gegeben sind a= 22,5m b= 9m c= 6m d = 10m Bestimme die Längen e und f. e C f SEE Aufgabe 02: Berechne die unbekannten Strecken,, z, v. zentrische Streckung v 9 z 4 Die kleine Fläche hat den Inhalt 2 A1 = 20cm. Wie groß ist die große Fläche? Aufgabe 03: Z =? und =? 6 m 9 m 21 m Aufgabe 04: 6 m Der Schatten eines h= 1,5m hohen senkrechten Stabes hat eine Länge von l = 2,3m. Wie hoch ist ein Baum, dessen Schatten s = 32,2m lang ist? Aufgabe 05: 5 cm 2 cm 1,5 cm 4,5 cm

30 Aufgabe 06: =? und =? Fachwerkträger 3,9 m 2 m 3 m 1,5 m Aufgabe 07: Bestimme die Höhe des Baumes für a= 20 cm, b= 14 cm, c= 1,8m d = 15m h b H c a Aufgabe 08: d Bestimme, und z. 10 cm 7 cm Z z 2 cm Aufgabe 09: Bestimme. 7 cm 3 cm Aufgabe 10: Bestimme die Turmhöhe aus s = 1, 5m a= 4, 5m b= 2, 5m d = 42m Turm a s b s d

31 Aufgabe 11: Eine Figur wird so verkleinert, dass jede Seite um 40% gekürzt wird. Wie viel Prozent der alten Fläche beträgt die neue Fläche? Aufgabe 12: 12 8 Aufgabe 13: Scheune 3 m 7 m 3 m 3 m 4 m Aufgabe 14: Konstruiere ein Dreieck mit α = 70 und β = 38 so, dass die Ecken auf einem Umkreis mit r = 5cm liegen. Aufgabe 15: Konstruiere ein Dreieck mit α = 48 und β = 34 so, dass der Innenkreis den Radius r = 2,5cm hat. Aufgabe 16: Zeichne einen Halbkreis mit r = 6cm und konstruiere das einbeschriebene Rechteck mit dem Seitenverhältnis 4:2. Die längere Seite soll dabei auf dem Kreisdurchmesser liegen. Zusatzaufgaben: (zum Aussuchen) Aufgabe 17: 6 6 h M = Mitte

32 18. ( a± b) = a ± 2ab+ b Ein Bambus von der Länge 5m wird abgeknickt. Das Ende erreicht den Boden in einer Entfernung von 2m vom Fuß des Stängels. Wo wurde der Stab abgeknickt? 19. a² + b² = c² Chinesische Arithmetik: 5 Fuß vom Ufer eines Teiches entfernt ragt ein Schilfrohr 1 Fuß über das Wasser empor. Zieht man seine Spitze an das Ufer, so berührt sie gerade den Wasserspiegel. Wie tief ist der Teich? Wasser 20. H Wie weit kann man von einem 45 m hohen Leuchtturm aufs Meer sehen, wenn der Erdradius 6370 km beträgt? 21. Wie groß ist bei nebenstehender Figur die Gesamthöhe? Die Figur ist smmetrisch. 90 cm 51 cm 119 cm 210 cm h 22. Wie lang ist der Weg ABCD? A 15 cm B 20 cm C D

33 Lösungen B f 22,5 e 22,5 = f = 15m = e= 25m 9 k = = 1, 5 = 1, 5 4 = 6 = 9 :1, 5 = 6 z = 1, 5 2 = 3 6 v 3 2 = v = 4 A2 = k 20 = 2,25 20 = 45 cm ² = = 4,5m ebenso = 8 m 9 h 32,2 = h= 21m 1, 5 2, ,5 = = 4cm = = 2,75cm = = 1, 2m ebenso = 3m 3,9 6,5 h 15 = h= 10,5m H = 10,5m+ 1,8m= 12,3m = = 4,9cm = 2 = = 2 7 cm z = 2 = 1, 4cm h 7 21 = h= = 2,1m = und = = = 52,5m 1,5 4,5 1,5 2,5 2,5 4,5 52,5 = = 31,5m 1, 5 2, k = 0,6 = 0,36 36% (= 25P) 12 = 12= 96 8 = 4, = = 12 = 4, 2m ebenso = 5, 4 m 4 10 h (Zusatzaufgabe) = h = (= 30 P) 3P 2P 4P 2P 2P 3P 2P 2P 3P 2P 3P 1P 2P 2P

34 14. C 1 M A 1 B 1 A 2 B 2 3P C 2 A 2 B 2 = 9,51 cm 15. C 1 W A B 1 1 A2 A 2 B 2 = 13,79 cm B 2 3P 16. A B 3P M AB = 8,49 cm (= 42P)

35 ZUSATZAUFGABEN 18. (5 )² = ² + 2² ² = ² + 2² 10 = 21 = 2,1 m Der Bambus knickt bei 2,1 m ab. 19. ( + 1)² = 5² + ² ² = 25 + ² 2 = 24 = 12 Fuß Die Wassertiefe beträgt 12 Fuß R h = , km Man kann 24 km weit sehen. 21. h= ( )² (210 60)² = 170² 150² = 80 cm H 210 H h = 90 9H = 21H 21h 12H = 21h H 21h = = = 140 m d = 15² + 20² = 25 cm 20 = = 12 cm = 15² ² = 81 = 9 cm z = d 2 = = 7cm Weg = + z + = = 31 cm ENDE