Nachklausur zur Einführung in die Geometrie im SS 2002 Lösung Aufgabe 1 1.Weg (kurz und einfach):

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1 Nachklausur zur Einführung in die Geometrie im SS 2002 Lösung ufgabe 1 1.Weg (kurz und einfach): C! **C* Umlaufsinn erhalten Verschiebung oder Drehung Verbindungsgeraden *, *, CC* nicht parallel Drehung Drehzentrum Z: Schnitt der Mittelsenkrechten von *, *, CC *. Drehwinkel α: 120 (abgelesen) C! C Umlaufsinn nicht erhalten chsenspiegelung oder Schubspiegelung Verbindungsgeraden,, CC nicht parallel keine chsenspiegelung Schubspiegelung Schubspiegelachse: Verbindung der Mittelpunkte der Strecken ', ', CC ' (Mittelsenkrechten konstruieren) Verschiebungsvektor: Einen Eckpunkt an der Schubspiegelachse spiegeln (z.., Spiegelpunkt # # ), Verschiebungsvektor ist der Vektor. * * 120 Z C* C ' ' C' #

2 2.Weg (lang, viel komplizierter): C! **C* Umlaufsinn erhalten Verschiebung oder Drehung Verbindungsgeraden *, *, CC* nicht parallel Drehung bbildung des Dreiecks C auf **C* durch zwei chsenspiegelungen, z.. 1. chse: Mittelsenkrechte m von CC* C auf C*, auf # 2.chse: Winkelhalbierende w von *C* # Drehwinkel α: 120 (direkt abgelesen oder das Doppelte des Winkels zwischen den chsen m und w) C! C Umlaufsinn nicht erhalten chsenspiegelung oder Schubspiegelung Verbindungsgeraden,, CC nicht parallel keine chsenspiegelung Schubspiegelung Schubspiegelachse und Verschiebungsvektor: Dreieck C durch drei chsenspiegelungen an f, g, h auf Dreieck C abbilden. Dann nach dem bekannten Verfahren chsen transformieren: Paar (f,g) um deren Schnittpunkt drehen bei konstantem Schnittwinkel σ chsenpaar (f,g ) mit g h Paar (g,h) um deren Schnittpunkt drehen bei konstantem Schnittwinkel (=90 ) chsenpaar (g,h ) mit h f f 7g, h f S f os g ist Verschiebung parallel zu h, die Schubspiegelung also S f os g os h. Länge des Verschiebungsvektors: Doppelter bstand von f, g, Richtung parallel zu h. * m 120 * C* w # C g g f h ' ' h f g C' σ

3 ufgabe 2 Gegeben sind eine Gerade g und ein Punkt Z g. Eine Figur wird um den Punkt Z um β=130 gedreht und anschließend an der Geraden g gespiegelt. a) Ermitteln Sie die Ersatzabbildung D Z,β o S g. Kurze Erläuterung für Ihr Vorgehen ist erforderlich. b) Darf hier die Reihenfolge zuerst drehen, dann spiegeln vertauscht werden? egründen Sie Ihre ntwort. g = j P** Z 65 P ## P i a) D Z,β = S i o S j mit j=g, Winkel zwischen j und g ist β/2 D Z,β o S g = (S i o S j ) o S g = S i o (S j o S g ) = S i o (S g o S g ) = S i.ersatzabbildung ist chsenspiegelung an i. b) Reihenfolge nicht vertauschbar: Ein Punkt P wird mit D Z,β o S g und mit S g o D Z,β abgebildet. Das Ergebnis ist nicht das selbe. Damit die bbildung einfach wird wird P g gewählt. D Z,β o S g (P) = P **, S g o D Z,β (P) = P ##.

4 ufgabe 3 Von einem Dreieck sind zwei Eckpunkte und gegeben, der dritte Eckpunkt soll auf der Strecke UV liegen. Konstruieren Sie den dritten Eckpunkt C 1 (bzw. C 2, C 3 ) so, a) dass das Dreieck C 1 gleichschenklig ist, wobei die asis sein soll. b) dass das Dreieck C 2 einen möglichst kleinen Umfang besitzt, c) dass das Dreieck C 3 einen möglichst kleinen Flächeninhalt besitzt, Kurze egründung ist jeweils erforderlich! V C 1 C 2 C 3 U a) C 1 muss auf der Mittelsenkrechten von liegen, da dies die Ortslinie aller Punkte ist, die von und die gleiche Entfernung haben. C 1 ist Schnittpunkt der Mittelsenkrechten mit UV b) Da die fest ist, wird der Umfang des Dreiecks minimal, wenn der Streckenzug von über einen Punkt C 2 auf UV nach minimal ist. Man erhält diesen Punkt C 2 indem man an UV spiegelt (Punkt ), diesen Punkt mit verbindet. C 2 ist der Schittpunkt dieser Verbindung mit UV. 1 c) C 3 muss so auf UV liegen, dass die Höhe h c minimal wird, da Dreieck = 2 hc ist und fest ist. Dies ist nur für den Endpunkt U von UV der Fall: C 3 = U.

5 ufgabe 4 Konstruieren Sie ein Dreieck mit c=6 cm, γ=50, s c =5 cm (s c ist die Seitenhalbierende der Seite c). ußer der Zeichnung ist eine kurze eschreibung Ihrer Konstruktion ist erforderlich. Für welche Längen von s c ist bei c = 6 cm und γ = 50 eine Lösung möglich? Sie dürfen die möglichen Werte für s c aus Ihrer Zeichnung ablesen. K 1 s max K 2 C2 C1 M m 40 s min M c Konstruktionsbeschreibung: 1. Seite = c =6 cm Kreis K 1 durch und, auf dessen Umfang alle Winkel von γ=50 über liegen (Umfangswinkelsatz): 2. Mittelsenkrechte m von, M c Mittelpunkt von 3. Winkel α=40 in antragen, Schnittpunkt mit m ist der Mittelpunkt M von K 1 (Mittelpunktswinkel 2 50 =100, also asiswinkel ( )/2=40 ) oder Winkel γ=50 irgendwo auf einer Geraden g durch antragen, Parallele p zum freien Schenkel durch zeichnen, Schnittpunkt P von g mit p ist Punkt auf dem gesuchten Kreis. Mittelpunkt M ist Schnittpunkt von m mit Mittelsenkrechte von P. 4. Kreis K 1 um M durch 5. Kreis K 2 um M c mit Radius s c =5 cm 6. Schnittpunkte C 1 und C 2 von K 1 und K 2 sind die gesuchten Punkte. Minimale Länge von s c = 3 cm, wenn C mit oder zusammenfällt Maximale Länge von s c 6,43 cm, wenn der Kreis K 2 um M c mit Radius s c den Kreis K 1 gerade noch berührt. C ist dann Schnittpunkt von m mit K 1.

6 andere Konstruktion: 50 K 1 K 2 s max 5 cm 6,43 cm m P 50 C 1 50 M C 2 50 s min 3 cm M c p Konstruktionsbeschreibung: 1. Seite = c =6 cm Kreis K 1 durch und, auf dessen Umfang alle Winkel von γ=50 über liegen (Umfangswinkelsatz): 2. Mittelsenkrechte m von, M c Mittelpunkt von 3. Winkel α=40 in antragen, Schnittpunkt mit m ist der Mittelpunkt M von K 1 (Mittelpunktswinkel 2 50 =100, also asiswinkel ( )/2=40 ) oder Winkel γ=50 irgendwo auf einer Geraden g durch antragen, Parallele p zum freien Schenkel durch zeichnen, Schnittpunkt P von g mit p ist Punkt auf dem gesuchten Kreis. Mittelpunkt M ist Schnittpunkt von m mit Mittelsenkrechte von P. 4. Kreis K 1 um M durch 5. Kreis K 2 um M c mit Radius s c =5 cm 6. Schnittpunkte C 1 und C 2 von K 1 und K 2 sind die gesuchten Punkte. Minimale Länge von s c = 3 cm, wenn C mit oder zusammenfällt Maximale Länge von s c 6,43 cm, wenn der Kreis K 2 um M c mit Radius s c den Kreis K 1 gerade noch berührt. C ist dann Schnittpunkt von m mit K 1.

7 ufgabe 5 Im rechtwinkligen Dreieck C in bb. 1 teilt der Höhenfußpunkt F die Hypotenuse in die bschnitte F und F. a) egründen Sie, dass die Dreiecke C, CF und CF zueinander ähnlich sind. Nehmen Sie ab jetzt an, dass F doppelt so lang wie ist. b) Geben Sie eine Ähnlichkeitsabbildung an, die Dreieck CF auf Dreieck CF abbildet. (Dabei sind die charakteristischen Daten der bbildung anzugeben, z.. der Streckfaktor) c) Wie viel % des Dreiecks C bedeckt das Dreieck CF? 90 bb.1 C F a) Dreiecke stimmen in den drei Winkeln überein: CF = CF CF = FC (Schenkel paarweise orthogonal) b) Streckung mit Zentrum F mit Faktor k= 2, dann Drehung um F um Winkel 270 (-90 ). F Zum Streckfaktor: k = (offensichtlich), F = 2F. FC 2 2 us dem Höhensatz für rechtwinklige Dreiecke erhält man FC = F F = 2F, F 2 also k = = = 2 2 F 2 c) us b) ergibt sich, dass der Flächeninhalt von Dreieck CF doppelt so groß ist wie der von Dreieck FC (Streckfaktor k 2 =2), damit ist der Flächeninhalt von C das Dreifache von dem von Dreieck FC. Dreieck FC bedeckt also ca. 33,33% der Fläche von Dreiecks C. ndere Lösung (benötigt b) nicht): 1 1 FC = 2 F FC, CF = 1 F FC = 2 F FC = 2FC 2 2

8 ufgabe 6 Regelmäßiges chteck a) Einem Kreis mit Radius r=5 cm ist ein regelmäßiges chteck einzubeschreiben. Zeichnen Sie ein solches regelmäßiges chteck. b) erechnen Sie Umfang und Flächeninhalt eines regelmäßigen chtecks mit Umkreisradius r. (Sie dürfen trigonometrische Funktionen und Sätze aus der Pythagoras-Satzgruppe verwenden) c) Welche Näherungswerte für π ergeben sich aus den erechnungen in Teil b)? d) Welchen prozentualen Fehler begeht man jeweils, wenn man mit diesen Näherungswerten statt mit π rechnet? 22,5 α r

9 ufgabe 7 Konstruieren Sie ein Dreieck C mit der Seite a=13 cm, Winkel β=45 und Inkreisradius ρ=3 cm. Geben Sie eine Konstruktionsbeschreibung an. C t a 13 cm g M ρ K ρ w 45 F Konstruktionsbeschreibung: 1. Seite C der Länge a = 13 cm 2. Winkel β = 45 in, freier Schenkel 3. Parallele g zu mit bstand ρ = 3 cm (auf der Seite von C) 4. Winkelhalbierende w von β durch 5. Schnittpunkt M von g und w : Mittelpunkt M des Inkreises 6. Lot von M auf, Lotfußpunkt F liegt auf dem Inkreis 7. Inkreis K mit Mittelpunkt M durch F 8. Tangente t von C an K (mit Thaleskreis über MC ) 9. ist Schnittpunkt von t und lternative zu : 6*.Spiegle an CM! t ist C