Lösungen zu delta 11. Fit für die Oberstufe Lösungen zu den Seiten 6 und 7

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Lösungen zu delta 11. Fit für die Oberstufe Lösungen zu den Seiten 6 und 7"

Transkript

1 Lösungen zu delta Fit für die Oberstufe Lösungen zu den Seiten 6 und 7. a) 4 = ; 9 = 4; = 6 X G; L = { 6} b) ( 4) + 8 = ( + 4); = 4; + 0 = ; 4 = ; = =, X G; L = {,} 4 c) + 7 = 0; + 7 = 0; = 7 G; L = { } + d) + = 0; + = 0; = X G; L = { } e) ( ) (4 + ) = 0; = 0; 4 7 = 0; 4 = 7; = 0, X G; L = { 0,} f) + = 0; = = ; = X G; = X G; L = { ; } g) 6 + = 0; = 6 ± 6 8 = 6 ± 7 = ± 7 ; 4 4 = ( + 7 ) X G; = ( 7 ) X G; L = { ( + 7 ); ( 7 ) } h) (7 ) 7(7 ) = 7 ; 8(7 ) (7 ) = 0; 7(7 ) = 0; = 7 X G; L = {7} i) 6 = 0; ( 6)( + ) = 0; = 6 X G; = X G; L = { ; 6} j) 6 = 0; = 6; = 6 G; = 6 X G; L = { 6 } k) + = 0; + = 0; L = { } l) = 0; = 0; ( + + 4) = 0; = 0 G; = 0; D = 6 = < 0; L = { } m) + = 0; ( + ) = 0; ( )( ) = 0; = 0 G; = X G; = X G; L = { ; } n) ( 9)( ) = 0; ( )( + )( )( + ) = 0; = X G; = X G; = X G; 4 = X G; L = { ; ; ; }

2 Lösungen zu delta o) 9 = 0; = 0; = ; = X G; = G; L = { } p) a = 0; a = 0; = a > 0 wegen a X + ; = a X G; = a X G; L = { a ; a } q) (log 0 ) = ; log 0 = ± ; = 0 X G; = 0 X G; L = { 0 ; 0 } r) + 4 = 0; + 4 = 0; + 4 = 0; ( 4)( ) = 0; 4 = 0; = 4 = ; = X G; = 0; = = 0 ; = 0 X G; L = {0 ; } s) sin = ; sin = ; X ]0 ; π[: = π 6 X 6; = π 6 X G; L = { π 6 ; π 6 } t) cos = ; X ] π ; π [: = π ; = π X G; L = π u) = 8 ; = 4 ; = 4; 4 = 0; ( )( + ) = 0; = X G; = X G; L = { ; } v) ( + )( ) = 0; ( + )( 4)( + ) = 0; = X G; = 4 X G; = X G; L = { ; ; 4}. a) I = + eingesetzt in b) I + = 0 II 4 + = ergibt II + = 4 + ( + ) = ; I II = ; = eingesetzt in I: = ; = 0; = ; = ; = 4 eingesetzt in I ergibt = 4 + = 6; L = {( 4 ; 6)} L = {( ; )} c) I = 0 d) I + = II + = 0 II = + 8 I + II 6 = 0; = 6; = II + = 0; : eingesetzt in II ergibt + = (identisch mit I) + = 0; Das Gleichungssstem hat unendlich viele Lösungen: = ; L = {( ; )} L = {( ; ) = + }

3 Lösungen zu delta. a) 4 > 0; > 4; > 7; L = ]7 ; [ b) 0, 4; 0, ; 6; L = [ 6 ; [ c) ( + ) < 0. Fall: > 0 + < 0 > 0 < : nicht möglich. Fall: < 0 + > 0 < 0 > < < 0; L = ] ; 0[ d) < ; 6 < 7; L = ]6 ; 7] e) ( ) 0 Da stets 0 ist, muss entweder = 0 sein oder 0; ; L = {0} t [ ; + [ f) ( )( ) < 0 Vorzeichen der Faktoren bei negativem Produktwert: + + d. h. () > 0 > < ; < < + + d. h. () > 0 < > ; nicht möglich + + d. h. () < 0 > > ; nicht möglich d. h. (4) < 0 < < ; < 0 L = t ] ; [ g) ( ) > 0 Wegen > 0 für jeden Wert von X muss > 0, also > sein: L = ] ; [ h) + > 0 gilt für jeden Wert von X : L = D f ma achsensmmetrisch zur -Achse punktsmmetrisch zum Ursprung a) b) \{ ; } + c) 0 d) e) f) zu e) O

4 4 Lösungen zu delta zu f) 4 O a) f() + f() b) f() 0 + f() 0 + c) f() 0 + f() 0 d) f() 4 f() 4 e) f() 0 f() 0 f) keine Aussage möglich 6. Allgemein: = m + t mit m = B A B A bzw. A A a) =, b) + 4 = + 4 = ; + 4 = ( ); = 7 ; = 0 c) = d) = 4 e) = f) = = 6 = ; = ; = = B A B ( A A B ) 7. a) P a = ( 6 ) 6,% b) P b = a) c) P c = ( ) 4 = e) P e = 6 ( 6 ) 6 = ( Start p p m w 0, 0,4 0,0 0,80 FB FB FB FB 64,6% d) P = d ( 6 ) 6 66, % 6 ) = , % f) P = f ( 6 ) ( Messebesucher: m männlich w weiblich FB: Fachbesucher(in) FB: kein(e) Fachbesucher(in) 6 = 0 6,% 6 ) = ( 6 ) ( 0,p + 0,0( p) = 0,40; 0,p + 0,0 0,0p = 0,40; 0,p = 0,0; p = 0,0 0, = 4 : Insgesamt 4 7,% der Messegäste sind männliche Fachbesucher b) P FB (m) = 0, = 0, ,6% Die augewählte Person ist mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 79% männlich. 6 + ) 7,7%

5 Lösungen zu delta 9. () a) Das Dreieck ABC ist gleichschenklig, da BC = + cm = 4 cm = CA ist; somit gilt H =. m CA = ; m h b = ; h b : = + t; B X h b : = 8 + t; t =,8; h b : = 0,6 +,8; da H = ist folgt H =,8: H (,8). tan α = ; α 9 ; γ 80 9 = 6 0 h b C * h c C * C C * H (,8) C * 6 A 4 4 B 0 C * C * 4 b) Für C * ( 4) und für C * ( ) ist das Dreieck ABC * bzw. das Dreieck AC * B rechtwinklig. Hinweis: C *, = ± AB = ± Für C * ( + ) und für C * 4 ( ) ist das Dreieck ABC * bzw. das Dreieck AC * 4 B gleichseitig. Hinweis: C *, 4 = ± AB = ± C * ( h); A Viereck ACBC * = AB (h ) AB = 6 (h ) 6 = = h = h 8; h 8 = ; h = 0; C * ( 0) C * 6 ( h*); A Viereck AC * = 6 BC 6 6 (h* ) = 8 h*; 8 h* = ; h* = ; C * 6 ( ) Hinweis: C *,6 = C ± 4 = 6 ± 4 () a) Beispiele: g OD ER; DOR = EDO; DE = RO (= 0 = ) : das Trapez ODER ist gleichschenklig; das Trapez ODER ist achsensmmetrisch zur R E Geraden g mit der Gleichung = 4. b) MO = ( 4) + ( ) = MD = 4 + ( ) = ME = + 4 = M MR = ( ) + 4 = Da MO = MD = ME = MR ist, ist M der Mittelpunkt des Umkreises des Trapezes ODER. O D

6 6 Lösungen zu delta c) S (Skizze nicht maßstäblich) g s = s = M* = 4; da die Geraden SO und g von dem Parallelenpaar ER und OD geschnitten werden, gilt nach dem. Strahlensatz für die X-Figur OSM*: s 7 s = 4 ; 4s 8 = s ; s = 8; S (4 8) R E s 7 O 4 M* D s 0. a) r* π = 4r π; r* = 4r ; r* = r: r* ist doppelt so groß wie r. b) V Luft usw. = 4 cm 7,0 cm 7,4 cm 6 4 (,7 cm) π 7, cm 9, cm = 9,9 cm : 9,9 cm 0,46 = 4,6% 7, cm Von der Packung ist also weniger als die Hälfte Inhalt. c) h = 6 cm; r = 6 cm; V = r πh = (6 cm) π 6 cm = 6π cm 679 cm A = r π + rπh = (6 cm) π + 6 cm π 6 cm = 44π cm 4 cm. S s h p h s D C A ϕ M B Basishöhe h s jeder der vier Seitenflächen: h s = (8 cm) + ( cm) = 7 cm ; h s 8, cm; A p (6 cm) cm 8, cm = 6 cm + 0 cm = 8 cm V p = (6 cm) 8 cm = 96 cm tan ϕ = 8 ; ϕ 6, V k = ( cm) π 8 cm = 48π cm 0,8 cm s = SA = ( cm) + (8 cm) = (8 + 64) cm = 8 cm ; s 9, cm; A K = ( cm) π + cm π SA = 8 π cm + cm π 8 cm = 8 π cm π cm 77 cm V P 96 cm V K 0,8 cm 64% Die Pramide nimmt etwa 64% des Kegelvolumens ein.

7 Lösungen zu delta 7 Kann ich das? Lösungen zu Seite 6. Nullstelle(n) Polstelle(n) D f ma a) = 0 = \ {} b) = 0; = = \ { } c) = 0. Funktion f f f Nullstelle(n) Polstelle(n) = 0 = 0 = 0 Verhalten für + f() 0 + f() + f() + Verhalten für f() 0 f() + f() Der Graph verläuft durch die Quadranten III und I II und I III und I Achsenpunkte des Graphen Smmetrieverhalten: Der Funktionsgraph ist Gleichungen der Asmptoten des Graphen punktsmmetrisch zum Ursprung = 0; = 0 smmetrisch zur -Achse = 0; = punktsmmetrisch zum Ursprung = 0; = 4 4. a) lim + = lim = + = 0, ± ± b) lim [ ( + 4 ) ] = lim [ ( ) ] = ± ± c) lim 6 + = lim = 0 + = 0 ± ± k 4. lim k = lim 8 + ± + ± + ( 4 ) = 0, = k ; k = ; k = 6. a) Nummer der Figur Umfangslänge der Figur ( in cm) Flächeninhalt der Figur (in cm ) () U = 4a = 4 8 = A = a = 8 = 64 () () (n) a = a = 4 U = 6a = 6 4 = 4 a = a = a = U = 0a = 0 = 0 a n = a n U n = ( n + ) 4 n = 4 + n A = a = ( a ) = 4 = A = 4 a = 4 ( a ) = 4 = 6 A n = n ( a = n 8 n = 7 n n ) = n ( ) = n b) lim U n = 6 lim A n = 0 n + n + 6. Funktionsgleichung a) b) c) d) Wertetabelle D C A B Graph (4) () () ()

8 8 Lösungen zu delta Kann ich das? Lösungen zu den Seiten 8 und 84. a) () m() = ( ) ( ) = = 4 lim ( + ) = 4 + () m() = ( ) ( ) = + = 4 lim ( + ) = 4 Wegen lim m() = lim m() = 4 ist lim m() = 4. + b) () m(h) = ( + h) ( ) + h lim ( + h) = h 0+ () m() = ( h) ( h) = + h + h = h = + h h = h = ( + )( ) = + ; > = ( + )( ) = + ; < h( h) h h( +h) h lim ( h) = 0+ Wegen lim ( + h) = lim ( h) = ist lim m(h) =. h 0+ h 0+ h 0+ = + h = + h; h > 0 = h = h; h > 0 V(r + h) V(r). Der Term (h > 0) bedeutet die mittlere Volumenzunahmerate, wenn die Radiuslänge um h h zunimmt. 4 V(r + h) V(r) = (r +h) π 4 r π 4 = π(r + r h + rh + h r ) 4 = π h (r + rh + h ) = 4 h h h h π (r + rh + h ); V (r) = lim [ 4 π (r + rh + h ) ] = 4 π r = 4r π: Dies ist der Kugeloberflächeninhalt. h 0 f( + h) f(). a) f () = lim = lim ( + h) ( ) = lim 4h h + h 0 h h 0 h h 0 h h(4 + h) = lim = lim [ (4 + h) ] = 4 h 0 h h 0 Ableitungsfunktion: f : f () = 4; D f = f( + h) f() b) f () = lim ( + h) = lim ( + h) = lim ( + h) = lim h h h h h ( + h) = lim ( + h) = h 0 h 0 h 0 h 0 h 0 Ableitungsfunktion: f : f () = ; D = \ {0} f 4. a) f() = 4 + ; f () = 8 + ; f () = f() = ; f () = ; t p : = + t; da P X t p ist, gilt = + t; t = 8; t p : = 8 b) f() = + 4; f () = ; f () = f() = ; f () = ; t p : = + t; da P X t p ist, gilt = + t; t = ; t p : = + Schnittpunkt von t p mit der -Achse: = 0; 0 = + ; + = ; : =,; S (, 0) Steigung von n p : 0,; n p : = 0, + t*; da P X n p ist, gilt = 0, + t*; 0, t* =,; n p : = 0, +, Schnittpunkt von n p mit der -Achse: = 0; 0, +, = 0;, 0, =,; : 0, = ; S ( 0) A = S ( +,) =, S P r Umkreis = ( +,) =,7; A = Umkreis,7 π 44,; Prozentsatz: etwa, 44, % c) f() = ( ) = ; f () = 6 ; f () = 6 oder (Produktregel) f() = ( ); f () = ( ) + ( 0) = + = 6 f() = ; f () = ; t p : = + t; da P X t p ist, gilt = + t; t = ; t p : =

9 Lösungen zu delta 9 d) f() = ; f () = ; f () = 6 4 f() = ; f () = ; t p : = + t; da P X t p ist, gilt = + t; t = ; t p : = + e) f() = ; f () = ; f () = 4 f() = ; f () = 0,; t p : = 0, + t; da P X t p ist, gilt = 0, + t; t = 0,; t p : = 0, + 0, f) f() = + ; f () = ( + ) ; f () = ( + ) ( ) ( )(4 + 4) ( + ) = 4 = ( + ) + 8 ( + ) ( + ) = ( + ) ( + ) = 6 ( + ) f() = 0,; f () = ( + ) = 0,; t : = 0, + t; da P p X t ist, gilt 0, = 0, + t; p t = ; t p : = 0, + Schnittpunkt von t p mit der -Achse: = 0; 0 = 0, + ; + 0, 0, = ; : 0, = ; S ( 0) Steigung von n p : ; n p : = + t*; da P X n p ist, gilt 0, = + t*; t* =,; n p : =, Schnittpunkt von n p mit der -Achse: = 0;, = 0; +, =,; : = 0,7; S (0,7 0) A = S ( 0,7) 0, = 0, S P r Umkreis = ( 0,7) = 0,6; A = Umkreis 0,6 π,; Prozentsatz: etwa 0,, % g) f() = + ; f ( ) ( + ) () = ( ) = 6 ( ) ; f () = ( 6)( 6) ( ) = ( ) = 4 ( ) 4 ( ) f() = ; f () =,; t p : =, + t; da P X t p ist, gilt =, + t; t = 0,; t p : =, 0, h) f() = ( + ) = ; f () = = 4 + 8; f () = 8 f() = 9; f () = ; t p : = + t; da P X t p ist, gilt 9 = + t; t = ; t p : =. Bei beiden Abbildungen ist einer der beiden Graphen, der andere. a) Die rote Kurve ist, die grüne Kurve ist. Begründung: Die Abszissen der Punkte von, in denen eine horizontale Tangente besitzt, stimmen mit den Nullstellen der durch dargestellten Funktion überein, aber nicht umgekehrt. b) Die grüne Kurve ist, die rote Kurve ist. Begründung: Die Tangentensteigung von nimmt zu, demgemäß ist steigend; umgekehrt ist dies nicht der Fall. 6. a). Art: f() = + 4 ; f () = + 4 = + 8. Art: f () = ( + 4) + ( + 0) = = + 8 b). Art: f(r) = 8r + 6r ; f (r) = r = 8 + r. Art: f(r) = ( 4r)( 4r); f (r) = (0 4)( 4r) + ( 4r)(0 4) = 4 + 6r 4 + 6r = 8 + r c). Art: f() = ; f () = +. Art: f() = = ; f () = ( 0) ( ) = 4 + = + d). Art: f(a) = a 4 a = a 9 ; f (a) = 9a 8. Art: f (a) = 4a a + a 4 a 4 = 4a 8 + a 8 = 9a 8 7. b =, da S ( 0) X ist; c =, da S ( 0) X ist. Der Graph hat eine schräge Asmptote; somit ist n = = (das Zählerpolnom hat den Grad ). a( + )( ) Wegen f() = ist = ; a =. ( + )( ) Als Funktionsterm ergibt sich f() = = =. = +

10 0 Lösungen zu delta f() f(0) 8. Für > 0 gilt = = 4 = ; lim = 0; 0+ f() f(0) für < 0 gilt = = 4 = ; lim = 0 = lim : 0 0+ Die Funktion f: f() = 4 ; D f =, ist also an der Stelle 0 = 0 differenzierbar, und es ist f (0) = Q ( ); Gleichung der Parabel P : = a( ) + ; Q X P : = a ( ) + ; a = P : = ( ) + = + + = + Steigung von P (und von P ) im Punkt Q:. Ableitung: = ; an der Stelle = : m tq = 4 = Gleichung der Tangente t Q : = + t; Q X t Q : = + t; = 4 + t; 4 t = t Q : = Parabel P : = f() = + b + c Q X P : = + b + c; + 4 b + c = 7 (I) f () = + b; f () = 4 + b = m tq = ; b = 6; eingesetzt in (I) 6 + c = 7; c = Gleichung von P : = + 6 = ( ) + 9 = ( ) + 4 a) Der Teil der Parabel P links oberhalb des Punkts R ( 4) b) Der Teil der Parabel P links unterhalb des Punkts R ( 0). 0. a) = ist eine doppelte Nullstelle von f; f besitzt keinen Pol, also keine senkrechte Asmptote. lim f() = lim 4 + = lim = ; besitzt somit eine waagrechte ± ± ± Asmptote mit der Gleichung =. f() = 4 + ; + Etremstellen: f () = (4 4)( + ) ( 4 + ) ( + ) = ( + ) = 4 4 ( + ) = 4( ) ( + ) f () = 0: 4( ) = 0; : 4 ( + )( ) = 0; = ; = Monotonietabelle: < < = < < = < < f () f () > 0 f () = 0 f () < 0 f () = 0 f () > 0 Vorzeichenwechsel von f () von + nach von nach + Graph steigend Hochpunkt A ( 4) fallend Tiefpunkt C ( ) steigend Wertetabelle: f(),8,9,,6 4,0,0 0,0 0,4 0,8,, A C* a B D( ) E( ) A* a O C

11 Lösungen zu delta b) Tangentengleichungen: f( ) = 4; f ( ) = 0 4 = 0; t : = 4 A f(0) = ; f (0) = 4; t B : = 4 + f() = 0; f () = 0; t C : = 0 Streckenhalbierung: AB = + LE = LE; CB = + LE = LE; AB = CB (I) m AC = 4 = ; = + t; da A X AC ist, gilt 4 = + t; t = ; AC: = + B liegt auf AC, da = = 0 + ist, also ist wegen (I) B Mittelpunkt der Strecke [AC]. Rechteck AA*CC*: A*( 0), C*( 4); A Rechteck AA*CC* = 4 LE LE = 8 FE Flächeninhalt des Quadrats: Für die Länge d jeder der Diagonalen eines Quadrats der Seitenlälnge a gilt d = a. AC = + 4 LE = 0 LE = a ; : a = 0 LE A Quadrat = a = 0 FE Die Quadratfläche ist um FE, das sind ( =) %, größer als die Rechtecksfläche. 8. Der Graph verläuft durch den Ursprung O (0 0), da f(0) = 0 ist. (Weitere) gemeinsame Punkte mit der -Achse: ( ) = 0; = 0 (siehe oben) D = = 6 9 < 0; also hat G mit der -Achse f (und mit der -Achse) nur den Ursprung gemeinsam. Punkte von, in denen die Tangente horizontal ist: f () = g + = = ( 4 + 4) = ( ) S S Für = 0 und für = gilt f () = 0; f(0) = 0; f() = = 4. Im Ursprung O (0 0) und im Punkt W ( 4 ) besitzt G W f die horizontale Tangente t O : = 0 bzw. t W : = 4. Monotonietabelle: O < < 0 = 0 0 < < = < < f () f () < 0 f () = 0 f () > 0 f () = 0 f () > 0 Vorzeichenwechsel von f () Newton sches Näherungsverfahren: n + = n g( ) n g ( n ) ; n X. Dabei ist g() = und g () = ( ) ; Anfangsnäherung für S ist =, : S,8 von nach + kein Vorzeichenwechsel Graph fallend Tiefunkt O steigend Terrassenpunkt W n n g( n ) g'( n ) n + 0,00 0,849 7,87,9,9 0,070 6,7,8,8 0,00 6,448,8 steigend

12 Lösungen zu delta. f() = 0 ; f () = 0 4 = 4 4 = 4 ( a) = 4 ( + )( ) f besitzt nur die Nullstellen 0, und. Monotonietabelle: < < = < < 0 = 0 0 < < = < < f () f () > 0 f () = 0 f () < 0 f () = 0 f () < 0 f () = 0 f () > 0 Vorzeichenwechsel von f () Der Graph besitzt andere Etrempunkte als, der Graph ebenfalls; wird also durch den Graphen dargestellt.. D f ma = \ { 4; 0} Achsenpunkte: hat mit der -Achse keinen Punkt gemeinsam. Gemeinsamer Punkt mit der -Achse: f() = 0; 6 + = 0; 6 = ; : 6 = S ( 0) Verhalten für ± : lim = lim ± ± von + nach = 0 = 0 fallend kein Vorzeichenwechsel fallend von nach + Graph steigend Hochpunkt Terrassenpunkt Tiefpunkt Die -Achse (Gleichung: = 0) ist also horizontale Asmptote von. An den Stellen = 0 und = 4 hat f Pole (. Ordnung, also Pole mit Vorzeichenwechsel: Für 4 gilt f(). Für 4 + gilt f() +. Für 0 gilt f(). Für 0 + gilt f() +. Senkrechte Asmptoten: = 4 und = 0 Etrema: f () = 6( + 4) (6 + )( + 4) ( + 4) = steigend ( + 4) = ( + 4) = 6( ) ( + 4) f () = 0: = 0; D = = 6 = 6 < 0. Da f überall in D f differenzierbar ist und f () für jeden Wert von X D f ungleich null ist, hat keine lokalen Etrempunkte. 6 ( ) Tangente im Punkt S ( 0): f ( ) = [( ) + 4 ( )] = 4 6 = t S : =, + t; wegen S X t S ist 0 =, ( ) + t; t = t S : =, Verschiebung von um Einheiten nach rechts: f*() = f( ) 6( ) + f*() = ( ) + 4( ) = = 6 4 ; D = \ { ; } f* 6 ( ) Da f*( ) = ( ) 4 = 6 4 = f*() ist, ist G punktsmmetrisch zum Ursprung f* [und somit punktsmmetrisch zum Punkt S ( 0)]. S * * * O

13 Lösungen zu delta Kann ich das? Lösungen zu Seite 6. a) Zeichnung: D C M F A 0 B O b) Größe ϕ des Winkels BOD: O Teildreieck: ϕ B M D Volumen der Pramide P: Das Teildreieck BDO ist aufgrund der vorliegenden Smmetrie gleichschenklig mit Basis [BD]. Es gilt: AB + AD = BD BD = AB + AD = (6 cm) + (6 cm) = 6 cm; OB = ( ) cm; OB = ( cm) + ( cm) + ( cm) = 9 cm; sin ϕ = BD = 6 cm OB 9 = cm ; ϕ = 9,47... ; ϕ = BOD 8,9 V P = AB OM = (6 cm) cm = 44 cm Oberflächeninhalt der Pramide P: Aufgrund der Smmetrie der Pramide gilt: A P = AB + 4 A Dreieck BOC = (6 cm) + 4 BC OB ( BC ) = = (6 cm) cm 6 cm 9 cm = ( + ) cm 84 cm c) Die Pramide P* ist ( cm 6 cm =) 6 cm hoch, also halb so hoch wie die Pramide P. V Pramidenstumpf = V P V P* = V P ( ) V P = 7 8 V P = cm = 6 cm

14 4 Lösungen zu delta. A ( 4 7 ); B ( 9 0); ( 4) AB = 9 7 ( 0 ) ( = ) ; ( 4 ) a = ; ( 4 4 a AB = ; = = a + 4 ; = a + 4; 4 a 8a = ; : 8 a = 4; a = (wegen a X AB = + + ( ) = = ; a ) + + ( 4 a ) = + ) a + 4 ;. a) Kugel K M ( 7 4); r = K : ( ) + ( 7) + ( + 4) = b) Kugel K M ( 7 4) Berechnung der Radiuslänge r: MA = ( ) ( = 0 8 ) ; r = MA = ( 8) = 89 K : ( ) + ( 7) + ( 4) = 89 c) Kugel K M ( 7 8) Der Betrag der -Koordinate von M gibt den Abstand des Kugelmittelpunkts M von der - -Ebene, also die Radiuslänge von K, an: r = 8. K : ( ) + ( 7) + ( 8) = 64 Koordinaten des Berührpunkts: B ( 7 0), da B in der - -Ebene liegt (also = 0 ist) und senkrecht unter M liegt (also = und = 7 ist); B entsteht durch senkrechte Projektion von M in die - -Ebene. 4. O (0 0 0); S (9 9 ); T (4 7) K: = 40; = 40; ( + ) + ( 4) + ( ) = 40; + 9 ( + ) + ( 4) + ( ) =, d. h. M ( 4 ) und r = ; OM = ( 4 ) ; OM = 9 < : O liegt innerhalb der Kugel K. SM = ( SM = 8 > : S liegt außerhalb der Kugel K. ( ) ) ( = 4 ) ; TM = ( 4 4 ( ) 7 ) ( = 7 ) ; TM = 99 < : T liegt innerhalb der Kugel K.

15 Lösungen zu delta. A (4 4 ); B ( ); C (4 ) AB = ( 4 ( 4) ) ( = 4 ) ; AB = 0 = : 4 CB = CB ( = 0 = : v ϕ ( ) ) = ( 4 ) ; Wegen CB ist das Dreieck ABC gleichschenklig mit Basis [CA]. Wegen AB CB = ( ) ( ) + ( ) + ( 4) 4 = 0 ist das Dreieck ABC außerdem rechwinklig (mit dem rechten Winkel bei B). AB = Kugelgleichung in Vektorform: Da B Mittelpunkt der Kugel ist und A und C auf der Kugel liegen, gilt r = AB = CB = 0 : K: ( ) = 0 6. u u = ( 6 ), Flächeninhalt des Parallelogramms: u v = ( 6 ( ) 6 ( ) A P = u v = ( 6 ) ) ( 6 ) ( = ( 6) ( ) ( ) ( 6) 6 ) ( = ) v = 0 + ( 0) + 40 = 800 = 0 Winkelgröße ϕ: u = 44 = ; v = 4 ; u v = u v sin ϕ; sin ϕ = u v u 0 = v = 4 4 ; ϕ 87, 7. D a C d b d b A a B () Summe der Quadrate über den vier Seiten: a + b + a + b = a + b () Summe der Quadrate über den Diagonalen: d + d = = a + b + a + = a + a = a + b b = b + b + a a Da () = () ist, folgt die Behauptung. b + b =

16 6 Lösungen zu delta 8. a = ( ) ; b = ( ) ; n = ( ) ( ) ( = 6 6 ) ; n a = = = 0; n b = ( ) = = 0 9. A ( 7); B ( 4 9), C ( 4 ) a) A ( 0); B ( 4 0); C ( 4 0) b) AB = ( 4 ( ) 9 7 ) ( = 7 ) ; AC = ( 4 ( ) 7 ) ( = ) ; AB AC = ( 7 ) ( ) ( = 6 ) ; AB AC = 84 = ; A ABC = AB AC = 6 ; A B = ( 4 ( ) 0 0 ) ( = 7 0 ) ; A C = ( 4 ( ) 0 0 ) ( = 0 ) ; A B A C = ( 7 0 ) ( 0 ) ( = ) ; A B A C = 6; A A B C = A B A C = 8; A A B C = 8 A ABC 6 = 90, %, d. h.: Der Flächeninhalt des Dreiecks A B C ist um etwa 9, % kleiner als der Flächeninhalt tdes Dreiecks ABC.

17 Lösungen zu delta 7 Kann ich das? Lösungen zu Seite 46. a) f: f() = u(v()) = ( ) = ; g: g() = v(u()) = ( ) = 6 = ; D f = = D g b) f: f() = u(v()) = sin(cos ); g: g() = v(u()) = cos (sin ); D f = = D g. f() = ; zu D = \ [ ; ] gehören 0; ; und 0. f ma g() = ( ) = ; zu D gehören ± ; ± und ± 0. g ma. a) f () = cos ; f (π ) = π cos π = π 0,04 b) f () = = (4 ) = ; f () = 0,707 c) f () = 4 4 (4 + ) 4 + ( 4) = ( 4) = ( 4) ; f (8) = 4 6 = 0,44 d) f () = sin (); f (π) = sin (π) = 0 e) f () = cos ; f ( π sin ) = 0 f) f () = ( + ) ( ) ; f () = 0 4. = sin () (schwarz); = cos () (blau); = 4sin () (rot). Es ist f () = < 0 für jeden Wert von X D f = + = D f. Also ist f überall streng monoton abnehmend. Wertmenge: W f = ] ; [ O Umkehrfunktion: = ; = ( ) ; = ( ), da X f : f () = ( ) ; D f = W f = ] ; [. = ; hoch + ; und vertauschen:

18 8 Lösungen zu delta 6. a) = 4 ; = 4 ; + + = 4 T P r A ϕ O R t p ε S b) () P X : P = f() = ; P ( ); m OP =. Die Tangente t P steht senkrecht auf OP; also ist m tp = m = OP. () f() = 4 ; f () = = 4 ; m 4 t P = f () = = 4. c) t P : = + t; P X t P : = + t; t = + = 4 ; t P : = + 4 Schnittpunkt S von t P mit der -Achse: 0 = + 4 ; = 4; S (4 0) Schnittpunkt T von t P mit der -Achse: T (0 4 ) Flächeninhalt des Dreiecks OST: A OST = 4 4 FE = 8 FE 4,6 FE 7. a) V(r) = r π r π = 7 r π b) r = V 7π ; r(v) = V 7π 8. G g = s Q S O B P A B* t f = r t g 4 A* Die Graphen und G g haben den Punkt S ( ) gemeinsam. Tangente t an in Punkt S: f () = r r ; f () = r; t : = r + t; S X t : = r + t; t = r; t : = r + r Schnittpunkt von t mit der -Achse: A ( r 0) Schnittpunkt von t mit der -Achse A* (0 r) Tangente t am G g im Punkt S: g () = s s ; g () = s; t : = s + t*; S X t : = s + t*; t* = s; t : = s + s Schnittpunkt von t mit der -Achse: B ( s 0) Schnittpunkt von t mit der -Achse: B* (0 s) Flächeninhalt des Dreiecks BAS: A BAS = ( r + s ) = r s rs Flächeninhalt des Dreiecks B*A*S: A B *A*S = ( s + r) = r s A B *A*S = rs A BAS

19 Lösungen zu delta 9 9. π π O π_ π π π G F π π π_ π π π a) hat den Punkt T (0 ) mit der -Achse gemeinsam. Gemeinsame Punkte von mit der -Achse: f() = sin + cos = 0 : ( cos ) tan = ; = π 6 ; = π 6 ; = π 6 S ( π 6 0); S ( π 6 0); S ( π 6 0) Etrempunkte: f () = cos sin = 0; : ( cos ) tan = ; 4 = π ; = π ; = 4π 6 f ( π ) = f () = sin cos f ( 4 ) = sin ( π ) cos ( π ) = > 0: Der Punkt T ( π ) ist ein Tiefpunkt von. f ( ) = sin π f ( 4p ) = Der Punkt H ( π cos π = < 0: ) ist ein Hochpunkt von. f ( 6 ) = sin 4π cos 4π = > 0: Der Punkt T ( 4π ) ist ein Tiefpunkt von. b) F () = sin + cos = f(); D F = D f f ( π ) = sin ( π ) + cos ( π ) = cos + sin = F()

20 0 Lösungen zu delta Kann ich das? Lösungen zu Seite 68. a) e e + = 0; e = 0; e = 0; e = ; = 0 X G; L = {0} b) ln ( e ) = 0; e = ; e = ; e = ; = 0 X G; L = {0} c) ln + k = 0; + k = ; + k = ; + k = 0; D = 4k ;, = ± 4k Fallunterscheidung: I. D = 4k > 0, 4k < ; k < 4 ; < k < ; da k > 0 ist: 0 < k < Es gibt zwei Lösungen X G, wenn 0 < k < ist: L = { 4k ; + 4k } II. D = 4k = 0; k = : nicht möglich, da k > 0 ist; k = : Es gibt genau eine Lösung, nämlich = X G: L = { } III. D = 4k < 0: Es gibt keine Lösung X G; also ist L = { }. d) e + e = 0; e e e + = 0; (e )(e ) = 0; e = ; = ln X G; e = = 0 X G; L = {0 ; ln }. a) ln (e ) + ln (e e ) + e ln = + e + = e + b) ln [ln (e e )] = ln (e ln e) = ln e = c) (e ln + e ln ) : e ln 7 = ( + ) : 7 =. a) Der kleinste Wert von f() = ( 4 ) sin ist ( 4 ) = ( 4 ) = 4,; er wird für = π + nπ (n X ) angenommen. b) Der größte Wert von g() = ( ) cos + ist ( ) + = ( ) =,8; er wird für = nπ (n X ) angenommen. 4. a) = ( + ) e + ( + ) e = ( + )( + )e b) = e ln = ; =, falls > 0 ist. c) = (4 + e ) 4e 4e e (4 + e ) = 4e (4 + e e ) (4 + e ) = 6e (4 + e ) d) = e = e + e + e e) = e cos sin f) = ln e = ln e ln = ln ; = g) = (ln ) ( ) ( ln ) (ln ) = ln + ln (ln ) 4 (ln ) = ln (ln )

21 Lösungen zu delta. h) = + i) = = ( + ) = ( ) = ( ) G g O ln (e ) = ln e + ln = + ln : Man erhält G g, indem man um Einheiten in Richtung der -Achse nach oben verschiebt. ln (a) = ln a + ln : Man erhält den Graphen der Funktion G a, indem man um ln a Einheiten in Richtung der -Achse nach oben (für a > ) bzw. um ln a Einheiten nach unten (für 0 < a < ) verschiebt. 6. T(t) T 0 = (T T 0 )e kt Rechnung mit Maßzahlen: 0 4 = (0 4) e k ; 8 = 96e k ; e k = 8 96 ; k = ln 8 = 0,6989 ; k 0,7; = (0 4) e 0,7t ; 6 = 8 e 0,7t ; e 0,7t = 6 ; 0,7t = ln ; t = ln 6 = 9,40 0 0,7 8 Innerhalb von weiteren rund 0 Minuten kühlt sich die Pfanne von 0 C auf 40 C ab. 7. a) Schnittpunkt mit der -Achse: + = 0; = ; S ( 0) Schnittpunkt mit der -Achse: f(0) = e = = ; T (0 ) 0 b) Ableitung: f () = e ( + )e e = e ( ) e = ; e f (0) = 0 < < 0 = 0 0 < < + f () f () > 0 f () = 0 f () < 0 Vorzeichenwechsel von f () von + nach hat den Hochpunkt H (0 ) = T

22 Lösungen zu delta H = T B A = S O 6 lim f() = 0 (Hinweis: vgl.. Aufgabe 7.); für gilt f(). c) f ( ) = e = e; f () = e ; da f ( ) f () = e ( e ) = ist, stehen die Tangenten t A und t B an in den Graphpunkten A bzw. B aufeinander senkrecht. d) F () = e b (a + b) e (e ) = b a b = f(); e b a b = + ; e e Es muss gelten b =, d. h. b =, und b a = ; also a =, d. h. a = : F() = e Probe F () = e ( ) ( )e e = + + = + = f() e e 8. f(0) = 4 = ; der Punkt T (0 ) X G liegt nicht auf G. f III f () = ( + e ) 4e 4e e ( + e ) = 4e ( + e e ) ( + e ) = 4e ( + e ) ; f (0) = 4 4 = > 0; Die Tangentensteigung im Punkt T ist nur bei G II positiv: G II =. G I : f I () = 4e = 4 + e e + ; G III : f III () = 4e + e = 4e e + e

23 Lösungen zu delta Kann ich das? Lösungen zu Seite 9. a) Ω = {; ; ; 4; ; 6; 7; 8; 9} A = {; ; ; 7; 9}; P(A) = 0,; B = {; 6; 9}; P(B) = 0,; C = {0; ; ; ; 4}; P(C) = 0,; D = {; ; ; 7}; P(D) = 0,4; E = {; 4; 9}; P(E) = 0,; F = {9}; P(F) = 0, b) A Q B = {; 9}: Die Nummer ist ungerade und durch teilbar A q B = {; ; ; 6; 7; 9}: Die Nummer ist ungerade und/ oder durch teilbar A q C = {6; 8}: Die Nummer ist gerade und mindestens gleich D Q E = Ω: Die Nummer ist nicht gleichzeitig Primzahl und Quadrazahl c) () B Q _ E = {; 6} () (A Q _ E ) q ( A Q E) = {; 4; ; 7} () A q E = {; ; 4; ; 7; 9}. a) P( genau ein Bauteil ist defekt ) = 0,88 4 0, 6,0% P( höchstens ein Bauteil ist defekt ) = 0,88 4 0, + 0,88 88,8% P( mindestens ein Bauteil ist defekt ) = 0,88 47,% b) Baumdiagramm: Start 0, 0,88 Bauteil defekt oder d e einwandfrei? 0,9 0,0 0,0 0,98 Feststellung des d e d e Prüfgeräts () P( Das Prüfgerät zeigt ein Bauteil als defekt an ) = 0, 0,9 + 0,88 0,0,% 0, 0,9 () P Das Prüfgerät zeigt defekt an ( Bauteil ist defekt ) = 0, ,88 0,0 86,6% 0,88 0,98 () P Das Prüfgrät zeigt einwandfrei an ( Bauteil ist einwandfrei ) = 0, 0,0 + 0,88 0,98 99,%. Anzahlen: Relative Häufigkeiten: K K A A K K A 0,070 0,099 0,69 A 0,479 0, 0,8 0,49 0,4,000 9 = 9 ; = 0; : 4 = ; = ; = 7; 9 = 4 a) Genau eines dieser beiden Mathematikprobleme haben (7 + 4 =) 4 der Befragten; das sind etwa 8% b) h(a Q K) 0,070; h(a) h(k) 0,69 0,49 0,09 h(a Q K): Die beiden Probleme treten stochastisch nicht unabhängig voneinander auf. 4. Start W W 0, 0,7 R 0,07 0, 0,47 W W R 0, 0,4 0,7 0, 0,8 0,8 0,7 0, 0,7,000 R R R R 0, 0,8 a) P Person nimmt teil ( Person wiederholt ) = 0, 0,8 + 0,7 0,7 8,% b) P(W Q R) = 0,07; P(W) P(R) = 0, 0,47 0,069 P(W Q R): Die Ereignisse W und R sind stochastisch nicht voneinander unabhängig. c) P( Spätestens an 6. Stelle steht ein Wiederholer/ eine Wiederholerin ) = 0,7 6 8,%

24 4 Lösungen zu delta Kann ich das? Lösungen zu Seite 6. f () = 0, ( )( + ) + 0,( ) = = 0,( )( ) = = 0,( )( + ); f () = 0,( + ) + 0,( ) = = 0,( + + ) = = ; f () = 0; = ; = ; f () = > 0; f ( ) = < 0: hat einen Hochpunkt H ( ) und einen Tiefpunkt T ( 0). a) f(,) = 0, (,) ( 0,) =,06; f(,) = 0, 0,, = 0,47 Die Funktion f hat im Intervall I a das globale Maimum f( ) = und das globale Minimum f(,) =,06 (Randminimum). b) f(,) = 0, (,) 0, =,6; f(,) = 0,, 4, =,06 Die Funktion f hat im Intervall I b das globale Maimum f(,) =,06 (Rand maimum) und das globale Minimum f() = 0.. f a () = a ; f () = a a ; f a () = 0: = a ; = ± a; f a (a) = a a = a > 0, da a X + ; f(a) = a + a + 8 a = a + 8 a ; f a ( a) = a ( a) = a < 0; f( a) = a + 8 a : lokaler Tiefpunkt von : T (a a + 8 a a ); T (a) = a + 8 a ; (a) = 8 T a ; (a) = 6 T a ; T (a) = 0: 8 a = 0; a = 4; a* = ; da a* X + ; T () = 6 8 = > 0: Für a* = ist die -Koordinate des lokalen Tiefpunkts am kleinsten: T () = 8. O. a) F() = a + ; F () = a ( + ) = f(): a = 0; a = 0 (D F = = D f ). b) F () = ae ( a = 4 (D F = = D f ). : ) = ae = 4 e 4. a) Ansatz: f() = K( + )( ) = K( 9); f () = K( 9); f (0) = 9K; m t0 = 4,, = = f (0); 9K = ; K = Funktionsterm: f() = ( 9) = +

25 Lösungen zu delta b) P O t O Eckpunkte: V ( a f( a)), I (a f( a)), E (a f(a)), R ( a f(a)) mit f(a) = a + a; f( a) = a a Flächeninhalt: A VIER = A(a) = a f(a) = a ( a + a ) = 4 a4 + a ; A (a) = 6 a + 4a; A (a) = 6a + 4; A (a) = 0: 6 a ( a 9 ) = 0; 0 < a < : a = ; A ( ) = = 48 < 0: A ( ) = = = 7 ist das Maimum von A VIER.. a) Die Graphen sind für k 0 Parabeln mit dem Scheitel S (0 k ); für k = 0 ergibt sich eine zur -Achse parallele Gerade mit der Gleichung =. b) t O 0 t c) P ( k ) f k () = k; f k () = k; t k : = k + t; P X t k : k = k + t; t = ; t k : = k ; daraus folgt, dass t k für jeden Wert von k den gleichen -Achsenabschnitt hat, also durch T (0 ) verläuft. d) -Achsenabschnitt von t k : k = 0; = (k 0) k Flächeninhalt: A(k) = k = 4k ; A( 0,) = 4 ( 0,) = lim A(k) = lim 4k = 0 k k

26 6 Lösungen zu delta 6. A(r) = rπh + 4r π; Rechnung in Maßzahlen (Einheit mm, mm bzw mm ): 4r π + rπh = 0; h = 0 4r π ; rπ Volumen des Zlinders: V Z = r πh; V Z (r) = (0 4r π)r π = r rπ (0 4r π) = r r π; V Z (r) = 6r π; V Z (r) = rπ < 0 wegen r > 0 V Z (r) = 0: 6r π = ; r = 6π ; r = 6π,8; 0 4 6π h π 00 π = π 0,0 6π 6π Gesamtvolumen der Kapsel: V K,8 π 0,0 + 4,8 π 86,: Mit r 0,8 mm und h 0 0,0 mm (die optimale Kapsel ist also eta cm lang und cm breit) ergibt sich ein Kapselvolumen von etwa 86 mm. 7. a) Graph von f ist B und Graph von f ist A, da nur dann f ( ) = 0, f () = 0 und f (0) < 0 ist. Graph von g ist D und Graph von g ist C, da nur dann g () < 0 für < und g () > 0 für > ist. b) Jakob kann ( + + =) 6 verschiedene Kartenpaare ziehen; er zieht also mit der Wahrscheinlichkeit ( 6 ) % ein zusammenpassendes Paar.

Abitur - Grundkurs Mathematik. Sachsen-Anhalt 2002. Gebiet G1 - Analysis

Abitur - Grundkurs Mathematik. Sachsen-Anhalt 2002. Gebiet G1 - Analysis Abitur - Grundkurs Mathematik Sachsen-Anhalt Gebiet G - Analsis Aufgabe.. Der Graph einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades mit einer Funktionsgleichung der Form f a b c d a,b,c,d, R schneidet die

Mehr

K2 MATHEMATIK KLAUSUR. Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max) 28 15 15 2 60 Punkte Notenpunkte

K2 MATHEMATIK KLAUSUR. Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max) 28 15 15 2 60 Punkte Notenpunkte K2 MATHEMATIK KLAUSUR 26.2.24 Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max 28 5 5 2 6 Punkte Notenpunkte PT 2 3 4 5 6 7 8 9 P. (max 2 2 2 4 5 3 3 4 3 Punkte WT Ana A.a b A.c Summe P. (max 7 5

Mehr

Schleswig-Holsteinische Ergänzung der Musteraufgaben für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015

Schleswig-Holsteinische Ergänzung der Musteraufgaben für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015 ische Ergänzung der für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015 Ministerium für ildung und Wissenschaft des Landes Juni 2013 1 für Aufgabenpool 1 Analysis

Mehr

Beispiele zur Kurvendiskussion (Gebrochen rationale Funktionen)

Beispiele zur Kurvendiskussion (Gebrochen rationale Funktionen) Beispiele zur Kurvendiskussion (Gebrochen rationale Funktionen) Beispiel 1 Diskutiere die durch f(x) = x2 3x 4 x + 2 gegebene Funktion f. a) Definitionsbereich: Der Nenner eines Bruches darf nicht gleich

Mehr

Schleswig-Holsteinische Ergänzung der Musteraufgaben für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015

Schleswig-Holsteinische Ergänzung der Musteraufgaben für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015 ische Ergänzung der für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015 Ministerium für ildung und Wissenschaft des Landes Juni 2013 1 Inhaltsverzeichnis Vorbemerkungen

Mehr

Zuammenfassung: Reelle Funktionen

Zuammenfassung: Reelle Funktionen Zuammenfassung: Reelle Funktionen 1 Grundlegendes a) Zahlenmengen IN = {1; 2; 3; 4;...} Natürliche Zahlen IN 0 = IN {0} Natürliche Zahlen mit 0 ZZ = {... ; 2; 1; 0; 1; 2;...} Ganze Zahlen Q = { z z ZZ,

Mehr

Beispielaufgaben zum Pflichtteil im Abitur Mathematik ab 2014

Beispielaufgaben zum Pflichtteil im Abitur Mathematik ab 2014 Beispielaufgaben zum Pflichtteil im Abitur Mathematik ab 04 Schwerpunkt: grundlegendes Anforderungsniveau 0 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Seite Vorbemerkungen... Aufgabenvariationen und Ergänzungen

Mehr

Primzahlen zwischen 50 und 60. Primzahlen zwischen 70 und 80. Primzahlen zwischen 10 und 20. Primzahlen zwischen 40 und 50. den Term 2*x nennt man

Primzahlen zwischen 50 und 60. Primzahlen zwischen 70 und 80. Primzahlen zwischen 10 und 20. Primzahlen zwischen 40 und 50. den Term 2*x nennt man die kleinste Primzahl zwischen 0 und 60 zwischen 0 und 10 zwischen 60 und 70 zwischen 70 und 80 zwischen 80 und 90 zwischen 90 und 100 zwischen 10 und 20 zwischen 20 und 0 zwischen 0 und 40 zwischen 40

Mehr

Repetitionsaufgaben: Lineare Funktionen

Repetitionsaufgaben: Lineare Funktionen Kantonale Fachschaft Mathematik Repetitionsaufgaben: Lineare Funktionen Zusammengestellt von Irina Bayer-Krakvina, KSR Lernziele: - Wissen, was ein Steigungsdreieck einer Geraden ist und wie die Steigungszahl

Mehr

Realschulabschluss Schuljahr 2008/2009. Mathematik

Realschulabschluss Schuljahr 2008/2009. Mathematik Prüfungstag: Mittwoch, 20. Mai 2009 Prüfungsbeginn: 8.00 Uhr Realschulabschluss Schuljahr 2008/2009 Mathematik Hinweise für die Prüfungsteilnehmerinnen und -teilnehmer Die Arbeitszeit beträgt 150 Minuten.

Mehr

ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN

ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN CHRISTIAN HARTFELDT. Zweiter Mittelwertsatz Der Mittelwertsatz Satz VI.3.4) lässt sich verallgemeinern zu Satz.. Seien f, g : [a, b] R auf [a,

Mehr

Abituraufgabe zur Analysis, Hessen 2009, Grundkurs (TR)

Abituraufgabe zur Analysis, Hessen 2009, Grundkurs (TR) Abituraufgabe zur Analysis, Hessen 2009, Grundkurs (TR) Gegeben ist die trigonometrische Funktion f mit f(x) = 2 sin(2x) 1 (vgl. Material 1). 1.) Geben Sie für die Funktion f den Schnittpunkt mit der y

Mehr

Funktionen (linear, quadratisch)

Funktionen (linear, quadratisch) Funktionen (linear, quadratisch) 1. Definitionsbereich Bestimme den Definitionsbereich der Funktion f(x) = 16 x 2 2x + 4 2. Umkehrfunktionen Wie lauten die Umkehrfunktionen der folgenden Funktionen? (a)

Mehr

Aufgaben des MSG-Zirkels 10b Schuljahr 2007/2008

Aufgaben des MSG-Zirkels 10b Schuljahr 2007/2008 Aufgaben des MSG-Zirkels 10b Schuljahr 2007/2008 Alexander Bobenko und Ivan Izmestiev Technische Universität Berlin 1 Hausaufgaben vom 12.09.2007 Zahlentheorie 1 Aufgabe 1.1 Berechne die (quadratischen)

Mehr

Über Kommentare und Ergänzungen zu diesen Lösungsbeispielen freuen wir uns!

Über Kommentare und Ergänzungen zu diesen Lösungsbeispielen freuen wir uns! Aufgaben und Lösungen. Runde 04 Über Kommentare und Ergänzungen zu diesen n freuen wir uns!» KORREKTURKOMMISSION KARL FEGERT» BUNDESWETTBEWERB MATHEMATIK Kortrijker Straße, 577 Bonn Postfach 0 0 0, 5 Bonn

Mehr

Schriftliche Abiturprüfung Leistungskursfach Mathematik

Schriftliche Abiturprüfung Leistungskursfach Mathematik Sächsisches Staatsministerium für Kultus Schuljahr 2000/01 Geltungsbereich: - Allgemein bildendes Gymnasium - Abendgymnasium und Kolleg - Schulfremde Prüfungsteilnehmer Schriftliche Abiturprüfung Leistungskursfach

Mehr

Aufgaben zur hilfsmittelfreien Bearbeitung im Mathematikunterricht

Aufgaben zur hilfsmittelfreien Bearbeitung im Mathematikunterricht Aufgaben zur hilfsmittelfreien Bearbeitung im Mathematikunterricht Gmnasiale Oberstufe im Land Brandenburg UNTERRICHTSENTWICKLUNG?, 8 0 = + = z z T T T T T T 0, 0, 0,7 0,7 0, 0, P(T,T) =?? d 0, 0 = - -

Mehr

Schriftliche Realschulprüfung 1997 Mathematik

Schriftliche Realschulprüfung 1997 Mathematik Mecklenburg - Vorpommern Schriftliche Realschulprüfung 1997 Mathematik E Mecklenburg - Vorpommern Realschulprüfung 1997 Ersatzarbeit A/B Seite 2 Hinweise für Schülerinnen und Schüler: Von den vorliegenden

Mehr

Schriftliche Abiturprüfung. Mathematik. Ergänzungsheft. Hinweise und Beispiele für den hilfsmittelfreien Prüfungsteil

Schriftliche Abiturprüfung. Mathematik. Ergänzungsheft. Hinweise und Beispiele für den hilfsmittelfreien Prüfungsteil Freie und Hansestadt Hamburg Behörde für Schule und Ber ufsbildung Schriftliche Abiturprüfung Mathematik Ergänzungsheft Hinweise und Beispiele für den hilfsmittelfreien Prüfungsteil Impressum Herausgeber:

Mehr

Beispielarbeit. MATHEMATIK (mit CAS)

Beispielarbeit. MATHEMATIK (mit CAS) Abitur 2008 Mathematik (mit CAS) Beispielarbeit Seite 1 Abitur 2008 Mecklenburg-Vorpommern Beispielarbeit MATHEMATIK (mit CAS) Hinweis: Diese Beispielarbeit ist öffentlich und daher nicht als Klausur verwendbar.

Mehr

Thüringer Kultusministerium

Thüringer Kultusministerium Prüfungstag: Mittwoch, den 07. Juni 2000 Prüfungsbeginn: 8.00 Uhr Thüringer Kultusministerium Realschulabschluss Schuljahr 1999/2000 Mathematik Hinweise für die Prüfungsteilnehmerinnen und -teilnehmer

Mehr

Schriftliche Abiturprüfung Mathematik 2013

Schriftliche Abiturprüfung Mathematik 2013 Schriftliche Abiturprüfung Mathematik 0 () Ableitung Anforderungen wie bisher, allerdings ohne Quotientenregel Pflichtteil Durch den Wegfall der Quotientenregel müssen echte gebrochenrationale Funktionen

Mehr

Abitur in Mathematik Operatoren. 2 Operatoren Anforderungen und Arbeitsaufträge in den Abiturprüfungen

Abitur in Mathematik Operatoren. 2 Operatoren Anforderungen und Arbeitsaufträge in den Abiturprüfungen 2 Anforderungen und Arbeitsaufträge in den Abiturprüfungen Durch die in den Abituraufgaben verwendeten Arbeitsaufträge und Handlungsanweisungen oder auch genannt wie z. B. begründen, herleiten oder skizzieren

Mehr

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt - 17 - Die Frage ist hier also: Für welche x R gilt x = x + 1? Das ist eine quadratische Gleichung für x. Es gilt x = x + 1 x x 3 = 0, und man kann quadratische Ergänzung machen:... ( ) ( ) x x + = 3 +

Mehr

2013/2014 Abitur Sachsen - Grundkurs Mathematik

2013/2014 Abitur Sachsen - Grundkurs Mathematik Schriftliche Abiturprüfung Grundkurs Mathematik Inhaltsverzeichnis Vorwort...1 Hinweise für den Teilnehmer...2 Bewertungsmaßstab...2 Prüfungsinhalt...2 Aufgabe A...2 Aufgabe B 1...3 Aufgabe B 2...5 Lösungsvorschläge...7

Mehr

2013/2014 Abitur Sachsen - Leistungskurs Mathematik

2013/2014 Abitur Sachsen - Leistungskurs Mathematik Schriftliche Abiturprüfung Leistungskurs Mathematik Inhaltsverzeichnis Vorwort...1 Hinweise für den Teilnehmer...2 Bewertungsmaßstab...2 Prüfungsinhalt...2 Aufgabe A...2 Aufgabe B 1...3 Aufgabe B 2...5

Mehr

Zwei Aufgaben, die auf windschiefe Regelflächen führen,

Zwei Aufgaben, die auf windschiefe Regelflächen führen, Zwei Aufgaben, die auf windschiefe Regelflächen führen, von À. KIEFER (Zürich). (Als Manuskript eingegangen am 25. Januar 1926.) I. Gesucht im Raum der Ort des Punktes, von dem aus die Zentralprojektionen

Mehr

Lösungen zur Prüfung 2009: Pflichtbereich

Lösungen zur Prüfung 2009: Pflichtbereich 009 Pflichtbereich Lösungen zur Prüfung 009: Pflichtbereich ufgabe P1: erechnung des lächeninhalts G : ür den lächeninhalt des Dreiecks G gilt (siehe igur 1): G = Man muss also zuerst die Länge G und die

Mehr

Lösung zur Übung 3. Aufgabe 9)

Lösung zur Übung 3. Aufgabe 9) Lösung zur Übung 3 Aufgabe 9) Lissajous-Figuren sind Graphen in einem kartesischen Koordinatensystem, bei denen auf der Abszisse und auf der Ordinate jeweils Funktionswerte von z.b. Sinusfunktionen aufgetragen

Mehr

11. Klasse TOP 10 Mathematik 11 Gesamtes Grundwissen mit Übungen G

11. Klasse TOP 10 Mathematik 11 Gesamtes Grundwissen mit Übungen G www.strobl-f.de/grundg.pdf. Klasse TOP 0 Mathematik Gesamtes Grundwissen mit Übungen G Grundwissen Mathematik. Klasse: Die 0 wichtigsten Themen auf jeweils einer Seite! Zum Wiederholen kann man die Übungen

Mehr

1 Kurvendiskussion /40

1 Kurvendiskussion /40 009 Herbst, (Mthemtik) Aufgbenvorschlg B Kurvendiskussion /0 Gegeben ist eine Funktion f mit der Funktionsgleichung: f ( ) 0 6 = ; mit.. Untersuchen Sie ds Verhlten der Funktionswerte von f im Unendlichen.

Mehr

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung. Mathematik. Probeklausur März 2014. Teil-1-Aufgaben

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung. Mathematik. Probeklausur März 2014. Teil-1-Aufgaben Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik Probeklausur März 2014 Teil-1-Aufgaben Beurteilung Jede Aufgabe in Teil 1 wird mit 0 oder 1 Punkt bewertet, jede Teilaufgabe in

Mehr

Darstellungsformen einer Funktion

Darstellungsformen einer Funktion http://www.flickr.com/photos/sigfrid/348144517/ Darstellungsformen einer Funktion 9 Analytische Darstellung: Eplizite Darstellung Funktionen werden nach Möglichkeit eplizit dargestellt, das heißt, die

Mehr

Beispiel-Abiturprüfung

Beispiel-Abiturprüfung Mthemtik BeispielAbiturprüfung Prüfungsteile A und B Bewertungsschlüssel und Lösungshinweise (nicht für den Prüfling bestimmt) Die Bewertung der erbrchten Prüfungsleistungen ht sich für jede Aufgbe nch

Mehr

b) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem das Medikament am stärksten abgebaut wird. 10 P

b) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem das Medikament am stärksten abgebaut wird. 10 P Abitur 008 I. Medikation ANALYSIS Nach Einnahme eines Medikamentes kann man dessen Konzentration im Blut eines Patienten messen. Für die ersten 6 Stunden beschreibt die Funktion f mit der Gleichung f()

Mehr

Tangentengleichung. Wie lautet die Geradengleichung für die Tangente, y T =? Antwort:

Tangentengleichung. Wie lautet die Geradengleichung für die Tangente, y T =? Antwort: Tangentengleichung Wie Sie wissen, gibt die erste Ableitung einer Funktion deren Steigung an. Betrachtet man eine fest vorgegebene Stelle, gibt f ( ) also die Steigung der Kurve und somit auch die Steigung

Mehr

1. Terme und Gleichungen mit Klammern Leitidee L4: Funktionaler Zusammenhang: Terme und Gleichungen 1.1 Terme mit mehreren Variablen

1. Terme und Gleichungen mit Klammern Leitidee L4: Funktionaler Zusammenhang: Terme und Gleichungen 1.1 Terme mit mehreren Variablen Stoffverteilungsplan EdM 8RhPf Abfolge in EdM 8 Bleib fit im Umgang mit rationalen Zahlen Kompetenzen und Inhalte Umgang mit rationalen Zahlenim Zusammenhang 1. Terme und Gleichungen mit Klammern Leitidee

Mehr

Abiturprüfung Grundkurs 1999/2000

Abiturprüfung Grundkurs 1999/2000 Abiturprüfung Grundkurs 999/000 Gymnasium Mecklenburg-Vorpommern Sachsen Sachsen-Anhalt Thüringen p paetec Gesellschaft für Bildung und Technik mbh Berlin Autoren für die einzelnen Bundesländer: Margit

Mehr

Mädchen Jungen Smartphone 42 52 Computer 77 87 Fernsehgerät 54 65 feste Spielkonsole 37 62

Mädchen Jungen Smartphone 42 52 Computer 77 87 Fernsehgerät 54 65 feste Spielkonsole 37 62 Unabhängigkeit ================================================================== 1. Im Rahmen der sogenannten JIM-Studie wurde in Deutschland im Jahr 2012 der Umgang von Jugendlichen im Alter von 12 bis

Mehr

Abituraufgabe zur Stochastik, Hessen 2009, Grundkurs (TR)

Abituraufgabe zur Stochastik, Hessen 2009, Grundkurs (TR) Abituraufgabe zur Stochastik, Hessen 2009, Grundkurs (TR) Eine Firma stellt USB-Sticks her. Sie werden in der Fabrik ungeprüft in Packungen zu je 20 Stück verpackt und an Händler ausgeliefert. 1 Ein Händler

Mehr

Y b 2 - a 2 = p 2 - q 2 (*)

Y b 2 - a 2 = p 2 - q 2 (*) Um den Flächeninhalt eines Dreieckes zu bestimmen, das keinen rechten Winkel besitzt, muss man bekanntlich die Längen einer Seite mit der dazugehörigen Höhe kennen Wir setzen voraus, dass uns alle 3 Seitenlängen

Mehr

Leseprobe. Monika Noack, Alexander Unger, Robert Geretschläger, Hansjürg Stocker. Mathe mit dem Känguru 3. Die schönsten Aufgaben von 2009 bis 2011

Leseprobe. Monika Noack, Alexander Unger, Robert Geretschläger, Hansjürg Stocker. Mathe mit dem Känguru 3. Die schönsten Aufgaben von 2009 bis 2011 Leseprobe Monika Noack, lexander Unger, Robert Geretschläger, Hansjürg Stocker Mathe mit dem Känguru 3 Die schönsten ufgaben von 009 bis 011 ISN: 978-3-446-480-1 Weitere Informationen oder estellungen

Mehr

Vorbereitung auf das Abitur: Sinusfunktionen

Vorbereitung auf das Abitur: Sinusfunktionen Niedersachsen 11./1. Schuljahr Grundlegendes und erhöhtes Niveau Herausgegeben von Heinz Griesel, Andreas Gundlach, Helmut Postel, Friedrich Suhr Vorbereitung auf das Abitur: Sinusfunktionen Vorbereitung

Mehr

10. Klasse TOP 10 Mathematik 10 Gesamtes Grundwissen mit Übungen G

10. Klasse TOP 10 Mathematik 10 Gesamtes Grundwissen mit Übungen G www.strobl-f.de/grund0g.pdf 0. Klasse TOP 0 Mathematik 0 Gesamtes Grundwissen mit Übungen G Grundwissen Mathematik 0. Klasse: Die 0 wichtigsten Themen auf jeweils einer Seite! Zum Wiederholen kann man

Mehr

Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie

Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie Der binäre Rang, der symplektische Graph, die Spektralzerlegung und rationale Funktionen Vortrag am 24.01.2012 Heike Farkas 0410052 Inhaltsverzeichnis

Mehr

Bei Konstruktionen dürfen nur die folgenden Schritte durchgeführt werden : Beliebigen Punkt auf einer Geraden, Strecke oder Kreislinie zeichnen.

Bei Konstruktionen dürfen nur die folgenden Schritte durchgeführt werden : Beliebigen Punkt auf einer Geraden, Strecke oder Kreislinie zeichnen. Geometrie I. Zeichnen und Konstruieren ================================================================== 1.1 Der Unterschied zwischen Zeichnen und Konstruieren Bei der Konstruktion einer geometrischen

Mehr

Teil II. Nichtlineare Optimierung

Teil II. Nichtlineare Optimierung Teil II Nichtlineare Optimierung 60 Kapitel 1 Einleitung In diesem Abschnitt wird die Optimierung von Funktionen min {f(x)} x Ω betrachtet, wobei Ω R n eine abgeschlossene Menge und f : Ω R eine gegebene

Mehr

Abschlussprüfung 2010 an zwei-, drei- und vierstufigen Wirtschaftsschulen

Abschlussprüfung 2010 an zwei-, drei- und vierstufigen Wirtschaftsschulen Abschlussprüfung 2010 an zwei-, drei- und vierstufigen Wirtschaftsschulen Prüfungsfach: Mathematik Prüfungstag: Donnerstag, 1. Juli 2010 Arbeitszeit: 180 Minuten Zugelassene Hilfsmittel: Elektronischer,

Mehr

Mathematik 8 westermann Stoffverteilungsplan für Klasse 8

Mathematik 8 westermann Stoffverteilungsplan für Klasse 8 Mathematik 8 westermann Stoffverteilungsplan für Klasse 8 Inhalte Mathematik 8 (978-3-14-121838-1) Seite Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen 1 Terme Faustregel zur Körperlänge 8 Unterwegs

Mehr

Erfolg im Mathe-Abi 2015

Erfolg im Mathe-Abi 2015 Gruber I Neumann Erfolg im Mathe-Abi 2015 Übungsbuch Hilfsmittelfreier Teil mit Tipps und Lösungen Inhaltsverzeichnis Vorwort... 5 Der hilfsmittelfreie Teil der Abiturprüfung... 7 Die Anforderungsbereiche

Mehr

Wahlfach Mathematik: Funktionen

Wahlfach Mathematik: Funktionen Wahlfach Mathematik: Funktionen In der Mathematik ist eine Funktion oder Abbildung eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge (Funktionsargument, unabhängige Variable, x-wert)

Mehr

Vergleichsarbeit Mathematik

Vergleichsarbeit Mathematik Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Sport Vergleichsarbeit Mathematik 3. Mai 005 Arbeitsbeginn: 0.00 Uhr Bearbeitungszeit: 0 Minuten Zugelassene Hilfsmittel: - beiliegende Formelübersicht (eine Doppelseite)

Mehr

Klaus-Groth-Schule - Neumünster Fachcurriculum Mathematik

Klaus-Groth-Schule - Neumünster Fachcurriculum Mathematik Jahrgang 10 Funktionen Funktionsbegriff - Definition - vielfältige Anwendungen - Umkehrbarkeit (intuitiv, Anwendungen) ganzrationale Funktionen Modellierung - Ablesen der Werte - Ungefähre Bestimmung der

Mehr

Anwengungen geometrischer Abbildungen Kongruenz- und Ähnlichkeitsabbildung

Anwengungen geometrischer Abbildungen Kongruenz- und Ähnlichkeitsabbildung Anwengungen geometrischer Abbildungen Kongruenz- und Ähnlichkeitsabbildung Amina Duganhodzic Proseminar: Mathematisches Problemlösen Unter der Leitung von Privat Dozentin Dr. Natalia Grinberg 26. Juni

Mehr

Kernstoffliste einschl. Beispielaufgaben

Kernstoffliste einschl. Beispielaufgaben Kernstoffliste einschl. Beispielaufgaben 3 Wochenstunden ARGE HAK Bregenz Stand 008/009 III. Jg. HAK MATHEMATIK UND ANGEWANDTE MATHEMATIK KERNSTOFFÜBERSICHT: (MINDESTLEHRSTOFF; IN DIESEN BEREICHEN MUSS

Mehr

Mathematik Teil 1 (ohne Hilfsmittel) Aufgabe 1

Mathematik Teil 1 (ohne Hilfsmittel) Aufgabe 1 Teil 1 (ohne Hilfsmittel) Aufgabe 1 1 Analysis 1.1 Erläutern Sie anhand einer Skizze, ob das Integral π sin(x)dx π 2 größer, kleiner oder gleich Null ist. 1.2 Für eine Funktion f gilt: 3 (1) f (x) = 0

Mehr

Übungsaufgaben zur Vorbereitung auf die standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS)

Übungsaufgaben zur Vorbereitung auf die standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS) Übungsaufgaben zur Vorbereitung auf die standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS) Inhalt Teil-1-Übungsaufgaben Inhaltsbereich Algebra und Geometrie (AG) 8 (1) Ganze

Mehr

Beispiel 11.2. Wenn p ein Polynom vom Grad größer gleich 1 ist, ist q : C Ĉ definiert durch q (z) =

Beispiel 11.2. Wenn p ein Polynom vom Grad größer gleich 1 ist, ist q : C Ĉ definiert durch q (z) = Funktionentheorie, Woche Funktionen und Polstellen. Meromorphe Funktionen Definition.. Sei U C offen und sei f : U gilt, nennt man f meromorph auf U: Ĉ eine Funktion. Wenn folgendes. P := f hat keine Häufungspunkte;.

Mehr

11.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen

11.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen .3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen Definition.) komplexe Folgen: z n = x n + j. y n mit zwei reellen Folgen x n und y n.) Konvergenz: Eine komplexe Folge z n = x n + j. y n heißt

Mehr

Behörde für Bildung und Sport Abitur 2008 Lehrermaterialien zum Grundkurs Mathematik

Behörde für Bildung und Sport Abitur 2008 Lehrermaterialien zum Grundkurs Mathematik Abitur 008 LA / AG II. Abenteuerspielplatz Der Gemeinderat beschlie t, einen eher langweiligen Spielplatz zu einem Abenteuerspielplatz umzugestalten. Das Motto lautet Auf hoher See. Daher soll ein Piratenschiff

Mehr

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1 Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.

Mehr

Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2009/10

Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2009/10 TU München Prof. Dr. P. Vogl, Dr. S. Schlicht Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2009/10 Vorlesung 1, Montag vormittag Vektoralgebra Ein Vektor lässt sich geometrisch als eine gerichtete Strecke darstellen,

Mehr

Vektorgeometrie. mathenachhilfe.ch. Version: 28. Dezember 2007 (Bitte nur für den Eigengebrauch verwenden) 1. Mathematische Operationen für Vektoren

Vektorgeometrie. mathenachhilfe.ch. Version: 28. Dezember 2007 (Bitte nur für den Eigengebrauch verwenden) 1. Mathematische Operationen für Vektoren Vektorgeometrie Version: 28. Dezemer 2007 Bitte nur für den Eigengerauch verwenden) mathenachhilfe.ch. Mathematische Operationen für Vektoren Addition + a + 3 = a + + + 3 + Sutraktion a 3 = a 3 Skalare

Mehr

iger Wahrscheinlichkeit die Anzahl der defekten Glühbirnen liegt! (Lösung: [36,85; 63,15])

iger Wahrscheinlichkeit die Anzahl der defekten Glühbirnen liegt! (Lösung: [36,85; 63,15]) Übungsbeispiele 1 1) Die Halbwertszeit von Radium beträgt 1.620 Jahre. Stelle die Zerfallsfunktion auf und berechne, wie viel Radium nach 800 Jahren von ursprünglich 10 g übrig ist. (Lösung: = -0,000427869;

Mehr

Ganzrationale Funktionen Veränderungen mit Funktionen beschreiben

Ganzrationale Funktionen Veränderungen mit Funktionen beschreiben Unterrichtsentwicklung O Ganzrationale Funktionen Veränderungen mit Funktionen beschreiben Didaktisch-methodische Hinweise zur Unterrichtsgestaltung in der Jahrgangsstufe 10 im Fach Mathematik Bildungsregion

Mehr

Fachlehrplan Mathematik - Berufsmaturität Natur, Landschaft und Lebensmittel

Fachlehrplan Mathematik - Berufsmaturität Natur, Landschaft und Lebensmittel Fachlehrplan Mathematik - Berufsmaturität Natur, Landschaft und Lebensmittel 1. Allgemeine Bildungsziele Mathematik im Grundlagenbereich vermittelt fachspezifische und fachübergreifende Kenntnisse, Fähigkeiten

Mehr

Schriftliche Abschlußprüfung Mathematik

Schriftliche Abschlußprüfung Mathematik Sächsisches Staatsministerium für Kultus Schuljahr 1996/97 Geltungsbereich: für Klassen 10 an - Mittelschulen - Förderschulen - Abendmittelschulen Schriftliche Abschlußprüfung Mathematik Realschulabschluß

Mehr

Inhaltsverzeichnis 1 ALLGEMEINE EINSTELLUNGEN DES TASCHENRECHNERS 2 2 RECHNEN 2 3 GLEICHUNGEN LÖSEN 4 4 FUNKTIONSGRAPHEN DARSTELLEN 5

Inhaltsverzeichnis 1 ALLGEMEINE EINSTELLUNGEN DES TASCHENRECHNERS 2 2 RECHNEN 2 3 GLEICHUNGEN LÖSEN 4 4 FUNKTIONSGRAPHEN DARSTELLEN 5 Grafiktaschenrechner CASIO fx-9860gii Seite 1 von 13 Mathematik EF Inhaltsverzeichnis 1 ALLGEMEINE EINSTELLUNGEN DES TASCHENRECHNERS 2 2 RECHNEN 2 3 GLEICHUNGEN LÖSEN 4 4 FUNKTIONSGRAPHEN DARSTELLEN 5

Mehr

Musteraufgaben für das Fach Mathematik

Musteraufgaben für das Fach Mathematik Niedersächsisches Kultusministerium Referat 33 / Logistikstelle für zentrale Arbeiten April 01 Musteraufgaben für das Fach Mathematik zur Vorbereitung auf die länderübergreifende Abiturprüfung 014 Hinweise

Mehr

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis Das komplette Material finden Sie hier: Download bei School-Scout.de

Mehr

Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur am 08.06.2004, 15.45 17.45.

Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur am 08.06.2004, 15.45 17.45. Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur am 8.6.4, 5.45 7.45. Bitte unbedingt beachten: a) Gewertet werden alle acht gestellten Aufgaben. b) Lösungswege und Begründungen sind anzugeben. Die

Mehr

A(3/1/2) B(6/2/2) C(5/9/4) D(1/4/3)

A(3/1/2) B(6/2/2) C(5/9/4) D(1/4/3) Ein Raumviereck ABCD kann eben sein oder aus zwei gegeneinander geneigten Dreiecken bestehen. In einem ebenen Viereck schneiden sich die Diagonalen. Überprüfen Sie, ob die gegebenen Vierecke eben sind.

Mehr

Zugelassenes Hilfsmittel: Ein nicht programmierbarer Taschenrechner.

Zugelassenes Hilfsmittel: Ein nicht programmierbarer Taschenrechner. KANTON AARGAU Abschlussprüfung der Bezirksschule Aargau 2013 Mathematik 1. Serie Bestimmungen: Die Prüfungsdauer beträgt 120 Minuten. Zugelassenes Hilfsmittel: Ein nicht programmierbarer Taschenrechner.

Mehr

Beispielaufgaben. für einen hilfsmittelfreien Prüfungsteil in der. schriftlichen Abiturprüfung Mathematik. grundlegendes Niveau

Beispielaufgaben. für einen hilfsmittelfreien Prüfungsteil in der. schriftlichen Abiturprüfung Mathematik. grundlegendes Niveau Beispielaufgaben für einen hilfsmittelfreien Prüfungsteil in der schriftlichen Abiturprüfung Mathematik grundlegendes Niveau Freie und Hansestadt Hamburg Behörde für Schule und Berufsbildung Impressum

Mehr

Computer im mathbuch Detaillierte Auflistung der Verwendungsmöglichkeit eines Computers im Mathematikunterricht mit dem mathbu.

Computer im mathbuch Detaillierte Auflistung der Verwendungsmöglichkeit eines Computers im Mathematikunterricht mit dem mathbu. Computer im mathbuch Detaillierte Auflistung der Verwendungsmöglich eines Computers im Mathematikunterricht mit dem mathbu.ch 7 9 / 9+ Sj LU Aufgabe(n) Adressat Lernphase Mathematischer Inhalt Beschreibung

Mehr

LM1. INFINITESIMALRECHNUNG

LM1. INFINITESIMALRECHNUNG Seite (von 11) LM1. INFINITESIMALRECHNUNG BE I. 1. Gegeben ist die Funktion wird mit G f bezeichnet. ln(x ) f : x a, D f = IR \{0}. Der Graph von f x 6 a) Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten von G f.

Mehr

Analytische Geometrie / Vektorgeometrie

Analytische Geometrie / Vektorgeometrie Analytische Geometrie / Vektorgeometrie. Bedingung Unter welchen Voraussetzungen gilt:. s + t + u = s + t + u. Gleiche Abstände Welcher Punkt der yz-ebene mit der y-koordinate hat vom Ursprung (= Nullpunkt)

Mehr

Zentralabitur 2006 Mathematik Schülermaterial Rechnertyp: GTR Grundkurs Aufgabe 1A Gymnasium Gesamtschule

Zentralabitur 2006 Mathematik Schülermaterial Rechnertyp: GTR Grundkurs Aufgabe 1A Gymnasium Gesamtschule Zentralabitur 006 Mathematik Schülermaterial Rechnertyp: GTR Grundkurs Aufgabe 1A Gymnasium Aufgabe 1A Das Pharmaunternehmen Medic bietet ein pflanzliches Präparat mit konzentrationssteigernder Wirkung

Mehr

b) Berechnen Sie den Höhenunterschied, den die jeweilige Bahn auf einer schrägen Strecke von 2,5 km (S ) zurücklegt! (Der Rechenweg ist nachzuweisen!

b) Berechnen Sie den Höhenunterschied, den die jeweilige Bahn auf einer schrägen Strecke von 2,5 km (S ) zurücklegt! (Der Rechenweg ist nachzuweisen! Zwischenprüfung Seite 1 Aufgabe 1 Steigungsverhältnisse (8 Punkte) Die nachfolgend genannten Bahnen überwinden eine Steigung von: a) Eisenbahn 25 b) Zahnradbahn 25% c) Drahtseilbahn 78% d) Seilbahn 105%

Mehr

Wie löst man Mathematikaufgaben?

Wie löst man Mathematikaufgaben? Wie löst man Mathematikaufgaben? Manfred Dobrowolski Universität Würzburg Wie löst man Mathematikaufgaben? 1 Das Schubfachprinzip 2 Das Invarianzprinzip 3 Das Extremalprinzip Das Schubfachprinzip Verteilt

Mehr

Kapitel 15: Differentialgleichungen

Kapitel 15: Differentialgleichungen FernUNI Hagen WS 00/03 Kapitel 15: Differentialgleichungen Differentialgleichungen = Gleichungen die Beziehungen zwischen einer Funktion und mindestens einer ihrer Ableitungen herstellen. Kommen bei vielen

Mehr

Grundwissen Mathematik 10. Klasse. Eigenschaften Besonderheiten - Beispiele

Grundwissen Mathematik 10. Klasse. Eigenschaften Besonderheiten - Beispiele Themen Eigenschften Besonderheiten - Beispiele Kreis beknnt us Klsse 8: U Kreis = 2 π r A Kreis = r 2 π Kreissektor Bogenlänge b Flächeninhlt Kreissektor: Die Länge b des Kreisbogens und der Flächeninhlt

Mehr

3. RUNDE 7.5.2003. Beachte: Die Ergebnisse können als Produkt, Summe oder Potenz angegeben werden!

3. RUNDE 7.5.2003. Beachte: Die Ergebnisse können als Produkt, Summe oder Potenz angegeben werden! MTHEMTIK-WETTBEWERB 2002/2003 DES LNDES HESSEN Hinweis: Von jeder Schülerin / jedem Schüler werden vier ufgaben gewertet. Werden mehr als vier ufgaben bearbeitet, so werden die mit der besten Punktzahl

Mehr

Kompetenzen. Umfang eines Kreises Flächeninhalt eines Kreises Mathematische Reise: Die Kreiszahl. bearbeiten Sachaufgaben

Kompetenzen. Umfang eines Kreises Flächeninhalt eines Kreises Mathematische Reise: Die Kreiszahl. bearbeiten Sachaufgaben 1. Wiederholung aus Jg 8 und Vorbereitung auf den Einstellungstest 3 Wochen Seiten 206-228 2. Potenzen und Wurzeln Seiten 32-45 3. Kreisumfang und Kreisfläche Brüche und Dezimalzahlen Brüche und Dezimalzahlen:

Mehr

Teil A Arbeitsblatt. Teil B Pflichtaufgaben

Teil A Arbeitsblatt. Teil B Pflichtaufgaben Sächsisches Staatsministerium für Kultus und Sport Schuljahr 2009/2010 Geltungsbereich: für Klassenstufe 9 an - Mittelschulen - Förderschulen - Abendmittelschulen Hauptschulabschluss und qualifizierender

Mehr

Name: Klasse: Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung AHS. 11. Mai 2015. Mathematik. Teil-1-Aufgaben. öffentliches Dokument

Name: Klasse: Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung AHS. 11. Mai 2015. Mathematik. Teil-1-Aufgaben. öffentliches Dokument Name: Klasse: Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung AHS 11. Mai 2015 Mathematik Teil-1-Aufgaben Hinweise zur Aufgabenbearbeitung Sehr geehrte Kandidatin! Sehr geehrter Kandidat!

Mehr

GTR bis Klasse 11 (in G9) (Stand 25.07.2009)

GTR bis Klasse 11 (in G9) (Stand 25.07.2009) GTR bis Klasse 11 (in G9) (Stand 25.07.2009) Länge einer Strecke: z.b. für A(1,2 4), B(3,4 5,5) ; über den Satz des Pythagoras: 2nd ( ( 3,4 1,2) 2 + (5,5 4) 2 ) ENTER 2,66 wenn man nicht über den Satz

Mehr

Neues Thema: Inversion am Kreis (Kreisspiegelung)

Neues Thema: Inversion am Kreis (Kreisspiegelung) Neues Thema: Inversion am Kreis (Kreisspiegelung) Wir arbeiten in ( R 2,, standard ). Def. Betrachte einen Kreis um O vom Radius r > 0. Inversion (bzgl. des Kreises) ist eine Abbildung I O,r : R 2 \ {O}

Mehr

Fachlehrplan Mathematik - Berufsmaturität Technik, Architektur, Life Sciences

Fachlehrplan Mathematik - Berufsmaturität Technik, Architektur, Life Sciences Fachlehrplan Mathematik - Berufsmaturität Technik, Architektur, Life Sciences 1. Allgemeine Bildungsziele Mathematik im Grundlagenbereich vermittelt fachspezifische und fachübergreifende Kenntnisse, Fähigkeiten

Mehr

Stunden Inhalte Mathematik 9 978-3-14-121839-8 Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen 1 Zentrische Streckung

Stunden Inhalte Mathematik 9 978-3-14-121839-8 Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen 1 Zentrische Streckung 1 Zentrische Streckung Bauzeichnungen 8 vergrößern und verkleinern einfache nutzen Geometriesoftware zum Erkunden Maßstäbliches Vergrößern und Verkleinern 10 Figuren maßstabsgetreu inner- und außer- Ähnliche

Mehr

4. QUADRATISCHE GLEICHUNGEN, GLEICHUNGEN HÖHEREN GRADES

4. QUADRATISCHE GLEICHUNGEN, GLEICHUNGEN HÖHEREN GRADES 4. QUADRATISCHE GLEICHUNGEN, GLEICHUNGEN HÖHEREN GRADES 4.1. Quadratische Gleichungen (a) Definition Beispiel: Das Produkt zweier aufeinanderfolgender gerader Zahlen beträgt 808. Wie lauten die beiden

Mehr

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 S n 1250 1244, 085 1214, 075 1220, 136 1226, 167 Nach einem Jahr beträgt der Schuldenstand ca. 1177,09.

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 S n 1250 1244, 085 1214, 075 1220, 136 1226, 167 Nach einem Jahr beträgt der Schuldenstand ca. 1177,09. Gymnasium Leichlingen 10a M Lö 2007/08.2 2/2 Aufgaben/Lösungen der Klassenarbeit Nr. 4 von Fr., 2008-04-25 2 45 Aufgabe 1: Die A-Bank bietet Kredite zu einem Zinssatz von 6% pro Jahr an. Ein privater Keditvermittler

Mehr

Nachhilfe-Kurs Mathematik Klasse 13 Freie Waldorfschule Mitte

Nachhilfe-Kurs Mathematik Klasse 13 Freie Waldorfschule Mitte Nachhilfe-Kurs Mathematik Klasse 13 Freie Waldorfschule Mitte März 2008 Zusammenfassung IB 1. Lagebeziehungen zwischen geometrischen Objekten 1.1 Punkt-Gerade Ein Punkt kann entweder auf einer gegebenen

Mehr

Eingangstest lineare Gleichungssysteme

Eingangstest lineare Gleichungssysteme Eingangstest lineare Gleichungsssteme Lineare Gleichung mit einer Variablen Löse die Gleichung. 7 + = 0 ( + 9) = 5 8 c) ( 7) = ( + 8) = = = 5 Stelle zu den Sachproblemen geeignete Gleichungen auf und löse

Mehr

Musterzwischenprüfung Seite 1

Musterzwischenprüfung Seite 1 Musterzwischenprüfung Seite 1 Aufgabe 1 Steigungsverhältnisse (8 Punkte) Die nachfolgend genannten Bahnen überwinden eine Steigung von: a) Eisenbahn 25 b) Zahnradbahn 25% c) Drahtseilbahn 78% d) Seilbahn

Mehr

Informationen zum Aufnahmetest Mathematik

Informationen zum Aufnahmetest Mathematik Erwachsenenschule Bremen Abendgymnasium und Kolleg Fachvertretung Mathematik Informationen zum Aufnahmetest Mathematik Der Aufnahmetest Mathematik ist eine schriftliche Prüfung von 60 Minuten Dauer. Alle

Mehr

w a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba a = 2

w a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba a = 2 1 2 Notation für Wörter Grundlagen der Theoretischen Informatik Till Mossakowski Fakultät für Informatik Otto-von-Guericke Universität Magdeburg w a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba

Mehr

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Aufgabe 35: Thema: Singulärwertzerlegung und assoziierte Unterräume Sei A eine m n Matrix mit Rang r und A = UDV T ihre Singulärwertzerlegung.

Mehr

Die Charttechnik versucht den zukünftigen Verlauf von zum Beispiel Aktienkursen vorherzusagen.

Die Charttechnik versucht den zukünftigen Verlauf von zum Beispiel Aktienkursen vorherzusagen. KOSTENLOSE AKTIENKURS-ANALYSE!!! Wir bieten auf http://www.kukchart.de/ eine online Aktienkursanalyse nach der Point & Figure - Methode sowie verschiedene Indikatoren an. Die von uns errechnete, durchschnittliche

Mehr

1.Schularbeit aus MATHEMATIK: Klasse 7D 24.Oktober 1997. 1.) Eine in D definierte Funktion y=f(x) heißt linksgekrümmt, wenn gilt: <

1.Schularbeit aus MATHEMATIK: Klasse 7D 24.Oktober 1997. 1.) Eine in D definierte Funktion y=f(x) heißt linksgekrümmt, wenn gilt: < 1.Schularbeit aus MATHEMATIK: Klasse 7D 24.Oktober 1997 1.) Eine in D definierte Funktion y=f(x) heißt linksgekrümmt, wenn gilt: x1 + x2 f( x1) + f( x2) x1, x2 D, x1 < x2: f < 2 2 Zeige, daß f(x) = x²

Mehr