Lösungen zu delta 11. Fit für die Oberstufe Lösungen zu den Seiten 6 und 7

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1 Lösungen zu delta Fit für die Oberstufe Lösungen zu den Seiten 6 und 7. a) 4 = ; 9 = 4; = 6 X G; L = { 6} b) ( 4) + 8 = ( + 4); = 4; + 0 = ; 4 = ; = =, X G; L = {,} 4 c) + 7 = 0; + 7 = 0; = 7 G; L = { } + d) + = 0; + = 0; = X G; L = { } e) ( ) (4 + ) = 0; = 0; 4 7 = 0; 4 = 7; = 0, X G; L = { 0,} f) + = 0; = = ; = X G; = X G; L = { ; } g) 6 + = 0; = 6 ± 6 8 = 6 ± 7 = ± 7 ; 4 4 = ( + 7 ) X G; = ( 7 ) X G; L = { ( + 7 ); ( 7 ) } h) (7 ) 7(7 ) = 7 ; 8(7 ) (7 ) = 0; 7(7 ) = 0; = 7 X G; L = {7} i) 6 = 0; ( 6)( + ) = 0; = 6 X G; = X G; L = { ; 6} j) 6 = 0; = 6; = 6 G; = 6 X G; L = { 6 } k) + = 0; + = 0; L = { } l) = 0; = 0; ( + + 4) = 0; = 0 G; = 0; D = 6 = < 0; L = { } m) + = 0; ( + ) = 0; ( )( ) = 0; = 0 G; = X G; = X G; L = { ; } n) ( 9)( ) = 0; ( )( + )( )( + ) = 0; = X G; = X G; = X G; 4 = X G; L = { ; ; ; }

2 Lösungen zu delta o) 9 = 0; = 0; = ; = X G; = G; L = { } p) a = 0; a = 0; = a > 0 wegen a X + ; = a X G; = a X G; L = { a ; a } q) (log 0 ) = ; log 0 = ± ; = 0 X G; = 0 X G; L = { 0 ; 0 } r) + 4 = 0; + 4 = 0; + 4 = 0; ( 4)( ) = 0; 4 = 0; = 4 = ; = X G; = 0; = = 0 ; = 0 X G; L = {0 ; } s) sin = ; sin = ; X ]0 ; π[: = π 6 X 6; = π 6 X G; L = { π 6 ; π 6 } t) cos = ; X ] π ; π [: = π ; = π X G; L = π u) = 8 ; = 4 ; = 4; 4 = 0; ( )( + ) = 0; = X G; = X G; L = { ; } v) ( + )( ) = 0; ( + )( 4)( + ) = 0; = X G; = 4 X G; = X G; L = { ; ; 4}. a) I = + eingesetzt in b) I + = 0 II 4 + = ergibt II + = 4 + ( + ) = ; I II = ; = eingesetzt in I: = ; = 0; = ; = ; = 4 eingesetzt in I ergibt = 4 + = 6; L = {( 4 ; 6)} L = {( ; )} c) I = 0 d) I + = II + = 0 II = + 8 I + II 6 = 0; = 6; = II + = 0; : eingesetzt in II ergibt + = (identisch mit I) + = 0; Das Gleichungssstem hat unendlich viele Lösungen: = ; L = {( ; )} L = {( ; ) = + }

3 Lösungen zu delta. a) 4 > 0; > 4; > 7; L = ]7 ; [ b) 0, 4; 0, ; 6; L = [ 6 ; [ c) ( + ) < 0. Fall: > 0 + < 0 > 0 < : nicht möglich. Fall: < 0 + > 0 < 0 > < < 0; L = ] ; 0[ d) < ; 6 < 7; L = ]6 ; 7] e) ( ) 0 Da stets 0 ist, muss entweder = 0 sein oder 0; ; L = {0} t [ ; + [ f) ( )( ) < 0 Vorzeichen der Faktoren bei negativem Produktwert: + + d. h. () > 0 > < ; < < + + d. h. () > 0 < > ; nicht möglich + + d. h. () < 0 > > ; nicht möglich d. h. (4) < 0 < < ; < 0 L = t ] ; [ g) ( ) > 0 Wegen > 0 für jeden Wert von X muss > 0, also > sein: L = ] ; [ h) + > 0 gilt für jeden Wert von X : L = D f ma achsensmmetrisch zur -Achse punktsmmetrisch zum Ursprung a) b) \{ ; } + c) 0 d) e) f) zu e) O

4 4 Lösungen zu delta zu f) 4 O a) f() + f() b) f() 0 + f() 0 + c) f() 0 + f() 0 d) f() 4 f() 4 e) f() 0 f() 0 f) keine Aussage möglich 6. Allgemein: = m + t mit m = B A B A bzw. A A a) =, b) + 4 = + 4 = ; + 4 = ( ); = 7 ; = 0 c) = d) = 4 e) = f) = = 6 = ; = ; = = B A B ( A A B ) 7. a) P a = ( 6 ) 6,% b) P b = a) c) P c = ( ) 4 = e) P e = 6 ( 6 ) 6 = ( Start p p m w 0, 0,4 0,0 0,80 FB FB FB FB 64,6% d) P = d ( 6 ) 6 66, % 6 ) = , % f) P = f ( 6 ) ( Messebesucher: m männlich w weiblich FB: Fachbesucher(in) FB: kein(e) Fachbesucher(in) 6 = 0 6,% 6 ) = ( 6 ) ( 0,p + 0,0( p) = 0,40; 0,p + 0,0 0,0p = 0,40; 0,p = 0,0; p = 0,0 0, = 4 : Insgesamt 4 7,% der Messegäste sind männliche Fachbesucher b) P FB (m) = 0, = 0, ,6% Die augewählte Person ist mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 79% männlich. 6 + ) 7,7%

5 Lösungen zu delta 9. () a) Das Dreieck ABC ist gleichschenklig, da BC = + cm = 4 cm = CA ist; somit gilt H =. m CA = ; m h b = ; h b : = + t; B X h b : = 8 + t; t =,8; h b : = 0,6 +,8; da H = ist folgt H =,8: H (,8). tan α = ; α 9 ; γ 80 9 = 6 0 h b C * h c C * C C * H (,8) C * 6 A 4 4 B 0 C * C * 4 b) Für C * ( 4) und für C * ( ) ist das Dreieck ABC * bzw. das Dreieck AC * B rechtwinklig. Hinweis: C *, = ± AB = ± Für C * ( + ) und für C * 4 ( ) ist das Dreieck ABC * bzw. das Dreieck AC * 4 B gleichseitig. Hinweis: C *, 4 = ± AB = ± C * ( h); A Viereck ACBC * = AB (h ) AB = 6 (h ) 6 = = h = h 8; h 8 = ; h = 0; C * ( 0) C * 6 ( h*); A Viereck AC * = 6 BC 6 6 (h* ) = 8 h*; 8 h* = ; h* = ; C * 6 ( ) Hinweis: C *,6 = C ± 4 = 6 ± 4 () a) Beispiele: g OD ER; DOR = EDO; DE = RO (= 0 = ) : das Trapez ODER ist gleichschenklig; das Trapez ODER ist achsensmmetrisch zur R E Geraden g mit der Gleichung = 4. b) MO = ( 4) + ( ) = MD = 4 + ( ) = ME = + 4 = M MR = ( ) + 4 = Da MO = MD = ME = MR ist, ist M der Mittelpunkt des Umkreises des Trapezes ODER. O D

6 6 Lösungen zu delta c) S (Skizze nicht maßstäblich) g s = s = M* = 4; da die Geraden SO und g von dem Parallelenpaar ER und OD geschnitten werden, gilt nach dem. Strahlensatz für die X-Figur OSM*: s 7 s = 4 ; 4s 8 = s ; s = 8; S (4 8) R E s 7 O 4 M* D s 0. a) r* π = 4r π; r* = 4r ; r* = r: r* ist doppelt so groß wie r. b) V Luft usw. = 4 cm 7,0 cm 7,4 cm 6 4 (,7 cm) π 7, cm 9, cm = 9,9 cm : 9,9 cm 0,46 = 4,6% 7, cm Von der Packung ist also weniger als die Hälfte Inhalt. c) h = 6 cm; r = 6 cm; V = r πh = (6 cm) π 6 cm = 6π cm 679 cm A = r π + rπh = (6 cm) π + 6 cm π 6 cm = 44π cm 4 cm. S s h p h s D C A ϕ M B Basishöhe h s jeder der vier Seitenflächen: h s = (8 cm) + ( cm) = 7 cm ; h s 8, cm; A p (6 cm) cm 8, cm = 6 cm + 0 cm = 8 cm V p = (6 cm) 8 cm = 96 cm tan ϕ = 8 ; ϕ 6, V k = ( cm) π 8 cm = 48π cm 0,8 cm s = SA = ( cm) + (8 cm) = (8 + 64) cm = 8 cm ; s 9, cm; A K = ( cm) π + cm π SA = 8 π cm + cm π 8 cm = 8 π cm π cm 77 cm V P 96 cm V K 0,8 cm 64% Die Pramide nimmt etwa 64% des Kegelvolumens ein.

7 Lösungen zu delta 7 Kann ich das? Lösungen zu Seite 6. Nullstelle(n) Polstelle(n) D f ma a) = 0 = \ {} b) = 0; = = \ { } c) = 0. Funktion f f f Nullstelle(n) Polstelle(n) = 0 = 0 = 0 Verhalten für + f() 0 + f() + f() + Verhalten für f() 0 f() + f() Der Graph verläuft durch die Quadranten III und I II und I III und I Achsenpunkte des Graphen Smmetrieverhalten: Der Funktionsgraph ist Gleichungen der Asmptoten des Graphen punktsmmetrisch zum Ursprung = 0; = 0 smmetrisch zur -Achse = 0; = punktsmmetrisch zum Ursprung = 0; = 4 4. a) lim + = lim = + = 0, ± ± b) lim [ ( + 4 ) ] = lim [ ( ) ] = ± ± c) lim 6 + = lim = 0 + = 0 ± ± k 4. lim k = lim 8 + ± + ± + ( 4 ) = 0, = k ; k = ; k = 6. a) Nummer der Figur Umfangslänge der Figur ( in cm) Flächeninhalt der Figur (in cm ) () U = 4a = 4 8 = A = a = 8 = 64 () () (n) a = a = 4 U = 6a = 6 4 = 4 a = a = a = U = 0a = 0 = 0 a n = a n U n = ( n + ) 4 n = 4 + n A = a = ( a ) = 4 = A = 4 a = 4 ( a ) = 4 = 6 A n = n ( a = n 8 n = 7 n n ) = n ( ) = n b) lim U n = 6 lim A n = 0 n + n + 6. Funktionsgleichung a) b) c) d) Wertetabelle D C A B Graph (4) () () ()

8 8 Lösungen zu delta Kann ich das? Lösungen zu den Seiten 8 und 84. a) () m() = ( ) ( ) = = 4 lim ( + ) = 4 + () m() = ( ) ( ) = + = 4 lim ( + ) = 4 Wegen lim m() = lim m() = 4 ist lim m() = 4. + b) () m(h) = ( + h) ( ) + h lim ( + h) = h 0+ () m() = ( h) ( h) = + h + h = h = + h h = h = ( + )( ) = + ; > = ( + )( ) = + ; < h( h) h h( +h) h lim ( h) = 0+ Wegen lim ( + h) = lim ( h) = ist lim m(h) =. h 0+ h 0+ h 0+ = + h = + h; h > 0 = h = h; h > 0 V(r + h) V(r). Der Term (h > 0) bedeutet die mittlere Volumenzunahmerate, wenn die Radiuslänge um h h zunimmt. 4 V(r + h) V(r) = (r +h) π 4 r π 4 = π(r + r h + rh + h r ) 4 = π h (r + rh + h ) = 4 h h h h π (r + rh + h ); V (r) = lim [ 4 π (r + rh + h ) ] = 4 π r = 4r π: Dies ist der Kugeloberflächeninhalt. h 0 f( + h) f(). a) f () = lim = lim ( + h) ( ) = lim 4h h + h 0 h h 0 h h 0 h h(4 + h) = lim = lim [ (4 + h) ] = 4 h 0 h h 0 Ableitungsfunktion: f : f () = 4; D f = f( + h) f() b) f () = lim ( + h) = lim ( + h) = lim ( + h) = lim h h h h h ( + h) = lim ( + h) = h 0 h 0 h 0 h 0 h 0 Ableitungsfunktion: f : f () = ; D = \ {0} f 4. a) f() = 4 + ; f () = 8 + ; f () = f() = ; f () = ; t p : = + t; da P X t p ist, gilt = + t; t = 8; t p : = 8 b) f() = + 4; f () = ; f () = f() = ; f () = ; t p : = + t; da P X t p ist, gilt = + t; t = ; t p : = + Schnittpunkt von t p mit der -Achse: = 0; 0 = + ; + = ; : =,; S (, 0) Steigung von n p : 0,; n p : = 0, + t*; da P X n p ist, gilt = 0, + t*; 0, t* =,; n p : = 0, +, Schnittpunkt von n p mit der -Achse: = 0; 0, +, = 0;, 0, =,; : 0, = ; S ( 0) A = S ( +,) =, S P r Umkreis = ( +,) =,7; A = Umkreis,7 π 44,; Prozentsatz: etwa, 44, % c) f() = ( ) = ; f () = 6 ; f () = 6 oder (Produktregel) f() = ( ); f () = ( ) + ( 0) = + = 6 f() = ; f () = ; t p : = + t; da P X t p ist, gilt = + t; t = ; t p : =

9 Lösungen zu delta 9 d) f() = ; f () = ; f () = 6 4 f() = ; f () = ; t p : = + t; da P X t p ist, gilt = + t; t = ; t p : = + e) f() = ; f () = ; f () = 4 f() = ; f () = 0,; t p : = 0, + t; da P X t p ist, gilt = 0, + t; t = 0,; t p : = 0, + 0, f) f() = + ; f () = ( + ) ; f () = ( + ) ( ) ( )(4 + 4) ( + ) = 4 = ( + ) + 8 ( + ) ( + ) = ( + ) ( + ) = 6 ( + ) f() = 0,; f () = ( + ) = 0,; t : = 0, + t; da P p X t ist, gilt 0, = 0, + t; p t = ; t p : = 0, + Schnittpunkt von t p mit der -Achse: = 0; 0 = 0, + ; + 0, 0, = ; : 0, = ; S ( 0) Steigung von n p : ; n p : = + t*; da P X n p ist, gilt 0, = + t*; t* =,; n p : =, Schnittpunkt von n p mit der -Achse: = 0;, = 0; +, =,; : = 0,7; S (0,7 0) A = S ( 0,7) 0, = 0, S P r Umkreis = ( 0,7) = 0,6; A = Umkreis 0,6 π,; Prozentsatz: etwa 0,, % g) f() = + ; f ( ) ( + ) () = ( ) = 6 ( ) ; f () = ( 6)( 6) ( ) = ( ) = 4 ( ) 4 ( ) f() = ; f () =,; t p : =, + t; da P X t p ist, gilt =, + t; t = 0,; t p : =, 0, h) f() = ( + ) = ; f () = = 4 + 8; f () = 8 f() = 9; f () = ; t p : = + t; da P X t p ist, gilt 9 = + t; t = ; t p : =. Bei beiden Abbildungen ist einer der beiden Graphen, der andere. a) Die rote Kurve ist, die grüne Kurve ist. Begründung: Die Abszissen der Punkte von, in denen eine horizontale Tangente besitzt, stimmen mit den Nullstellen der durch dargestellten Funktion überein, aber nicht umgekehrt. b) Die grüne Kurve ist, die rote Kurve ist. Begründung: Die Tangentensteigung von nimmt zu, demgemäß ist steigend; umgekehrt ist dies nicht der Fall. 6. a). Art: f() = + 4 ; f () = + 4 = + 8. Art: f () = ( + 4) + ( + 0) = = + 8 b). Art: f(r) = 8r + 6r ; f (r) = r = 8 + r. Art: f(r) = ( 4r)( 4r); f (r) = (0 4)( 4r) + ( 4r)(0 4) = 4 + 6r 4 + 6r = 8 + r c). Art: f() = ; f () = +. Art: f() = = ; f () = ( 0) ( ) = 4 + = + d). Art: f(a) = a 4 a = a 9 ; f (a) = 9a 8. Art: f (a) = 4a a + a 4 a 4 = 4a 8 + a 8 = 9a 8 7. b =, da S ( 0) X ist; c =, da S ( 0) X ist. Der Graph hat eine schräge Asmptote; somit ist n = = (das Zählerpolnom hat den Grad ). a( + )( ) Wegen f() = ist = ; a =. ( + )( ) Als Funktionsterm ergibt sich f() = = =. = +

10 0 Lösungen zu delta f() f(0) 8. Für > 0 gilt = = 4 = ; lim = 0; 0+ f() f(0) für < 0 gilt = = 4 = ; lim = 0 = lim : 0 0+ Die Funktion f: f() = 4 ; D f =, ist also an der Stelle 0 = 0 differenzierbar, und es ist f (0) = Q ( ); Gleichung der Parabel P : = a( ) + ; Q X P : = a ( ) + ; a = P : = ( ) + = + + = + Steigung von P (und von P ) im Punkt Q:. Ableitung: = ; an der Stelle = : m tq = 4 = Gleichung der Tangente t Q : = + t; Q X t Q : = + t; = 4 + t; 4 t = t Q : = Parabel P : = f() = + b + c Q X P : = + b + c; + 4 b + c = 7 (I) f () = + b; f () = 4 + b = m tq = ; b = 6; eingesetzt in (I) 6 + c = 7; c = Gleichung von P : = + 6 = ( ) + 9 = ( ) + 4 a) Der Teil der Parabel P links oberhalb des Punkts R ( 4) b) Der Teil der Parabel P links unterhalb des Punkts R ( 0). 0. a) = ist eine doppelte Nullstelle von f; f besitzt keinen Pol, also keine senkrechte Asmptote. lim f() = lim 4 + = lim = ; besitzt somit eine waagrechte ± ± ± Asmptote mit der Gleichung =. f() = 4 + ; + Etremstellen: f () = (4 4)( + ) ( 4 + ) ( + ) = ( + ) = 4 4 ( + ) = 4( ) ( + ) f () = 0: 4( ) = 0; : 4 ( + )( ) = 0; = ; = Monotonietabelle: < < = < < = < < f () f () > 0 f () = 0 f () < 0 f () = 0 f () > 0 Vorzeichenwechsel von f () von + nach von nach + Graph steigend Hochpunkt A ( 4) fallend Tiefpunkt C ( ) steigend Wertetabelle: f(),8,9,,6 4,0,0 0,0 0,4 0,8,, A C* a B D( ) E( ) A* a O C

11 Lösungen zu delta b) Tangentengleichungen: f( ) = 4; f ( ) = 0 4 = 0; t : = 4 A f(0) = ; f (0) = 4; t B : = 4 + f() = 0; f () = 0; t C : = 0 Streckenhalbierung: AB = + LE = LE; CB = + LE = LE; AB = CB (I) m AC = 4 = ; = + t; da A X AC ist, gilt 4 = + t; t = ; AC: = + B liegt auf AC, da = = 0 + ist, also ist wegen (I) B Mittelpunkt der Strecke [AC]. Rechteck AA*CC*: A*( 0), C*( 4); A Rechteck AA*CC* = 4 LE LE = 8 FE Flächeninhalt des Quadrats: Für die Länge d jeder der Diagonalen eines Quadrats der Seitenlälnge a gilt d = a. AC = + 4 LE = 0 LE = a ; : a = 0 LE A Quadrat = a = 0 FE Die Quadratfläche ist um FE, das sind ( =) %, größer als die Rechtecksfläche. 8. Der Graph verläuft durch den Ursprung O (0 0), da f(0) = 0 ist. (Weitere) gemeinsame Punkte mit der -Achse: ( ) = 0; = 0 (siehe oben) D = = 6 9 < 0; also hat G mit der -Achse f (und mit der -Achse) nur den Ursprung gemeinsam. Punkte von, in denen die Tangente horizontal ist: f () = g + = = ( 4 + 4) = ( ) S S Für = 0 und für = gilt f () = 0; f(0) = 0; f() = = 4. Im Ursprung O (0 0) und im Punkt W ( 4 ) besitzt G W f die horizontale Tangente t O : = 0 bzw. t W : = 4. Monotonietabelle: O < < 0 = 0 0 < < = < < f () f () < 0 f () = 0 f () > 0 f () = 0 f () > 0 Vorzeichenwechsel von f () Newton sches Näherungsverfahren: n + = n g( ) n g ( n ) ; n X. Dabei ist g() = und g () = ( ) ; Anfangsnäherung für S ist =, : S,8 von nach + kein Vorzeichenwechsel Graph fallend Tiefunkt O steigend Terrassenpunkt W n n g( n ) g'( n ) n + 0,00 0,849 7,87,9,9 0,070 6,7,8,8 0,00 6,448,8 steigend

12 Lösungen zu delta. f() = 0 ; f () = 0 4 = 4 4 = 4 ( a) = 4 ( + )( ) f besitzt nur die Nullstellen 0, und. Monotonietabelle: < < = < < 0 = 0 0 < < = < < f () f () > 0 f () = 0 f () < 0 f () = 0 f () < 0 f () = 0 f () > 0 Vorzeichenwechsel von f () Der Graph besitzt andere Etrempunkte als, der Graph ebenfalls; wird also durch den Graphen dargestellt.. D f ma = \ { 4; 0} Achsenpunkte: hat mit der -Achse keinen Punkt gemeinsam. Gemeinsamer Punkt mit der -Achse: f() = 0; 6 + = 0; 6 = ; : 6 = S ( 0) Verhalten für ± : lim = lim ± ± von + nach = 0 = 0 fallend kein Vorzeichenwechsel fallend von nach + Graph steigend Hochpunkt Terrassenpunkt Tiefpunkt Die -Achse (Gleichung: = 0) ist also horizontale Asmptote von. An den Stellen = 0 und = 4 hat f Pole (. Ordnung, also Pole mit Vorzeichenwechsel: Für 4 gilt f(). Für 4 + gilt f() +. Für 0 gilt f(). Für 0 + gilt f() +. Senkrechte Asmptoten: = 4 und = 0 Etrema: f () = 6( + 4) (6 + )( + 4) ( + 4) = steigend ( + 4) = ( + 4) = 6( ) ( + 4) f () = 0: = 0; D = = 6 = 6 < 0. Da f überall in D f differenzierbar ist und f () für jeden Wert von X D f ungleich null ist, hat keine lokalen Etrempunkte. 6 ( ) Tangente im Punkt S ( 0): f ( ) = [( ) + 4 ( )] = 4 6 = t S : =, + t; wegen S X t S ist 0 =, ( ) + t; t = t S : =, Verschiebung von um Einheiten nach rechts: f*() = f( ) 6( ) + f*() = ( ) + 4( ) = = 6 4 ; D = \ { ; } f* 6 ( ) Da f*( ) = ( ) 4 = 6 4 = f*() ist, ist G punktsmmetrisch zum Ursprung f* [und somit punktsmmetrisch zum Punkt S ( 0)]. S * * * O

13 Lösungen zu delta Kann ich das? Lösungen zu Seite 6. a) Zeichnung: D C M F A 0 B O b) Größe ϕ des Winkels BOD: O Teildreieck: ϕ B M D Volumen der Pramide P: Das Teildreieck BDO ist aufgrund der vorliegenden Smmetrie gleichschenklig mit Basis [BD]. Es gilt: AB + AD = BD BD = AB + AD = (6 cm) + (6 cm) = 6 cm; OB = ( ) cm; OB = ( cm) + ( cm) + ( cm) = 9 cm; sin ϕ = BD = 6 cm OB 9 = cm ; ϕ = 9,47... ; ϕ = BOD 8,9 V P = AB OM = (6 cm) cm = 44 cm Oberflächeninhalt der Pramide P: Aufgrund der Smmetrie der Pramide gilt: A P = AB + 4 A Dreieck BOC = (6 cm) + 4 BC OB ( BC ) = = (6 cm) cm 6 cm 9 cm = ( + ) cm 84 cm c) Die Pramide P* ist ( cm 6 cm =) 6 cm hoch, also halb so hoch wie die Pramide P. V Pramidenstumpf = V P V P* = V P ( ) V P = 7 8 V P = cm = 6 cm

14 4 Lösungen zu delta. A ( 4 7 ); B ( 9 0); ( 4) AB = 9 7 ( 0 ) ( = ) ; ( 4 ) a = ; ( 4 4 a AB = ; = = a + 4 ; = a + 4; 4 a 8a = ; : 8 a = 4; a = (wegen a X AB = + + ( ) = = ; a ) + + ( 4 a ) = + ) a + 4 ;. a) Kugel K M ( 7 4); r = K : ( ) + ( 7) + ( + 4) = b) Kugel K M ( 7 4) Berechnung der Radiuslänge r: MA = ( ) ( = 0 8 ) ; r = MA = ( 8) = 89 K : ( ) + ( 7) + ( 4) = 89 c) Kugel K M ( 7 8) Der Betrag der -Koordinate von M gibt den Abstand des Kugelmittelpunkts M von der - -Ebene, also die Radiuslänge von K, an: r = 8. K : ( ) + ( 7) + ( 8) = 64 Koordinaten des Berührpunkts: B ( 7 0), da B in der - -Ebene liegt (also = 0 ist) und senkrecht unter M liegt (also = und = 7 ist); B entsteht durch senkrechte Projektion von M in die - -Ebene. 4. O (0 0 0); S (9 9 ); T (4 7) K: = 40; = 40; ( + ) + ( 4) + ( ) = 40; + 9 ( + ) + ( 4) + ( ) =, d. h. M ( 4 ) und r = ; OM = ( 4 ) ; OM = 9 < : O liegt innerhalb der Kugel K. SM = ( SM = 8 > : S liegt außerhalb der Kugel K. ( ) ) ( = 4 ) ; TM = ( 4 4 ( ) 7 ) ( = 7 ) ; TM = 99 < : T liegt innerhalb der Kugel K.

15 Lösungen zu delta. A (4 4 ); B ( ); C (4 ) AB = ( 4 ( 4) ) ( = 4 ) ; AB = 0 = : 4 CB = CB ( = 0 = : v ϕ ( ) ) = ( 4 ) ; Wegen CB ist das Dreieck ABC gleichschenklig mit Basis [CA]. Wegen AB CB = ( ) ( ) + ( ) + ( 4) 4 = 0 ist das Dreieck ABC außerdem rechwinklig (mit dem rechten Winkel bei B). AB = Kugelgleichung in Vektorform: Da B Mittelpunkt der Kugel ist und A und C auf der Kugel liegen, gilt r = AB = CB = 0 : K: ( ) = 0 6. u u = ( 6 ), Flächeninhalt des Parallelogramms: u v = ( 6 ( ) 6 ( ) A P = u v = ( 6 ) ) ( 6 ) ( = ( 6) ( ) ( ) ( 6) 6 ) ( = ) v = 0 + ( 0) + 40 = 800 = 0 Winkelgröße ϕ: u = 44 = ; v = 4 ; u v = u v sin ϕ; sin ϕ = u v u 0 = v = 4 4 ; ϕ 87, 7. D a C d b d b A a B () Summe der Quadrate über den vier Seiten: a + b + a + b = a + b () Summe der Quadrate über den Diagonalen: d + d = = a + b + a + = a + a = a + b b = b + b + a a Da () = () ist, folgt die Behauptung. b + b =

16 6 Lösungen zu delta 8. a = ( ) ; b = ( ) ; n = ( ) ( ) ( = 6 6 ) ; n a = = = 0; n b = ( ) = = 0 9. A ( 7); B ( 4 9), C ( 4 ) a) A ( 0); B ( 4 0); C ( 4 0) b) AB = ( 4 ( ) 9 7 ) ( = 7 ) ; AC = ( 4 ( ) 7 ) ( = ) ; AB AC = ( 7 ) ( ) ( = 6 ) ; AB AC = 84 = ; A ABC = AB AC = 6 ; A B = ( 4 ( ) 0 0 ) ( = 7 0 ) ; A C = ( 4 ( ) 0 0 ) ( = 0 ) ; A B A C = ( 7 0 ) ( 0 ) ( = ) ; A B A C = 6; A A B C = A B A C = 8; A A B C = 8 A ABC 6 = 90, %, d. h.: Der Flächeninhalt des Dreiecks A B C ist um etwa 9, % kleiner als der Flächeninhalt tdes Dreiecks ABC.

17 Lösungen zu delta 7 Kann ich das? Lösungen zu Seite 46. a) f: f() = u(v()) = ( ) = ; g: g() = v(u()) = ( ) = 6 = ; D f = = D g b) f: f() = u(v()) = sin(cos ); g: g() = v(u()) = cos (sin ); D f = = D g. f() = ; zu D = \ [ ; ] gehören 0; ; und 0. f ma g() = ( ) = ; zu D gehören ± ; ± und ± 0. g ma. a) f () = cos ; f (π ) = π cos π = π 0,04 b) f () = = (4 ) = ; f () = 0,707 c) f () = 4 4 (4 + ) 4 + ( 4) = ( 4) = ( 4) ; f (8) = 4 6 = 0,44 d) f () = sin (); f (π) = sin (π) = 0 e) f () = cos ; f ( π sin ) = 0 f) f () = ( + ) ( ) ; f () = 0 4. = sin () (schwarz); = cos () (blau); = 4sin () (rot). Es ist f () = < 0 für jeden Wert von X D f = + = D f. Also ist f überall streng monoton abnehmend. Wertmenge: W f = ] ; [ O Umkehrfunktion: = ; = ( ) ; = ( ), da X f : f () = ( ) ; D f = W f = ] ; [. = ; hoch + ; und vertauschen:

18 8 Lösungen zu delta 6. a) = 4 ; = 4 ; + + = 4 T P r A ϕ O R t p ε S b) () P X : P = f() = ; P ( ); m OP =. Die Tangente t P steht senkrecht auf OP; also ist m tp = m = OP. () f() = 4 ; f () = = 4 ; m 4 t P = f () = = 4. c) t P : = + t; P X t P : = + t; t = + = 4 ; t P : = + 4 Schnittpunkt S von t P mit der -Achse: 0 = + 4 ; = 4; S (4 0) Schnittpunkt T von t P mit der -Achse: T (0 4 ) Flächeninhalt des Dreiecks OST: A OST = 4 4 FE = 8 FE 4,6 FE 7. a) V(r) = r π r π = 7 r π b) r = V 7π ; r(v) = V 7π 8. G g = s Q S O B P A B* t f = r t g 4 A* Die Graphen und G g haben den Punkt S ( ) gemeinsam. Tangente t an in Punkt S: f () = r r ; f () = r; t : = r + t; S X t : = r + t; t = r; t : = r + r Schnittpunkt von t mit der -Achse: A ( r 0) Schnittpunkt von t mit der -Achse A* (0 r) Tangente t am G g im Punkt S: g () = s s ; g () = s; t : = s + t*; S X t : = s + t*; t* = s; t : = s + s Schnittpunkt von t mit der -Achse: B ( s 0) Schnittpunkt von t mit der -Achse: B* (0 s) Flächeninhalt des Dreiecks BAS: A BAS = ( r + s ) = r s rs Flächeninhalt des Dreiecks B*A*S: A B *A*S = ( s + r) = r s A B *A*S = rs A BAS

19 Lösungen zu delta 9 9. π π O π_ π π π G F π π π_ π π π a) hat den Punkt T (0 ) mit der -Achse gemeinsam. Gemeinsame Punkte von mit der -Achse: f() = sin + cos = 0 : ( cos ) tan = ; = π 6 ; = π 6 ; = π 6 S ( π 6 0); S ( π 6 0); S ( π 6 0) Etrempunkte: f () = cos sin = 0; : ( cos ) tan = ; 4 = π ; = π ; = 4π 6 f ( π ) = f () = sin cos f ( 4 ) = sin ( π ) cos ( π ) = > 0: Der Punkt T ( π ) ist ein Tiefpunkt von. f ( ) = sin π f ( 4p ) = Der Punkt H ( π cos π = < 0: ) ist ein Hochpunkt von. f ( 6 ) = sin 4π cos 4π = > 0: Der Punkt T ( 4π ) ist ein Tiefpunkt von. b) F () = sin + cos = f(); D F = D f f ( π ) = sin ( π ) + cos ( π ) = cos + sin = F()

20 0 Lösungen zu delta Kann ich das? Lösungen zu Seite 68. a) e e + = 0; e = 0; e = 0; e = ; = 0 X G; L = {0} b) ln ( e ) = 0; e = ; e = ; e = ; = 0 X G; L = {0} c) ln + k = 0; + k = ; + k = ; + k = 0; D = 4k ;, = ± 4k Fallunterscheidung: I. D = 4k > 0, 4k < ; k < 4 ; < k < ; da k > 0 ist: 0 < k < Es gibt zwei Lösungen X G, wenn 0 < k < ist: L = { 4k ; + 4k } II. D = 4k = 0; k = : nicht möglich, da k > 0 ist; k = : Es gibt genau eine Lösung, nämlich = X G: L = { } III. D = 4k < 0: Es gibt keine Lösung X G; also ist L = { }. d) e + e = 0; e e e + = 0; (e )(e ) = 0; e = ; = ln X G; e = = 0 X G; L = {0 ; ln }. a) ln (e ) + ln (e e ) + e ln = + e + = e + b) ln [ln (e e )] = ln (e ln e) = ln e = c) (e ln + e ln ) : e ln 7 = ( + ) : 7 =. a) Der kleinste Wert von f() = ( 4 ) sin ist ( 4 ) = ( 4 ) = 4,; er wird für = π + nπ (n X ) angenommen. b) Der größte Wert von g() = ( ) cos + ist ( ) + = ( ) =,8; er wird für = nπ (n X ) angenommen. 4. a) = ( + ) e + ( + ) e = ( + )( + )e b) = e ln = ; =, falls > 0 ist. c) = (4 + e ) 4e 4e e (4 + e ) = 4e (4 + e e ) (4 + e ) = 6e (4 + e ) d) = e = e + e + e e) = e cos sin f) = ln e = ln e ln = ln ; = g) = (ln ) ( ) ( ln ) (ln ) = ln + ln (ln ) 4 (ln ) = ln (ln )

21 Lösungen zu delta. h) = + i) = = ( + ) = ( ) = ( ) G g O ln (e ) = ln e + ln = + ln : Man erhält G g, indem man um Einheiten in Richtung der -Achse nach oben verschiebt. ln (a) = ln a + ln : Man erhält den Graphen der Funktion G a, indem man um ln a Einheiten in Richtung der -Achse nach oben (für a > ) bzw. um ln a Einheiten nach unten (für 0 < a < ) verschiebt. 6. T(t) T 0 = (T T 0 )e kt Rechnung mit Maßzahlen: 0 4 = (0 4) e k ; 8 = 96e k ; e k = 8 96 ; k = ln 8 = 0,6989 ; k 0,7; = (0 4) e 0,7t ; 6 = 8 e 0,7t ; e 0,7t = 6 ; 0,7t = ln ; t = ln 6 = 9,40 0 0,7 8 Innerhalb von weiteren rund 0 Minuten kühlt sich die Pfanne von 0 C auf 40 C ab. 7. a) Schnittpunkt mit der -Achse: + = 0; = ; S ( 0) Schnittpunkt mit der -Achse: f(0) = e = = ; T (0 ) 0 b) Ableitung: f () = e ( + )e e = e ( ) e = ; e f (0) = 0 < < 0 = 0 0 < < + f () f () > 0 f () = 0 f () < 0 Vorzeichenwechsel von f () von + nach hat den Hochpunkt H (0 ) = T

22 Lösungen zu delta H = T B A = S O 6 lim f() = 0 (Hinweis: vgl.. Aufgabe 7.); für gilt f(). c) f ( ) = e = e; f () = e ; da f ( ) f () = e ( e ) = ist, stehen die Tangenten t A und t B an in den Graphpunkten A bzw. B aufeinander senkrecht. d) F () = e b (a + b) e (e ) = b a b = f(); e b a b = + ; e e Es muss gelten b =, d. h. b =, und b a = ; also a =, d. h. a = : F() = e Probe F () = e ( ) ( )e e = + + = + = f() e e 8. f(0) = 4 = ; der Punkt T (0 ) X G liegt nicht auf G. f III f () = ( + e ) 4e 4e e ( + e ) = 4e ( + e e ) ( + e ) = 4e ( + e ) ; f (0) = 4 4 = > 0; Die Tangentensteigung im Punkt T ist nur bei G II positiv: G II =. G I : f I () = 4e = 4 + e e + ; G III : f III () = 4e + e = 4e e + e

23 Lösungen zu delta Kann ich das? Lösungen zu Seite 9. a) Ω = {; ; ; 4; ; 6; 7; 8; 9} A = {; ; ; 7; 9}; P(A) = 0,; B = {; 6; 9}; P(B) = 0,; C = {0; ; ; ; 4}; P(C) = 0,; D = {; ; ; 7}; P(D) = 0,4; E = {; 4; 9}; P(E) = 0,; F = {9}; P(F) = 0, b) A Q B = {; 9}: Die Nummer ist ungerade und durch teilbar A q B = {; ; ; 6; 7; 9}: Die Nummer ist ungerade und/ oder durch teilbar A q C = {6; 8}: Die Nummer ist gerade und mindestens gleich D Q E = Ω: Die Nummer ist nicht gleichzeitig Primzahl und Quadrazahl c) () B Q _ E = {; 6} () (A Q _ E ) q ( A Q E) = {; 4; ; 7} () A q E = {; ; 4; ; 7; 9}. a) P( genau ein Bauteil ist defekt ) = 0,88 4 0, 6,0% P( höchstens ein Bauteil ist defekt ) = 0,88 4 0, + 0,88 88,8% P( mindestens ein Bauteil ist defekt ) = 0,88 47,% b) Baumdiagramm: Start 0, 0,88 Bauteil defekt oder d e einwandfrei? 0,9 0,0 0,0 0,98 Feststellung des d e d e Prüfgeräts () P( Das Prüfgerät zeigt ein Bauteil als defekt an ) = 0, 0,9 + 0,88 0,0,% 0, 0,9 () P Das Prüfgerät zeigt defekt an ( Bauteil ist defekt ) = 0, ,88 0,0 86,6% 0,88 0,98 () P Das Prüfgrät zeigt einwandfrei an ( Bauteil ist einwandfrei ) = 0, 0,0 + 0,88 0,98 99,%. Anzahlen: Relative Häufigkeiten: K K A A K K A 0,070 0,099 0,69 A 0,479 0, 0,8 0,49 0,4,000 9 = 9 ; = 0; : 4 = ; = ; = 7; 9 = 4 a) Genau eines dieser beiden Mathematikprobleme haben (7 + 4 =) 4 der Befragten; das sind etwa 8% b) h(a Q K) 0,070; h(a) h(k) 0,69 0,49 0,09 h(a Q K): Die beiden Probleme treten stochastisch nicht unabhängig voneinander auf. 4. Start W W 0, 0,7 R 0,07 0, 0,47 W W R 0, 0,4 0,7 0, 0,8 0,8 0,7 0, 0,7,000 R R R R 0, 0,8 a) P Person nimmt teil ( Person wiederholt ) = 0, 0,8 + 0,7 0,7 8,% b) P(W Q R) = 0,07; P(W) P(R) = 0, 0,47 0,069 P(W Q R): Die Ereignisse W und R sind stochastisch nicht voneinander unabhängig. c) P( Spätestens an 6. Stelle steht ein Wiederholer/ eine Wiederholerin ) = 0,7 6 8,%

24 4 Lösungen zu delta Kann ich das? Lösungen zu Seite 6. f () = 0, ( )( + ) + 0,( ) = = 0,( )( ) = = 0,( )( + ); f () = 0,( + ) + 0,( ) = = 0,( + + ) = = ; f () = 0; = ; = ; f () = > 0; f ( ) = < 0: hat einen Hochpunkt H ( ) und einen Tiefpunkt T ( 0). a) f(,) = 0, (,) ( 0,) =,06; f(,) = 0, 0,, = 0,47 Die Funktion f hat im Intervall I a das globale Maimum f( ) = und das globale Minimum f(,) =,06 (Randminimum). b) f(,) = 0, (,) 0, =,6; f(,) = 0,, 4, =,06 Die Funktion f hat im Intervall I b das globale Maimum f(,) =,06 (Rand maimum) und das globale Minimum f() = 0.. f a () = a ; f () = a a ; f a () = 0: = a ; = ± a; f a (a) = a a = a > 0, da a X + ; f(a) = a + a + 8 a = a + 8 a ; f a ( a) = a ( a) = a < 0; f( a) = a + 8 a : lokaler Tiefpunkt von : T (a a + 8 a a ); T (a) = a + 8 a ; (a) = 8 T a ; (a) = 6 T a ; T (a) = 0: 8 a = 0; a = 4; a* = ; da a* X + ; T () = 6 8 = > 0: Für a* = ist die -Koordinate des lokalen Tiefpunkts am kleinsten: T () = 8. O. a) F() = a + ; F () = a ( + ) = f(): a = 0; a = 0 (D F = = D f ). b) F () = ae ( a = 4 (D F = = D f ). : ) = ae = 4 e 4. a) Ansatz: f() = K( + )( ) = K( 9); f () = K( 9); f (0) = 9K; m t0 = 4,, = = f (0); 9K = ; K = Funktionsterm: f() = ( 9) = +

25 Lösungen zu delta b) P O t O Eckpunkte: V ( a f( a)), I (a f( a)), E (a f(a)), R ( a f(a)) mit f(a) = a + a; f( a) = a a Flächeninhalt: A VIER = A(a) = a f(a) = a ( a + a ) = 4 a4 + a ; A (a) = 6 a + 4a; A (a) = 6a + 4; A (a) = 0: 6 a ( a 9 ) = 0; 0 < a < : a = ; A ( ) = = 48 < 0: A ( ) = = = 7 ist das Maimum von A VIER.. a) Die Graphen sind für k 0 Parabeln mit dem Scheitel S (0 k ); für k = 0 ergibt sich eine zur -Achse parallele Gerade mit der Gleichung =. b) t O 0 t c) P ( k ) f k () = k; f k () = k; t k : = k + t; P X t k : k = k + t; t = ; t k : = k ; daraus folgt, dass t k für jeden Wert von k den gleichen -Achsenabschnitt hat, also durch T (0 ) verläuft. d) -Achsenabschnitt von t k : k = 0; = (k 0) k Flächeninhalt: A(k) = k = 4k ; A( 0,) = 4 ( 0,) = lim A(k) = lim 4k = 0 k k

26 6 Lösungen zu delta 6. A(r) = rπh + 4r π; Rechnung in Maßzahlen (Einheit mm, mm bzw mm ): 4r π + rπh = 0; h = 0 4r π ; rπ Volumen des Zlinders: V Z = r πh; V Z (r) = (0 4r π)r π = r rπ (0 4r π) = r r π; V Z (r) = 6r π; V Z (r) = rπ < 0 wegen r > 0 V Z (r) = 0: 6r π = ; r = 6π ; r = 6π,8; 0 4 6π h π 00 π = π 0,0 6π 6π Gesamtvolumen der Kapsel: V K,8 π 0,0 + 4,8 π 86,: Mit r 0,8 mm und h 0 0,0 mm (die optimale Kapsel ist also eta cm lang und cm breit) ergibt sich ein Kapselvolumen von etwa 86 mm. 7. a) Graph von f ist B und Graph von f ist A, da nur dann f ( ) = 0, f () = 0 und f (0) < 0 ist. Graph von g ist D und Graph von g ist C, da nur dann g () < 0 für < und g () > 0 für > ist. b) Jakob kann ( + + =) 6 verschiedene Kartenpaare ziehen; er zieht also mit der Wahrscheinlichkeit ( 6 ) % ein zusammenpassendes Paar.