Lösungen zu delta 10. Kann ich das noch? Lösungen zu den Seiten 6 und 7

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1 Lösungen zu delta 0 Kann ich das noch? Lösungen zu den Seiten 6 und 7. a) L = {} b) L = {0; } c) L = { } d) L = { 6; } e) L = {,; } f) L = { } g) L = {,; } h) L = {7; 0} i) L = { } Summenwert aller Lösungen:. a) L = {} Probe: L. S.: + 4 = ; R. S.: 8 = ; L. S. = R. S. = + 4 = 8 b) L = { ; } Probe für = : L. S.: + = ; R. S.: 0, +, = ; L. S. = R. S. Probe für = : L. S.: + = ; R. S.: 0, +, = ; L. S. = R. S. = + = +,. a) L = ]0,8; [ b) L = ] ; 0,] \ { 4} 0, c) L = ( \ [ ; ]) \ { } d) L = ]4; [ a) L = {( _ ; )} b) L = {( ; 6)} c) L = {(; ; 7)}. Die Diskriminante der Gleichung + + a = 0 ist D = 4a: f hat genau eine ullstelle, wenn a = 0, und wenn a = 0 ist. f hat keine ullstelle, wenn a > 0, ist. f hat zwei ullstellen, wenn a < 0,, aber ungleich 0 ist. 6. a) p 6 = p; p =, b) p + < 0; p X ] ; 9[ Y

2 Lösungen zu delta 0 7. a) ( + a) b) + b c) a _ 7 6 b 4 _ = 6 a 7 b 8 8. a) P ; P 4 ; P ; P 7 ; P 9 ; P 0 : 60% b) P ; P ; P 4 ; P ; P 9 : 0% c) P ; P 8 : 0% d) P ; P 8 : 0% e) P 7 : 0% f) P ; P ; P : 0 % g) P 6 : 0% 9. Die Gerade AB hat die Gleichung = ; C AB, da, 0 ist. Die Parabel P hat die Gleichung = a + b + c. Das Gleichungssstem: I 9a + b + c = 0 II a + b + c = III c =, hat die Lösungsmenge L = {(0,; ;,)}; also besitzt P die Gleichung = 0,, = 0,( ) und den Scheitel S ( ). C S = B A 0. _ AB = c _ BC = a _ CA = b Größenvergleich Das Dreieck ist und hat a) LE LE _ LE < + ( ) _ spitzwinklig A = 0 FE b) 9 LE 4 LE _ 7 LE 9 < (4 ) + 7 _ spitzwinklig A = 8 FE c) 0 LE 94 LE 74 LE 0 > stumpfwinklig U 4, LE d) 0 LE _ 0 LE 0 LE 0 = 0 + ( 0 ) rechtwinklig γ = 90 ; sin α = 0 0 ; α 8,4 ; β 7,6. E r r M r B k r 4 cm k r r B M 4 cm 4 cm R Die rechtwinkligen Dreiecke M RE, M B E und M B E sind Hälften von gleichseitigen Dreiecken: M M E = 4 cm; r = E = cm r + r = 4 cm r ; r = cm; : r = cm A = A Dreieck A Halbkreis k A Kreis k = [ 8 4 ( ) π ( ) π ] cm = ( 6 _ π ) cm 4,7 cm

3 Lösungen zu delta 0. R E ϕ ϕ ϕ ϕ 4 cm O V 4 cm, cm I Größen der Winkel: tan ϕ _, = _, = 4 ; ϕ = ϕ 7,7 ; ϕ = ϕ 06, 4 a) Pramidenvolumen: V Pramide = (4 cm cm ) 0 cm = 40 cm Seitenflächenhöhen: 0 + _ cm = 04 cm = 6 cm bzw. 0 +, cm = 0, cm = 0, 409 cm Oberflächeninhalt: 4 cm cm + 4 cm 0, 409 cm + cm 6 cm = cm cm cm 8,0 cm eigungswinkel: tan ( SIR) = _ 0 = 4; SIR 76,0, b) Kegelvolumen: V Kegel = (, cm) π 0 cm 6,4 cm Mantellinienlänge: s = 0 +, cm = 06, cm _ =, 7 cm _ Oberflächeninhalt: (, cm) π +, cm π, 7 cm = 6,( + 7 )π cm 00,6 cm Prozentsatz: V V Kegel Pramide 6,6% V Pramide. a) 6 ( 6 ) 4 0,46% b) ,8% c) ( 6 ) 4 0,08% d) 4! ( 6 ) 4,9% e) 4 ( 6 ) ( 6 ) 4,% f) ,9% 4. Start Zug 0. Zug. Zug a) P( drei refferlose ) = _ _ 4 _ = _ 00 0,04% b) P( mindestens ein refferlos ) = _ _ 4 _ 0,0% c) P( höchstens ein refferlos ) = _ _ 4 _ 0 + _ _ 4 _ 97,%

4 4 Lösungen zu delta 0 Kann ich das? Lösungen zu Seite 6. a) b) Gradmaß , 60,6 Bogenmaß π,0 7 π,67 6 π,88 π 0,9 π 6,8 0,9 0,9π 8. Vier Halbkreise mit Radiuslänge, cm: 6π cm Sechs Halbkreise mit Radiuslänge cm: 6π cm Sechs Halbkreise mit Radiuslänge 0, cm: π cm Gesamtlänge der Welle: π cm 47, cm. a) Das Dreieck MAD ist gleichseitig mit der Seitenlänge 4a. U = a π a π = _ 4 aπ 4,7a A = 6 (a) π + 4a a _ (a)π = a π + 4a,a 6 b) Das Dreieck MBC ist eine Hälfte eines gleichseitigen Dreiecks; es hat die Seitenlängen a und 4a und a, und es ist BMC = 60. U = a π + a = 4 a(π + ),a A = (a) π + 4a a = 8 a π + 4a,a _ 4. r min = (8 cm) + ( cm) = 8, cm; A = (8, cm) π 7 cm, dm. Raumdiagonalenlänge d = (4 cm) + (6 cm) + ( cm) = 4 cm (= r min ) V = 4 (7 cm) π 47 cm,4 dm 6. a) V = 4 (8 m) π 4 m ; A = 4 (8 m) π 804 m b) V = 8V; 4 r π = 8 4 (8 m) π; : ( 4 π) r = 8 (8 m) ; r = 8 m = 6 m; A = 4 r π = 4 (6 m) π = 04π m 7 m c) A = 8A; 4 r π = 8 4 (8 m) π; : (4π) r = m ; r = 6 m; V = 4 (6 m) 768 π = π m 48 8 m 7. A K = 4r π; r* = 0,8r; A* = 4 (0,8r) π; A K A* = 0,6 4r π Der Oberflächeninhalt verringert sich um 6%. V K = 4 r π; r* = 0,8r; V* = 4 (0,8r) π; V K V* = 0,488 4 r π Das Volumen verringert sich um 48,8%. 8. a) A Kugel = 4r π; A Zlinder = r π + 4r π = 6r π; A Zlinder =, A Kugel b) r Dach = r Boden = r; A Boden = r π; A Dach = 4r π = r π = A Boden 9. a) V Hagelkorn = 4 (,0 cm) π, cm ; m Hagelkorn = ρ Eis V Hagelkorn 0 g b) d (in mm) v(d) (in m s ) 9,6,6 6,7 9,,,6,4 7, 8,9 v 0 O 0 0 d

5 Lösungen zu delta 0 Kann ich das? Lösungen zu Seite 8. a) Beispiele für mögliche Lösungen: sin ϕ = 0,88 cos ϕ = 0,090 sin (ϕ + 0 ) = ϕ = 70 ϕ 80 = = = 40 ϕ 60 + = = = 90 b) Beispiele für mögliche Lösungen: cos = 0,87 sin () = 0,978 cos ( + π 4 ) =,96 0,68 _ π π 4 = _ π,96 π 0,68 0,89 _ π π 4 = π,96 + π 8, π + 0,68 6,96 _ 4π π 4 = π. _ OP = 4 cm sin ϕ; P = 4 cm cos ϕ; A OP = _ OP P = 8 cm sin ϕ cos ϕ. h c = b sin α =, cm; A = c h = c 4, cm, cm =,7 cm,4 cm 4. Die einzigen Punkte auf G f, deren Koordinaten ganzzahlig sind, sind A ( ), B ( ) und C (0 ); tan α = tan β = 0,; α = β = 6,6 6,6 ; γ 6,9 ; a = b = LE; c = 4 LE; U ABC = ( + 4) LE 8, LE A α C β Gf B γ. a) Beispiel für eine mögliche Reihenfolge: () γ () h a () h b (4) a () b (6) U ABC (7) A ABC (8) h c b) () γ = 80 (α + β) = 7 () h a = c sin β = cm 4, cm () h b = c sin α = cm, cm (4) a = h b sin γ = cm,4 cm sin 7 () b = h a sin γ = cm 4,4 cm sin 7 (6) U ABC = a + b + c,8 cm (7) A ABC = a h = 9 a h b sin γ c sin β = 6 sin 7 cm,4 cm (8) h c = _ A ABC c,8 cm

6 6 Lösungen zu delta 0 6. a) b) G h () G g π π 0 G f () π 0 () () () π G h G f π G g () sin sin () sin () cos cos [ 0, ( π ) ] cos [ 0, ( π ) ] Amplitude Wertemenge [ ; ] [ ; ] [ ; ] [ ; ] [ _ ; ] [0; + _ ] 7. Das Viereck DRAG ist ein Drachenviereck. Es hat die Smmetrieachse RG; seine Diagonalen stehen aufeinander senkrecht und haben die Längen π cm bzw. ( + _ π 4 ) cm. Sein Flächeninhalt A* beträgt also _ RG _ DA = _ RG _ DA = π ( + _ π 4 ) cm,4 cm. Da der Flächeninhalt A des von den beiden Kurvenbögen berandeten Bereichs sicher größer als A*, aber kleiner als der Flächeninhalt des umbeschriebenen Rechtecks (A* 0,9 cm ) ist, ergibt sich als Abschätzung für A die Ungleichung cm < A < cm (nach Augenmaß ist A 7 cm ). D G R K A π P 8. a) = cos b) = 0, sin (0,) + 9. Koordinaten der Zeigerspitzen um 6 Uhr (Ursprung: Mittelpunkt des Zifferblatts; positive -Achse: -Uhr- Stellung des Stundenzeigers; Einheit: m): S (0,4); S (0,84 cos 0 0,84 sin 0 ) = (0,4 0,4) Entfernung: S S = (0,4 0) + ( 0,4,4) = 0,9 +,4 =,846; S S =,96: die Zeigerspitzen sind um 6 Uhr,96 m weit voneinander entfernt. Kann ich das? Lösungen zu Seite 90. Funktionsterme: f() =, + ; g() = b) Funktionen: f*: f*() =, ; D f* = ; g*: g*() = ; D g* = c) Koordinaten: S ( 0); B* ( 0,) Flächeninhalte: A BSB* = ( + ) ( 4 4 ) cm = cm _ CA : B*B = : _ = : 4; CA = 4 cm = _ 4 6 cm (. Strahlensatz; V-Figur mit Scheitel S); A II. Quadrant = _ 6 cm = _ 6 cm _ 6 Bruchteil: _ = _ 6 6,% Umfangslänge: _ BS = _ ( + ) + 4 cm = cm = 4 9 cm 4,8 cm SB* = ( + ) + ( 4 ) cm = _ 7 44 cm = _ 0 cm,68 cm a) G g* G f* γ S A C 0 G f G g B β α B*

7 Lösungen zu delta 0 7 U BSB* 4,8 cm +,68 cm +,7 cm =,4 cm Winkelgrößen: A BSB* = B*B SB* sin α; sin α 0,996; α 9,4 ; A BSB* = _ BS B*B sin β; sin β 0,; β,7 ; γ 0,9 log. a) L = { } b) L = {} c) = _ log 6 log = log 0,94; L = { log log, log, } d) L = { } e) log _ = log 9; _ = 9; =,8 X G; L = {,8} log,. a) log < < log, ; 0,9 < <,80 b) log 0, < < log ; 0,0 < <,04 log c) 0,0 < < a) 0,8 = b) 0,4 = 0,,8 0,8 0,4,8. a) log ( + ) log [( + )] = log _ + ( + ) = log 0, (= _ log log 0,6) b) log [log (log 6)] = log [log 8] = log (= _ log log,8) 6. a) Das Kapital wächst auf ( 000 f,04 ) 6 0,9 f an. b) f = 000 f,04 n ; : ( 000 f),04 n log = ; n = log,04 =,74 ach etwa 6 Jahren hat sich das Kapital verdoppelt. c) 000 f ( p + 00 ) 0 = f; : ( 000 f) p ( + 00 ) 0 p = ; + 00 = 0 ; p = 00 ( 0 ) 7,8. Herr Stein hätte das Kapital zu etwa 7,8% p. a. anlegen müssen. 7. a) Bevölkerungszahl im Jahr 00: (, 0 6 ),0,6 Millionen Verdopplung der Bevölkerungszahl:,0 = ; 8, ach etwa 8 Jahren, also im Jahr 0, hat sich die Bevölkerungszahl verdoppelt. b) Bevölkerungszahl im Jahr 00: (, 0 6 ) 0,997,7 Millionen Halbierung der Bevölkerungszahl: 0,997 = 0,; 77 ach etwa 77 Jahren, also im Jahr 7, hat sich die Bevölkerungszahl halbiert. 70 a 70 a 8., =, 0, ; :, 0, = _,, ; _ 70 a Die Knochen waren etwa 600 Jahre alt., log 0, = log _, ; 64 a 9. Jeder Mitarbeiter erhält nach zehnjähriger Betriebszugehörigkeit 00 f; dieser Betrag soll mit weiterer Betriebszugehörigkeit steigen. Vorschlag A: ach weiteren n Jahren erhält jeder Mitarbeiter 00 f + n 0 f. Vorschlag B: ach weiteren n Jahren erhält jeder Mitarbeiter 00 f,07 n. Bei einer weiteren Betriebszugehörigkeit von 8 (oder weniger als 8) Jahren ist der Vorschlag A für die Arbeitnehmer günstiger: 00 f f = 60 f; 00 f,07 8 6,70 f Bei einer weiteren Betriebszugehörigkeit von 9 (oder mehr als 9) Jahren ist dagegen der Vorschlag B für die Arbeitnehmer günstiger: 00 f f = 80 f; 00 f,07 9 8,4 f

8 8 Lösungen zu delta 0 Kann ich das? Lösungen zu Seite 0. a) _ 6 48% b) 00% c) _ = % d) 0% 0. a) 0,8 4 9% b) 0,8 0, + 0,8 4 = 0,8 % c) 0,8 0, 0% d) 0,8 0, 6 %. a) P( nur Franzi ) = _ 0 _ _ 7 0 _ 9 = 4 80 = ,9% b) P( Franzi und ico ) = _ 0 _ 9 + _ 0 _ 9 = 90 0,% c) P( weder Ron noch ico ) = _ 8 0 _ 7 9 = 90 80,% d) P( mindestens ein Schmuggler ) = _ 7 0 _ 6 9 = _ 7 9 8,4% e) P( genau ein Schmuggler ) = _ 0 _ _ 7 0 _ 9 = 90 6,8% 4. a) 0,97 n 0,9; n 98, ; Mindestanzahl: 99 iere. b) Start % 97% nicht wirklicher Status 8% % 0% 80% nicht nicht Diagnose P als nicht eingestuft ( ) = 0,0 0, _ 0,0 0, + 0,97 0,80 0,8%. Frau Mann nimmt Rücksicht 0, 0,4 0,8 nimmt keine Rücksicht 0,7 0, 0,4 0,40 0,60,00 P F ( nimmt keine Rücksicht ) = 0,7 0,40 68% 6. a) Start b) 0 = 40 r U = 40 8 w r U 8 w Urne Urne rot 0 weiß c) P( rot ) = + _ 40 = _ 7 bzw. P( rot ) = _ 6 80 = _ 7 6 P( rot und aus Urne ) = = bzw. P( rot und aus Urne ) = _ = 4 4 P rot ( aus Urne ) = _ = 4 _ 7 7 7% bzw. P ( aus Urne ) = _ 0 rot = 4 7 7% 6 d) P( rot und aus Urne ) = _ 40 = _ bzw. P( rot und aus Urne ) = _ 6 80 = 6 6 P rot ( aus Urne ) = _ = _ 7 7 4% bzw. P ( aus Urne ) = _ rot = 7 4% 6 [oder: P rot ( aus Urne ) = P rot ( aus Urne ) 7% = 4%]

9 Lösungen zu delta 0 9 Kann ich das? Lösungen zu Seite. a) + b) c) + 0 d) +. a) Man substituiert = u und erhält u u = 0; u = 4; u =, < 0., = 4; = ; =,4 =,: keine reellen Lösungen Lösungsmenge: L = { ; } b) Man substituiert = u; u 09u = 0; (u 00)(u 9) = 0. u = 00; = 00; = 0; = 0; u = 9; = 9; = ; = Lösungsmenge: L = { 0; ; ; 0}. a) 0,( + )( 4) = 0; L = { ; ; } b) ( + )( ) = 0; L = { ; 0; } c) ( + )( 4 + ) = 0; L = { } 4. Bedingung wird erfüllt von () () () (4) () f f f f 4 Von den vier Funktionen f bis f 4 erfüllt nur f alle fünf Bedingungen.. f(0) = f(0) f(0); f(0) = [f(0)], also [wegen f(0) > 0] f(0) = f() = f( + ) = f() f() = [f()] ; [f()] = 9, also [wegen f() > 0] f() = f() = f( + ) = f() f() = 9 = 7 f(4) = f( + ) = f() f() = 9 9 = 8 oder f(4) = f( + ) = f() f() = 7 = 8 6. a) f() 4 4 b) f() 0, 6 c) f() d) f() 7. Es ist stets f( ) = 9 ( ) 4 ( ) = = ( 9 4 ) = f(); also ist G f punktsmmetrisch zum Ursprung O (0 0). a) ullstellen: 9 4 = 0; 9 ( ) = 0; = 0; = ; =. äherungsterm: f() 9. Für gilt f() ; für gilt f(). b) 9 4 = ; 9 9 = 0; ( 9) = 0; = 0; = ; = ; S (0 0), S ( ), S ( ) c) G f 0 ± ± ± ± 4 ± f() ± 7 9 ± 7 9 S = S S g d) f*: f*() = 9 ( ) 4 ( ) = ; D = f*

10 0 Lösungen zu delta 0 8. ullstellen der Funktion f: f() = 0,( + )( ) ; D f = : einfache ullstellen: = ; = 0; doppelte ullstelle:,4 =. < = < < 0 = 0 0 < < = > + < 0 0 > 0 > 0 > 0 > 0 > 0 < 0 < 0 < 0 0 > 0 > 0 > 0 ( ) > 0 > 0 > 0 > 0 > 0 0 > 0 f() > 0 0 < 0 0 > 0 0 > 0 G f,4 Der Graph G f kann also nicht durch die drei getönten Felder verlaufen: Kann ich das? Lösungen zu Seite 60. a) S ( ) b) S ( ) c) S (,,). P : = P : = ( + 4) + P : = [( + 4) + ] = ( + 4). a) S* (a a 4) b) a 4 = 0; a = c) a + a 4 = 0; a, = ± d) a 4 = 0; a = 7 4. a) f*: f*() = ; D f* = b) f*: f*() = _ + ; D = \{} f. a) lim _ + + = b) lim [ ( + ) + 4 ] = 4 ± ± c) lim _ + = d) lim [ (sin ) ] = 0 ± 6. f: f() = ( ) ; D f = \ {} 7. a) Schnittpunkt mit der -Achse: (0 a). Da a X + ist, schneidet G fa die -Achse stets oberhalb des Ursprungs. a Schnittpunkt mit der -Achse: a + = 0; (a + ) a = 0: falsch, da a X + ; G fa schneidet also für keinen Wert von a X + die -Achse. a Achsensmmetrie zur -Achse: f a ( ) = a + ( ) = a a + = f () a a b) lim = 0 unabhängig von a ± a + c) G f 8 d) _ 4 + < _ ; (4 + ) > 96; > 4

11 Lösungen zu delta 0 8. a) p = π b) p = π π π π π c) p = _ π d) p = π π π π π 9. a) f : f () =, ; D f =, bzw. f : f () =, ; D f =, bzw. f : f () =, ; D f = b) f : f () = ( ) ; D f =, bzw. f : f () = ( ) ; D f =