Kreissektoren - Bogenlänge und Sektorfläche

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1 Kreissektoren - Bogenlänge und Sektorfläche 1 In folgender Tabelle ist r Radius, b Bogenlänge und φ Mittelpunktswinkel eines Kreissektors A s ist dessen Flächeninhalt Berechne die fehlenden Größen: r φ b A s Lösung: r φ b A s ,6 2, ,0 12,5 4, , Vervollständige die folgenden Tabellen: (a) (b) Lösung: (a) (b) Gradmaß Bogenmaß 4 11π 6 15π 6 3π 4 Gradmaß Bogenmaß Gradmaß Bogenmaß 6 π 11 4 π 3 4 π 11 6 π 15 6 π 11 3 π 3 4 π 13 4 π Gradmaß Bogenmaß 0, 35 3, , , 6 3 Zwei gleiche Kreise 1

2 Die Abbildung oben zeigt zwei völlig identische Kreise Sie sind so angeordnet, dass die Kreislinie des einen Kreises durch den Mittelpunkt des anderen Kreises verläuft Und entsprechend schneidet die Kreislinie des zweiten Kreises den Mittelpunkt des ersten Kreises (a) Wie groß ist der Anteil der Kreislinie eines der beiden Kreise, der sich im zweiten Kreis befindet? (b) Die Kreise haben jeweils einen Radius von 100 Zentimetern Wie groß ist dann der Abstand eines Schnittpunkts der beiden Kreislinien zur Geraden durch die Mittelpunkte beider Kreise? (c) Wenn man die beiden Kreise als eine Fläche betrachtet, welchen Anteil dieser Fläche bildet dann die Schnittmenge der beiden Kreise? Quelle: Fich, O: Mathelogik (2001) Lösung: (a) 1 3 (gleichseitiges Dreieck: Einen Schnittpunkt und die Mittelpunkte betrachten) (b) 86, 6 cm (rechtwinkliges Dreieck: Ein Schnittpunkt, ein Mittelpunkt und Mittelpunkt der Strecke, die Kreismittelpunkte verbindet) (c) 24, 3% (Zu den Dreiecken aus (b) fehlen 4 Bogenstücke über den Dreiecksseiten Diese als Differenz von Kreissektor (60 ) und Dreieck berechenbar) 2

3 4 Was ist größer - Der Kreis oder das Quadrat? Die Abbildung zeigt einen Kreis und ein Quadrat, wobei sich der größte Teil des Kreises innerhalb des Quadrats befindet, während ein kleiner Teil des Kreises außerhalb des Quadrats liegt Kreis und Quadrat haben den gleichen Mittelpunkt Für alle Seiten des Quadrats gilt, dass 60% der Seitenlänge innerhalb des Kreises oder auf der Kreislinie liegen Welche der Figuren hat die größere Fläche? Quelle: Fich, O: Mathelogik (2001) Lösung: Der Kreis ist größer (rechtwinkliges Dreieck: Mittelpunkt, Mittelpunkt einer Quadratseite und angrenzender Schnittpunkt von Kreis und Quadrat) Beispiel: Quadratflächeninhalt = 1, dann Kreisflächeninhalt 1, Eisenrohre werden in einem Bündel wie in der Abbildung geliefert 3

4 (a) Berechnen Sie für das abgebildete Bündel die Länge des Stahlbands, welches das Bündel zusammenhält, wenn der Rohrdurchmesser mit d bezeichnet wird (b) Wie groß ist die Fläche, die im Querschnitt von dem Stahlband umfaßt wird? (Teile geschickt auf) (c) Welchen Prozentsatz davon nehmen die 61 Rohre ein? Lösung: (a) 24d+πd (b) Man zerlege in ein reguläres Sechseck mit Radius 4d, 6 Rechtecke mit der Breite d 2 und der Länge 4d und 6 Kreissektoren mit Radius d 2 : A = 24 3d 2 +12d πd2 (c) 88% 6 Wieviel Grad hat der Mittelpunktswinkel zu einem Kreisbogen, dessen Länge gleich dem Durchmesser des Kreises ist? (Skizze; Berechnung auf 4 geltende Ziffern genau) Lösung: 114,6 7 Ein Kreissektor mit dem Radius r hat den Umfang U = 3r Berechne den Mittelpunktswinkel ϕ und drücke die Fläche A des Sektors durch r aus Lösung: ϕ = 180 π ; A = r2 2 8 Der Umfang eines Kreises mit Radius r ist gleich dem Umfang eines Kreissektors mit gleichem Radius r und einem noch zu bestimmenden Mittelpunktswinkel α Berechnen Sie diesen Mittelpunktswinkel α auf zwei Dezimalstellen gerundet! Lösung: α 245,41 o 9 Einem Kreis mit Radius r ist ein Quadrat einbeschrieben Welchen Mittelpunktswinkel muss ein Kreissektor mit gleichem Radius haben, damit er denselben Flächeninhalt hat wie das Quadrat? Lösung: 720 π 4

5 10 Ein Kreisausschnitt zum Mittelpunktswinkel 27 hat eine Bogenlänge von 1,5cm Welchen Umfang und welchen Flächeninhalt hat der Kreis? Lösung: Umfang: 20cm; Inhalt: 31,8cm 2 11 Wie groß sind Radius r und Mittelpunktswinkel ϕ (Bogenmaß!) eines Kreissektors, dessen Umfang U = 10cm und dessen Flächeninhalt A = 6cm 2 beträgt? Lösung: 1 Möglichkeit: r = 3cm; ϕ = Möglichkeit: r = 2cm; ϕ = 3 12 Die Läufer A(nton) und B(enedikt) starten einen Wettlauf auf einer kreisförmigen Rennbahn Die Kreisbahn von A hat den Radius r A = 19m, die von B den Radius r B = 20m A muss eine Runde laufen Damit beide bis zum Ziel gleich weit laufen, muss der Startpunkt von B um einen bestimmten Winkel vorverlegt werden Bestimmen Sie diesen Winkel B Ziel A α r A r B Lösung: